距離空間論(ヒルベルト空間、ユークリッド空間、内積空間、ノルム空間)

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数学には距離空間やヒルベルト空間などが登場する。

このとき「そもそも空間って何?」と問う人がいるかもしれない。

数学の世界において、空間は「何らかのルールが定められた集合」を意味する。

勿論、数学的空間と物理的空間は別物である。

ただし、物理的空間を数学的空間で説明することはある。

数学には色々な空間が登場するよね。

距離空間とか。内積空間とか。ノルム空間とか。ヒルベルト空間とか。
内積空間は『内積の公理』を認めた空間のこと。

ノルム空間は『ノルムの公理』を認めた空間のこと。

距離空間は『距離の公理』を認めた空間のこと。

ユークリッド空間は距離空間の1つで、2点間の距離が三平方定理で定められたもの。

ヒルベルト空間は内積空間で、完備な空間のこと。

図にまとめると、



ちなみに、内積空間〜位相空間を総称して『計量空間』と呼ぶこともある。

計量が入ると極限操作が可能になる。
そもそも、内積の公理、ノルムの公理、距離の公理って何?
内積の公理は「内積の性質」のうちで本質的なものを抜き出して公理化したもの。

ノルムの公理は「ノルムの性質」のうちで本質的なものを抜き出して公理化したもの。

距離の公理や開集合の公理も同様。
色々ありすぎて混乱するなぁ・・・。
とくに、距離空間に注目するといいと思う。私の推奨。

ヒルベルト空間、バナッハ空間、ハウスドルフ空間は基本的に距離空間として見なせる。

つまり、距離の公理。
具体的に、それはどういうものなの?
X を集合とする。

任意の点 x、y、z∈X に対して次が成り立つとする。

(D1)d(x、y)=0 ⇔ x=y

(D2)d(x、y)=d(y、x)

(D3)d(x、y)≦d(x、z)+d(z、y)

このような(D1)〜(D3)を『距離の公理』という。

また、このような空間(X、d)を『距離空間』という。
(D1)は・・・「2点間の距離が0である」と「2点は同じ点である」の同値性だよね。

たしかに、(D1)は距離の性質だね。

(D2)は・・・「xとyの距離」と「yとxの距離」が等しいということだね。

たしかに、(D2)も距離の性質だね。

(D3)は・・・「寄道をすると距離が長くなる」ということだね。

たしかに、(D3)も距離の性質だね。

う〜ん、けど、(D1)〜(D3)が距離の本質を抜き出したものなの?

そもそも、距離として「ユークリッド距離」以外にあるの?
例えば、次のようなものを考えてみればいい。



ここで、単位長さは1であるとする。

ユークリッド距離の意味で、点 A と点 B の距離は √13 だね。

けど、点Aから点Bまで移動するときに線の上しか通れないとしたらどうだろう?

この場合、AからBまでの距離を3+2=5と考えた方が自然。

そして、明らかに、この距離は『距離の公理』をみたしている。

ちなみに、このような距離を『市街地距離』と呼ぶこともある。
なるほど・・・つまり「道のり」を距離空間の距離と見なしているんだね。
そう。子供には「距離」と「道のり」は区別するように教えるんだけど。

距離空間を学ぶと、距離を抽象化して「距離」と「道のり」を区別しなくなる。

ある意味で、幼児退行。
「一周して戻って来た」みたいな話だね。
本当に大切なものは身近にある。
ふむふむ・・・う〜ん、公理としては理解できたけど、納得できていないかも。

距離に種類があることは分かったけど、これで何ができるの?
関数に距離を定めることで関数を関数の極限として表せる。
関数と関数に距離を定めるの?そんなことできる?
できる。

