近似と無限小

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近似とか、無限小とか、どういう意味なの?

「 近似できる 」 と 「 近似できない 」 の境界はどこにあるの?

「 無限小である 」 と 「 無限小でない 」 の境界はどこにあるの?
例えば f(x)=x の変数 x を Δx だけ微小変位させる。

すると、f(x+Δx)=x+2xΔx+(Δx) だね。

いま、Δx=1/10 とすると、(Δx)=1/100。

つまり、(Δx) の Δx に対する効果は10%程度。

また、Δx=1/100 とすると、(Δx)=1/10000。

つまり、(Δx) の Δx に対する効果は1%程度。

このように、(Δx) の効果が Δx に対していくらでも小さくなるようにできる。

つまり、実質的に (Δx) を無視してもよい。

つまり、近似的に f(x+Δx)≒x+2xΔx と書ける。

あるいは、f(x+dx)=x+2xdx と書ける。

後者の dx は無限小を意味する。

そして、このこと自体が無限小という言葉の意味。

ちなみに、最後の式を式変形すると [f(x+dx)−f(x)]/dx=2x だね。

これは f(x)=x の微分が 2x であるということ。
つまり、無限小って具体的な値を意味するわけじゃないんだね。
そうだね。

だから、近似や無限小に対して幽霊みたいにフワフワした印象をもつ人がいるかも。
じゃあ、幾何学の 「 微小な曲面は平面と見なせる 」 という言葉はどうなの?

曲面はいくら小さくても曲面は曲面じゃないの?
それも先ほどの近似や無限小と同じ考え方。

微小な曲面を図示すると、



Δx は曲面の大きさに相当する。

Δy は曲面と平面の誤差だね。

曲面が微分可能であれば、Δx に対してΔyの効果をいくらでも小さくできる。

よって、実質的に Δy を無視できる。

一方、次のような場合を考えてみる。



この場合、Δy/Δx は固定されているので、どれほど Δx を小さくしても Δy/Δx は一定だね。

つまり、このように尖った面は微小であっても平面として見なせない。

以上が 「 近似できる 」 と 「 近似できない 」 の境界線。
なるほど。近似って、微分と関連が深かったんだね。
そうだね。

そもそも次の(1)と(2)は同値だよ。

(1) f は x=a において微分可能である。

(2) ある定数 c が存在して、f(a+h)−f(a)=ch+o(h) となる。

とくに、(2) の c は c=f’(a) で、これは 『 微分係数 』 と呼ばれる。
え・・・その o(h) って何?
o(h) は o(h)/h→0 ( h→0 ) を満たす関数だよ。

つまり、o(h)は h→0 より速く 0 に収束する項だね。

つまり、o(h)は誤差項。

o(h)を無視することで(2)の式を f(a+h)−f(a)≒ch と書ける。

式変形すると [f(a+h)−f(a)]/h≒c だね。

つまり、[f(a+h)−f(a)]/h≒f’(a) だね。
納得。それって微分の定義式だよね。
そうだね。ただし、微分の定義式は limh→0[f(a+h)−f(a)]/h=f’(a)。

ここで変位 h を十分小であるとすると [f(a+h)−f(a)]/h≒f’(a) と見なせる。

図示すると、



上図の接線の傾きが f’(a) だね。

関数と接線の差が誤差項o(h)に相当する。

これは先ほど曲面のところで説明したものとほとんど同じだね。
近似って誤差項を無視するということだったんだね。

じゃあ、高校数学で知られている次の近似式も導ける?

もちろん。

既に述べたように、



近似的に、



f(x)=√x の場合、



変形すると、



これで示された。
この誤差項を無視する方法って、合成関数にも適用できるのかな?
できる。(sin2x)’=(2x)’cos2x=2cos2x で確認してみようか。

sin2x は 「 siny と y=2x の合成関数 」 と見なせる。

つまり、「合成関数の微分」=微分(微分)だね。

ここで 「 関数=近似+誤差項 」 という考え方を導入する。

すると、合成関数=関数(関数)=近似(近似)+近似(誤差項)+誤差項(誤差項)。

誤差項を消すと、合成関数=近似(近似)。

つまり、合成関数の微分=微分(微分)だね。



参考文献

とくになし。上述の説明は即興です。