ランク(行列の階数)とフルランク行列

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線形代数学において行列の『ランク(階数)』は基本的である。

行列のランク(階数)って何?
行列を連立1次方程式の係数と見なす。

で、両辺を加減して可能な限り式を消去する。

最終的に残った式の個数がその行列のランクだね。

つまり、行列のランクは連立1次方程式の本質的な式の個数。
具体的には?
例えば、次の行列を考える。



これを連立1次方程式で表すと、



第3式−第1式−第2式を実行すると、



つまり、第3式が消去された。

また、これ以上は式を消去することができない。

よって、行列Aのランクは2だね。
おおー・・・。おもしろいけど、これで何が分かるの?
フルランクであるか否かで逆行列の存在を判定できる。

行列がフルランクなら逆行列が存在する。

逆に、フルランクでないなら逆行列は存在しない。
フルランクって・・・行列のランクが最大次数であるということ?
そう。3次行列のフルランクは3だね。

つまり、ある3次行列Aのランクが3なら、逆行列A−1が存在する。
たしか・・・逆行列が存在する行列を『正則行列』と呼ぶよね。
そう。つまり「 フルランク行列⇔正則行列 」だね。
何で、フルランク行列と正則行列は同値なの?
理解の仕方は色々ある。

ここでは掃き出し法に注目して説明する。

掃き出し法では次のようにして逆行列を求める。



つまり、左側を単位行列の形にする。

ここで、フルランクでないとすると、左側の行列には0のみから成る行が含まれる。

つまり、フルランクでないとすると、左側の行列が単位行列にならない。

これは掃き出し法が完了せず、逆行列が存在しないことを意味する。



参考文献

とくになし。上述の説明は即興です。