まず、区間a≦x≦bで定義されている2つの関数を考える。

このような関数について距離が最も離れている点での値の差を距離として定義できる。

式で表すと、関数fとgの距離は d(f、g)=maxa≦x≦b|f(x)−g(x)|となる。



勿論、他にも定義の方法は色々ある。
なるほど・・・たしかに、これも距離の公理をみたすね。
つまり、距離空間の元として関数を考えることができる。

この立場では関数を点と見なすことができる。

このような空間を『関数空間』と呼ぶこともある。
関数に内積やノルムを定めることもできるの?
そう。関数fとgに対して内積は(f、g)=∫fgdxで定義されることが多い。

また、ノルムは || f ||=(f、f)=∫|f|dxで定義できる。

つまり、内積を定義すると自然にノルムも定まる。

また、距離はd(f、g)=|| f−g || で定義できる。

つまり、ノルムが定まると自然に距離も定まる。
つまり 内積→ノルム→距離 の順番で自然に定義できるんだね。

けど、距離空間などを考えて何をどうするの?
関数を点として考えて、距離を定義したよね。

よって、関数を点と見なして点列の極限を考えることもできる。

実際、点列が極限点に近づくことは「極限点と点列の距離が小さくなる」を意味する。
つまり・・・関数列が極限関数に近づくということだね。

けど、具体的に、その関数列って何?何でもいいの?
とくに「直交系」を考える。

つまり、関数同士の内積が0となるような関数のグループ。

関数について議論している場合は「直交関数系」と呼ぶこともある。
何で直交系(直交関数系)を考えるの?
線形空間として考えたとき、直交系は「 1次独立(線形独立)」な集合だから。

つまり、互いに無駄がないということ。
えーと・・・つまり・・・。

互いに無駄がない必要最低限の関数列の極限として目的の関数を表す。

そういうこと?
そう。よく知られている関数の極限として目的の関数を表す。

これによって目的の関数の性質を調べることができる。

例えば、ヒルベルト空間 H 上のフーリエ級数展開がある。

これは任意の f∈H を直交系φによって f=狽φ の形で表すということ。

つまり、f=cφ+cφ+cφ+・・・という極限。

勿論、直交関数系の元は無限個だから、ヒルベルト空間は無限次元ベクトル空間。

ここで c=(f、φ)は『フーリエ係数』と呼ばれる。
何でヒルベルト空間上で考えるの?
ヒルベルト空間は完備な内積空間のことだから。
ヒルベルト空間の完備性って何?
完備性は「隙間が埋まっている空間」という意味。

点列の極限を考えるときに、その極限が空間に属していないと困るから。
そもそも「完備な空間」や「完備ではない空間」として何があるの?
例えば、1次元的に実数全体は完備。

ここから数として 3 だけを取り除いてみる。

すると、この空間は完備でなくなる。

例えば、数列として a=3+1/n を考える。

勿論、この数列は 3 に収束する。

けれど、その極限である 3 は空間に属していない。

つまり、実数全体から 3 を除いた空間は完備ではない。
ヒルベルト空間の他にバナッハ空間というものもあるんだよね?
ヒルベルト空間は完備な内積空間で、バナッハ空間は完備なノルム空間のこと。

けど、既に述べたように、内積からノルムを構成できて、ノルムから距離を構成できる。

だから、距離空間をイメージすれば、ヒルベルト空間とバナッハ空間はほとんど同じ。

結局、すべては距離空間を中心に考えればよい。



参考文献

とくになし。上述の説明は即興です。

補足

今回は「内積、ノルム、距離」がほとんど同じ意味であることを強調して対談しました。

また、それに関連して「フーリエ級数展開」と「距離」のつながりも説明しました。

つまり、距離空間を中心にして他の数学的空間を説明しました。

ちなみに、正確にはヒルベルト空間はコーシー列で定義されます。

つまり、ヒルベルト空間は「コーシー点列が収束点列となり、極限点が属する空間」を意味します。

簡単に言うと、コーシー点列は「各点の距離が限りなく小さくなる点列」を意味します。

ただし、コーシー点列と収束点列はほとんど同じ意味です。

とくに、実数空間において両者は同値です。

その意味で、完備空間の本質は極限点が属することです。

なので、対談ではコーシー点列については述べませんでした。