正則行列(逆行列、行列式、余因子行列、余因子展開)

サイトのTOP→理系インデックス





正則行列と逆行列は線形代数学において基本的である。

線形代数学の入門は正則行列を中心に議論される。

ここで、次のように問う人がいるかもしれない。

「なぜ線形代数学では正則行列が重要なのか?」

「正則行列を中心にして議論が進むとはどういうことか?」

そこで、ここでは正則行列について対談しよう。

正則行列って何?
正則行列は「逆行列が存在する行列」を意味する。

つまり、行列Aが正則なら、逆行列A−1が存在してAA−1=Iとなる。

ここでIは単位行列のこと。
その逆行列ってどうやって求めるの?
2次行列の場合、逆行列は次の公式で計算できる。

逆行列を求める公式があるんだね。

それなら、必ず逆行列が存在するということ?

つまり、すべての行列は正則行列?
逆行列が存在するとは限らない。

つまり、正則でない行列も存在する。
何で?逆行列の公式で逆行列を求めればいいよね?
逆行列の公式で分母がad−bcになっているよね。

これが0になると逆行列の公式はつかえない。

つまり、逆行列は存在しない。

ちなみに、このad−bcは『行列式』と呼ばれるものに相当する。
そういうことか。。。

ただ、これって2次行列の場合の話だよね?

3次行列の場合はどうするの?
3次以上の行列の場合、逆行列は『余因子行列』によって記述される。

行列Aの余因子行列をAで表すと、逆行列は A−1=(1/|A|)A で表される。

ここで|A|は A の行列式を意味する。

とくに、2次行列の場合を考えると、この公式は上で紹介した公式に一致する。

つまり、



余因子行列については後で説明する。
つまり・・・その公式の場合にも分母に行列式が来るんだね。

ということは「行列式の値が0になると逆行列は存在しない」は3次行列にも成り立つ?
そう。つまり「正則性」と「行列式が0である」は同値。
3次以上の行列の行列式はどのように定義されるの?
例えば、3次行列の行列式は次のように定義される。



これを『余因子展開』という。

ここで、amn は「元の行列から第m行と第n列を除いて係数(−1)m+n をかけたもの」を意味する。

つまり、



この amnを『(m、n)余因子 』という。

つまり、3次行列の余因子は2次行列式として表される。

同様に、4次行列の余因子は3次行列式として表される。

つまり、N次行列の余因子は(N−1)次行列式として表される。
じゃあ、例えば、次のように計算できるね。



・・・って、あれ?計算結果が0になったよ?
それは偶然。つまり「3次行列の行列式がつねに0になる」という意味じゃない。
何で今回の結果は0になったの?
行列式は各成分を抜き出して対称に符号をつけることだから。

今回の場合は成分が相殺して0になったんだね。
余因子は余因子行列に関係ある?
関係ある。

実際、余因子行列は「元の行列の余因子を転置で並べた行列」を意味する。

例えば、行列 A の余因子行列を A とすると、次のように表示できる。



とくに、2次行列の場合は、



実際に計算してみると、



2次行列の場合、余因子は最初から1つの実数として出るから簡単。

この式は2次行列の逆行列の公式に一致していることも分かる。
行列式は余因子展開で定義されるの?
3次行列の場合は『サラスの公式』を用いる方法もある。

N次行列の行列式を『置換』によって定義することもできる。

ただし、本質的な定義は余因子展開による定義に同じ。

つまり、行列式は余因子展開によって定義されていると考えてよい。

また、余因子展開はベクトル積(ベクトルの外積)にも応用できる。
余因子展開でベクトル積を定義するの?
余因子展開で次のようにベクトル積を定義できる。



ただし、

え・・・行列式の中にベクトルがあるの?
第1式は単なる形式的な表示だと思えばいいよ。

つまり、実際に e、e、e をベクトルと見なすのは第2式の方。
じゃあ、次のように計算できるね。



つまり、eとeのベクトル積はeということだよね。
そう。

一般に、v×wはvを回転させてwに重ねるとき右ネジの進む向きになる。

実際、eを回転させてeに重ねるとき、右ネジが進む向きはeとなる。

また、一般にv×wの大きさはvとwから成る平行四辺形の面積となる。

実際、eの大きさは1で、これはeとeから成る正方形の面積となる。
2次行列とN次行列の行列式は同じ性質をもつ?
そう。例えば、行を入れ替えると符号が反転する。

まず、2次行列について行を入れ替えると符号が反転することは明らか。

つまり、



同様のことは3次行列についても成り立つ。

例えば、1行と2行を入れ替えると、



けど、これは余因子展開を考えれば当然。

なぜなら、3次行列の余因子展開は2次行列で表されるから。

同様に、N次行列の余因子展開は(N−1)次行列で表されるから。

これを繰り返せば、N次行列は2次行列に帰着できる。

つまり、行列式の性質は還元主義的に理解できる。



参考文献

とくになし。上述の説明は即興です。