対談形式(ベクトル解析)

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ベクトル解析とは何ですか?


線形代数と微分積分学の融合という感じですね。

とくに、多変数ベクトル値関数が重要です。


多変数ベクトル値関数とは何ですか?



f(x)=2x は1変数実数値関数です。

実際、1変数 x ですし、値は実数ですよね。

f(x、y、z)=x+3y+z は3変数実数値関数です。

実際、3変数(x、y、z)ですし、値は実数ですよね。

f(t)=(t、3t、t)は1変数3次元ベクトル値関数です。

実際、1変数 t ですし、値はベクトルですよね。

f(x、y、z)=(x、3y、z )は3変数3次元ベクトル値関数です。

実際、3変数(x、y、z)ですし、値はベクトルですよね。

3変数3次元ベクトル値関数は、3次元の各点にベクトルが貼り付けられていると考えれば分かりやすい。

分かりにくければ、f(x、y、z)=(1、1、1)とおいてみましょう。

これは3次元空間上の各点にベクトル(1、1、1)が貼り付けられている状況です。

多変数実数値関数を 『 スカラー場 』 と言います。

n 変数 n 次元ベクトル値関数を 『 ベクトル場 』 と言います。

つまり、ベクトル場は、変数と値の次元が同じ関数です。


うひゃー、混乱しそう。


最初はそうかもしれませんね。

変数と値の次元に注意しましょう。

ただし、初歩的な物理学に出てくるのは、2次元や3次元の場合だけです。



1変数3次元ベクトル値関数・・・これは何だろう?曲線?


そうですね。

1変数3次元ベクトル値関数は、空間に描かれた曲線です。

先ほど、f(t)=(t、3t、t)を定義しましたね。

これの速度ベクトルは、f’(t)=(2t、3、1)と計算できます。


あ、各成分について微分するだけでよいのですね。


そうですね。



ところで、grad、rot、div とは?

何だか、すごく難しそう・・・。


いやいや、ただの微分記号ですよ。

高校生でも簡単に計算できます。


そうなのですか?

例えば、gradf の定義は次のようになっていますが・・・。





その f は3変数実数値関数であることに注意ですね。

例えば、f(x、y、z)=x+3y+z とします。

このとき、gradf=(2x、3、1)です。

2変数関数で考えるとさらに分かりやすいでしょう。

例えば、f(x、y)=x+3y とします。

このとき、gradf=(2x、3)です。

x 軸方向へ進むと、f の x 軸方向への傾きが増加していくことが分かります。

一方、y軸方向への傾きはつねに一定です。

ね、簡単でしょう。


たしかに、簡単ですね。

では、div は?

divF の定義は次のようになっていますが・・・。





その F は3変数3次元ベクトル値関数であることに注意ですね。

つまり、F は3次元ベクトル場ですね。

div は 『 湧き出し 』 を表しています。

例えば、3次元空間の中に、ホースの出口だけがある場合を考えましょう。

そして、ホースから水を撒き散らす。

div は、この水量の増大率を意味します。

例えば、F(x、y、z)=(x、3y、z)とします。

これはベクトル場です。

空間の各点にベクトルが張り付いている状況です。

このとき、divF=2x+3+1=2x+4 です。

つまり、この点において、それだけ水が湧き出しているということです。

では、川のように、一定に流れる場合はどうなるのでしょう?

例えば、F(x、y)=(2、3)とします。

つまり、無限の彼方から(2、3)で水が流れています。

このとき、divF=0 です。

ただ流れているだけなので、水の湧き出しがありません。


たしかに、簡単ですね。

では、rot は?

rotF の定義は次のようになっていますが・・・。





rot は、名前の通り、f の回転を表しています。

例えば、定義式の右辺の第3成分に注目しましょう。

∂F/∂x は、左回転する強さを意味します。

∂F/∂y は、右回転する強さを意味します。

図示すると、



結果として、∂F/∂x−∂F/∂y は z 軸まわりに F がどちらに回転するかを意味します。


なるほど・・・。

けど、rot の式は複雑ですね。


それも、簡単に覚えられますよ。

右辺では偏微分が行われていますよね。

この偏微分は、x、y、z の順番で抜けています。

つまり、第1成分では y と z で偏微分、第2成分では z と x で偏微分、第3成分では x と y で偏微分です。

さらに、記号が、y→z、z→x、x→y で循環しています。

それだけです。


あれ・・・?

grad、div、rot、簡単だ・・・。


そうです。


ところで、線積分とは?


線積分は、関数 f に、曲線Γの速さ|Γ’|を重み付けした積分です。

式で表すと、∫[a、b]f(Γ(t))|| Γ’(t) ||dt です。

ちなみに、f=1とすると、∫[a、b])|| Γ’(t) ||dt です。

これはΓの長さを意味します。

つまり、線積分は 『 曲線の長さ 』 の一般化です。



ところで、u曲線、v曲線とは?



