正則行列(逆行列、行列式、余因子行列、余因子展開)

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正則行列って何?
正則行列は 「 逆行列が存在する行列 」 を意味する。

つまり、行列 A が正則なら、逆行列 A−1 が存在して AA−1=I となる。

ここで I は単位行列のこと。
その逆行列ってどうやって求めるの?
2次行列の場合、逆行列は次の公式で計算できるよ。

逆行列を求める公式があるんだね。

それなら、必ず逆行列が存在するということ?

つまり、すべての行列は正則行列?
いや、逆行列が存在するとは限らないよ。

つまり、正則でない行列も存在する。
何で?逆行列の公式で逆行列を求めればいいよね?
逆行列の公式で分母が ad−bc になっているよね。

これが 0 になると逆行列の公式はつかえない。

つまり、逆行列は存在しない。

ちなみに、この ad−bc は 『 行列式 』 と呼ばれるものに相当する。
そういうことか。。。

ただ、これって2次行列の場合の話だよね?

3次行列の場合はどうするの?
3次以上の行列の場合、逆行列は 『 余因子行列 』 によって記述される。

行列 A の余因子行列を A で表すと、逆行列は A−1=(1/|A|)A で表される。

ここで|A|はAの行列式を意味する。

とくに、2次行列の場合を考えると、この公式は上で紹介した公式に一致する。

つまり、



余因子行列については後で説明する。
つまり・・・その公式の場合にも分母に行列式が来るんだね。

ということは 「 行列式の値が 0 になると逆行列は存在しない 」 は3次行列にも成り立つ?
その通り。

つまり 「 正則性 」 と 「 行列式が0である 」 は同値。
3次以上の行列の行列式はどのように定義されるの?
例えば、3次行列の行列式は次のように定義される。



これを 『 余因子展開 』 という。

ここで、



つまり amn は 「 元の行列から第m行と第n列を除いて係数(−1)m+n をかけたもの 」 だね。

この amn を 『(m、n)余因子 』 という。

つまり、3次行列の余因子は2次行列式として表される。

同様に、4次行列の余因子は3次行列式として表される。

つまり、N次行列の余因子は(N−1)次行列式として表される。
じゃあ、例えば、次のように計算できるね。



・・・って、あれ?計算結果が 0 になったよ?
それは偶然。つまり、3次行列の行列式がつねに 0 になるという意味じゃない。
何で今回の結果は 0 になったの?
行列式は各成分を抜き出して対称に符号をつけることだから。

今回の場合は成分が相殺して 0 になったんだね。
ちなみに、この余因子って余因子行列に関係ある?
余因子行列は 「 元の行列の余因子を転置で並べた行列 」 を意味する。

例えば、行列 A の余因子行列を A とすると、次のように表示できる。



とくに、2次行列の場合は、



実際に計算してみると、



2次行列の場合、余因子は最初から1つの実数として出るから簡単。

ただ、慣れていないと計算ミスするから注意だね。
行列式の定義って余因子展開で定義されるものなの?
3次行列の場合は 『 サラスの公式 』 を用いる方法もある。

N次行列の行列式を 『 置換 』 によって定義することもできる。

ただし、本質的な定義は余因子展開による定義に同じ。

また、余因子展開はベクトル積(ベクトルの外積)にも応用できる。
余因子展開でベクトル積を定義するの?
余因子展開で次のようにベクトル積を定義できる。



ただし、

え・・・行列式の中にベクトルがあるの?
第1式は単なる形式的な表示だと思えばいいよ。

つまり、実際に e、e、e をベクトルと見なすのは第2式の方。
じゃあ、次のように計算できるね。



つまり e と e のベクトル積は e ということだよね。
そうだね。

一般に v×w は v を回転させて w に重ねるとき右ネジの進む向きになる。

実際、e を回転させて e に重ねるとき、右ネジが進む向きは e だね。

また、一般に v×w の大きさは v と w から成る平行四辺形の面積。

実際、e の大きさは1で、これは e と e から成る正方形の面積だね。
2次行列とN次行列の行列式は同じ性質をもつ?
そう。例えば、行を入れ替えると符号が反転する。

例えば、1行と2行を入れ替えると、



けど、これは余因子展開を考えれば当然。

なぜなら、3次行列の余因子展開は2次行列で表されるから。

同様に、N次行列の余因子展開は(N−1)次行列で表されるから。

これを繰り返せば、N次行列は2次行列に帰着できる。

つまり、行列式の性質は還元主義的に理解できる。



参考文献

とくになし。上述の説明は即興です。