D を の領域とします。

φ:D→ を C 級関数とします。

つまり、φ(u、v)と書けます。

ここで、変数 v を v で固定して、変数 u を動かしたものを φ(・、v) と表します。

このとき、φ(・、v)を 『 u 曲線 』 と言います。

一方、変数 u を u で固定して、変数 v を動かしたものを φ(u、・) と表します。

このとき、φ(u、・) を 『 v 曲線 』 と言います。

つまり、u 曲線と v 曲線は曲面φ上の曲線です。



ところで、正則曲面(パラメータ付き曲面)とは?



正則曲面とは、u 曲線と v 曲線が1次独立になる曲面です。

つまり、2次元的な広がりが保証された曲面です。

つまり、変なことになっていない普通の曲面です。



そういえば、正則曲線というものがありますね。



つねに|Γ’(t)|≠0 となる曲線のことですね。

つまり、正則曲線とは、立ち止まらない曲線です。

つまり、変なことになっていない普通の曲線です。



ところで、グリーンの定理、ストークスの定理、ガウスの定理とは?



それぞれ、次のような式で表されます。

グリーンの定理は :∫∫(∂g/∂x−∂f/∂y)dxdy=∫∂D(fdx+gdy)

ストークスの定理は :∫∫rotF・NdS=∫∂SF・Tds

ガウスの定理 : ∫∫∫divFdxdydz=∫∫F・NdS



複雑な式ですね・・・。

何が何やら・・・。



そうですね。

ただ、1つの見方として、どの式も、積分の次元を1つ下げる式であると言えます。

例えば、ガウスの定理は、左辺が体積に関する積分ですが、右辺は曲面積に関する積分になっています。

例えば、ストークスの定理は、左辺が曲面積に関する積分ですが、右辺は線積分です。

さらに、rotF の回転が∂Sに遺伝していて、グリーンの定理も同様です。



積分の次元を1つ下げる・・・か。

なるほど、そういう見方ができますね。



同様の話は他分野にもあります。

例えば、複素解析に登場する留数定理は、積分を算数に下げる定理であると言えます。

このように、複雑な問題を単純な問題までダウングレードしてしまうわけですね。



ところで、ストークスの定理は、本によって表記が異なるように視えます。



一口にストークスの定理と言っても、話をどこまで一般化するかに依存して形が少し変化します。

また、書き方を色々あります。

ストークスの定理は数学の中でも重要な定理の1つです。



ストークスの定理が重要であるというのは、具体的にどのように?



見方は色々あります。

例えば、ストークスの定理は 『 微分積分学の基本定理 』 の強化版であると言える。

式で表すと、∫dω=∫∂Cωですね。

C は n 次元の図形です。

∂C は C の境界です。

例えば、C が3次元空間の2次元的な球ならば、∂C はその表面ですね。

ちなみに、微分積分学の基本定理では∫[a、b]f’dx=f(b)−f(a)ですよね。

[a、b] は線分ですから、その境界は点 a と点 b です。

このように、ストークスの定理と微分積分学の基本定理は、形が似ています。


ストークスの定理は、どのように証明するのでしょう?


厳密な証明は、かな〜り面倒ですね・・・。

証明の主な手順は次のようなものです。

(1) 図形 C を簡単な形(立方体など)に分割にする。

(2) パラメータを変換する。

(3) 立方体に対して微分積分学の基本定理を使用する。

(4) 最終的に、グリーンの公式やガウスの発散定理と同様に証明できる。


ガウスの定理は、電磁気学にもよく登場するようですね。



ガウスの発散定理は、水の湧き出しが面積分と一致するという定理です。

ただし、水というのは1つの比喩ですから、電磁気学であれば電磁気です。



水の湧き出しが面積分と一致する?


3次元空間に、ホースの出口だけがあると思ってください。

さらに、この出口を取り囲むようにし網を張ります。

ここで、ホースから水を撒き散らします。

すると、次の関係が成り立ちます。

(*1) 「 網を通過した水量 」=「 ホースから出た水量 」

これを数学的に式で表すと、

(*2) ∫F・ndS=∫divFdxdydz

上式の左辺は 『 面積分 』 です。

上式の右辺は 『 3次元の重積分 』 です。

これが 『 ガウスの発散定理 』 です。


・・・ん?

しかし、ホースから出た水量が、網を通過した水量と一致することは当然では?


物理的にはそうですね。

しかし、数学的に成り立つとは限らない。



物理的には成り立つけれど、数学的に成り立つとは限らない・・・?


物理現象と数学的な問題を混同する人は多いかもしれません。

例えば、ある物理現象を数学的に記述するというのはよくあることです。

しかし、むろん、物理と数学は別物です。

あくまで、物理現象をモデルとして数学的に記述しているだけです。

今回のガウスの発散定理で言えば、水に相当するものはベクトル場 F です。

しかし、ベクトル場 F は水ではありません。



ベクトル場 F は水ではない・・・。

そうですね。

そうですけど・・・うーん?


この辺りは積分の理論を学ばないと、少し伝わりづらいかもしれませんね。

追加



ベクトル解析の本を色々と比較してみたのですが、ストークスの定理を目標に書いている本が多いですね。


そうですね。

グリーンの定理、ストークスの定理、ガウスの定理。

これらはベクトル解析の3大定理ですね。

また、その証明には微分積分や線形代数の知識が活用されます。

なので、教育的な意味もあります。

ただ、その一方で 「 3大定理の証明にほとんどの時間を費やすことは適切か?」 と考える教員もいます。

ストークスの定理を教えるのもよいが、他のことも教えたいよね、ということです。


あ、そういう考えもあるのですか。


むろん、ストークスの定理は非常に重要ですけどね。

ここは誤解のないように。


ちなみに、「 もっと他の内容も教えたい 」 とは、具体的にどのような?


それは教員によるでしょうね。

例えば、ストークスの定理の応用を教えたいということかもしれません。

グリーンの定理、ストークスの定理、ガウスの定理は物理学で有用なので。

あるいは、非ユークリッド幾何、クラインの幾何、アフィン幾何を教えたいということなのかも。



非ユークリッド幾何?

クラインの幾何?

アフィン幾何?

具体的に、それはどのようなものですか?



その前に、ユークリッド幾何は知っていますか?


あー、えっと・・・平面幾何のことでしたっけ?

現在(2016年)の中学校でも教えられていますよね。

「 2辺とその間の角が等しい三角形は合同である 」 とか。



概ね、そうですね。

実際にはかなり深い話がありますが、ユークリッド幾何は平面の幾何のことだと思ってよい。

一方、非ユークリッド幾何は平面ではないのです。

例えば、球面上で幾何学を展開する。



おもしろそう!


平面では、直線が自身と交わることはありません。

ところが、球面上で直線を描くと、一周して自分自身とつながる。

この辺りはユークリッド幾何にない特色です。


ほほう・・・。

では、クラインの幾何とは?


G を群とする。

M を集合とする。

G は M に作用しているとする。(※代数学で基本的な概念)

任意の g∈G に対して不変な M の部分集合の性質を研究する分野を 『 クラインの幾何 』 と言います。



では、アフィン幾何とは?



GL(n、)={ A∈M)|detA≠0 } と定義する。

O(n)={ A∈M)| AA=E } と定義する。

明らかに、GL(n、) や O(n) は群です。(※分からない人は気にしなくてよい)

GL(n、) を 『 一般線形群 』 という。

O(n) を 『 直交群 』 という。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

とくに、O(2) の元は次のいずれかの形で記述できることが知られています。



これらは 『 回転行列 』 と呼ばれます。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

φ: を φ(x)=Ax+b ( A∈GL(n、)) で定義する。

このとき、φ を 『 アフィン変換 』 という。

ちなみに、 のアフィン変換全体は、写像の合成に関して群となる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

φ: を φ(x)=Ax+b ( A∈O(n)) で定義する。

このとき、φ を 『 等長変換 』 という。

ちなみに、 の等長変換全体は、写像の合成に関して群となる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

とアフィン変換群によって定まるクラインの幾何を 『 アフィン幾何 』 という。

と等長変換群によって定まるクラインの幾何を 『 ユークリッド幾何 』 という。



あれ?

ユークリッド幾何って・・・そういう意味でしたっけ?



一口に 『 ユークリッド幾何 』 といっても、意味は異なる場合があります。



ところで、ベクトル解析の本では grad、div、rot に関する公式が色々と登場しますね。

例えば、次のように。

(*1) rot(gradf)=0

(*2) div(rotF)=0

しかし、なぜこのようなものを考えるのでしょう?

もちろん、grad、div、rot に物理的な意味があることは分かりますが・・・。

さらに rot(gradf) などを考える理由は何かあるのでしょうか?


それの背景には 『 微分形式 』 や 『 ポテンシャル論 』 があります。

微分形式という概念を用いると、(*1)や(*2)を、統一的に d(dω) と表すことができます。


ところで、ポテンシャル論とは?

『 力学の万有引力 』 や 『 電磁気学の静電気力 』 に関連するものだと考えてよいのでしょうか?


そうですね。

ただし、個別の物理現象を意味するのではなくて、純粋に数学的な意味があります。

次のような条件を考えましょう。

(*1) ベクトル場 F に対し、ある関数φが存在して、F=−gradφとなる。

このとき、φを 『 F のポテンシャル 』 と言います。

上の(*1)を一般化して次のように述べることもできます。

(*2) 微分形式ωに対し、ある微分形式μが存在して、ω=dμとなる。



それがポテンシャル・・・?

私のイメージとは異なるようですが・・・。


実は、次の2つは同値です。

(*1) ポテンシャルが存在する。

(*2) 線積分が経路に依存しない。

で、物理学の 『 仕事 』 は線積分として表現できます。

つまり、(*2)は、物理学でよく知られていますね。

例えば、力学において、質点を位置 P から P へ動かすとします。

このとき、どのような経路を通っても、仕事は同じですよね。

つまり、万有引力はポテンシャルをもっている。

よく知られているように、それは 『 位置エネルギー 』 に相当します。


ところで、ポアンカレの補題とは?


ポアンカレの補題とは、ポテンシャルの存在条件を示す定理です。

D を の単連結領域とします。

単連結領域とは、簡単に言えば、穴が空いていない領域のことです。

F を D 上で定義されたベクトル場とします。

このとき、次は同値です。

(1) F はポテンシャルをもつ。( つまり、F=gradφとなる )

(2) rotF=0

これがポアンカレの補題です。


あ・・・!

この定理、よく見ると、rot(gradf)=0 ですね。



そうですね。

このように、ポテンシャルの理論において重要です。


ポアンカレの補題では、「 D が単連結領域である 」 という仮定が必要なのですか。

領域に穴が空いているとダメで、穴が空いていないと成り立つ、というのはおもしろいですね。

定義域の形が定理に絡んでくる。


そうですね。

そもそも、rotF=0 は、次を意味します。

(*1) ∂F/∂y−∂F/∂z=0

(*2) ∂F/∂z−∂F/∂x=0

(*3) ∂F/∂x−∂F/∂y=0

これは 『 偏微分方程式 』 ですね。

で、領域 D 上で定義された微分方程式を解くには 『 D上での積分 』 が必要です

つまり、微分という局所的な情報が、積分という大局的な情報に関連付けられる。

ポアンカレの補題はこの関係を説明しています。



ところで、双対空間とは?



V を K 上のベクトル空間とします。

V 上の K 値線形写像全体を V と表します。

このとき、V を 『 双対空間 』 と言います。


ところで、双対基底とは?



E={ e、e、e } を V の基底とします。

V の元に対し、その第 i 成分を対応させる線形写像を φ と表します。

つまり、v=v+v+v∈V に対し、φ(v)=v です。

このとき、{ φ、φ、φ } は V の基底になります。

また、{ φ、φ、φ } を 『 E の双対空間 』 と言います。



ベクトル空間に 『 基底変換公式 』 と 『 座標変換公式 』 がありましたよね。

双対空間にもあるのでしょうか?



(e、e、e)=(e’、e’、e’)A を基底変換とする。

よく知られているように、V の基底変換公式と座標変換公式は、



一方、V の基底変換公式と座標変換公式は、



これらは純粋に線形代数の理論で導けます。



その、双対空間の 『 双対 』 とは、どういう意味なのでしょう?



いま、v∈V は v=v+v+v と表せます。

また、φ∈V は φ=cφ+cφ+cφ と表せます。

よって、φ(v)=c+c+c です。

これを、v(φ)=v+v+v と見なすこともできます。

これが 『 双対性 』 です。



え、そのような見方をしてよいのですか?

v はベクトルで、φは写像なので、v(φ)という表記に違和感をもつのですが・・・。



まず、φ:v→φ(v) ですよね。

これはφが固定されていて、を動かすということです。

そこで、v を固定して、φを動かしてみる。

つまり、v:φ→φ(v) と見なす。

あるいは、φ と v を両方ともベクトルだと思ってしまってよい。

つまり、最初から、(*3)と(*4)を、V の定義として採用するのです。

で、v と φ の積を v*φ=v+v+v で定義する。



ところで、反変ベクトル、共変ベクトルとは?



V の元を 『 反変ベクトル 』 と言います。

の元を 『 共変ベクトル 』 と言います。

名前の由来を説明するために、基底変換 (e、e、e)=(e’、e’、e’)A を考えます。

改めて、(*1)〜(*4)をここに書きます。



いま、V の座標変換公式(*2)は、基底変換(e’、e’、e’)→(e、e、e)と逆向きです。

なので、V の元を 『 反変ベクトル 』 と言います。

また、V の座標変換公式(*4)は、基底変換(e’、e’、e’)→(e、e、e)と同向きです。

なので、V の元を 『 共変ベクトル 』 と言います。



ところで、テンソルとは?



簡単に言うと、テンソルはベクトルの概念を広げたものです。

しかし、テンソルを対談形式で説明することは難しいですね・・・。

ただし、上で説明した反変ベクトルと共変ベクトルに対する理解は、テンソルの学習に役立つと思います。