対談形式(微分形式)

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ところで、ベクトル解析の三大定理ってありますよね。



グリーンの定理、ガウスの発散定理、ストークスの定理ですね。

グリーンの定理は、

(*1) ∫∫(∂g/∂x−∂f/∂y)dxdy=∫∂D(fdx+gdy)

ガウスの定理は、

(*2) ∫∫∫divFdxdydz=∫∫F・ndS

ストークスの定理は、

(*3) ∫∫rotF・ndS=∫∂S



それです。

ええと・・・それって・・・覚えているのですか?

何か、教科書によって表記も微妙に異なっていて、私はいつも混乱してしまうのですが・・・。



覚えるというより、意味を理解すると自然に頭に入ります。

あるいは、自分なりにストーリーを付けることが重要ですね。



具体的に、どのようなストーリーが?



あくまで、私個人のストーリーですが、これを紹介しましょう。

その前に、どうしても1つだけ説明しておかなければならないことがあります。

それは 『 境界 』 という概念です。

これは数学用語ですが、日常的な意味で考えてもらえば概ね合っています。

例えば、3次元の領域 D を考えます。

この場合、D の境界 ∂D は、領域 D の表面を意味します。

つまり、∂D は閉曲面です。

例えば、球体の境界は球面です。

次に、2次元の領域 D を考えます。

この場合、D の境界∂D は D の周囲の曲線を意味します。

つまり、∂D は平面上の閉曲線です。

例えば、2次元の円板の境界は円です。

次に、1次元の領域 I を考えます。( つまり数直線の区間です )

この場合、I の境界 ∂I は、区間の両端を意味します。

つまり、∂I は2つの点です。

例えば、1次元の区間 (a、b) の境界は点 a と点 b です。

次に、曲面 S を考える。

この場合、S の境界 ∂S は、閉曲線を意味する。

例えば、茶碗型の曲面の境界は、円である。( つまり、茶碗の縁に相当する )



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

さらに、上記の境界には向きが与えられています。

ただし、向きを厳密に定義することは難しいので、簡単に述べます。

3次元領域 D の境界 ∂D の向きは 『 外向き 』 です。

2次元領域 D の境界 ∂D の向きは 『 反時計回り 』 です。( ただし図形を手前側から見る )

1次元領域 I の境界 ∂I の向きは 『 a から b 』 です。

とくに、1次元については、∫∂I(df/dt)=f(b)−f(a) です。

つまり、





ふむふむ。



まず、グリーンの定理∫∫(∂g/∂x−∂f/∂y)dxdy=∫∂D(fdx+gdy) について。

D は の領域です。

なので、その境界 ∂D は、平面に描かれた閉曲線を意味します。

閉曲線には向きが与えられていて、簡単に言えば反時計回りです。

いま、上式の左辺は重積分で、右辺は線積分です。

また、左辺の ∂g/∂x−∂f/∂y は 『 回転 』 ですよね。(※ 対談形式(ベクトル解析)などを参照 )

ここまでの内容を整理すると、1つのストーリーが視えます。

あくまで感覚的な表現ですが、重積分の方が、線積分よりも次元が大きいですよね。

グリーンの定理は、この次元をグレードダウンさせることができる。

つまり、グリーンの定理とは、重積分を線積分にグレードダウンさせる定理なのです。

さらに、左辺の回転 ∂g/∂x−∂f/∂y が、右辺の ∂D に遺伝しています。



なるほど。

グリーンの定理は重積分を線積分にグレードダウンさせる定理・・・。

ゲームで言うと、弱体化魔法のようなものですね!



なぜゲームの魔法に比喩するのか分かりませんが、まぁ、そうです。

後で述べますが、ガウスの定理やストークスの定理も・・・えーと、弱体化魔法です。

つまり、ある意味で積分の次元を下げる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

実は、同様の話は他分野にも見られます。

例えば、複素解析には 『 留数定理 』 があります。

これは 『 積分計算 』 を 『 算数 』 にグレードダウンさせる定理です。

また、微分積分には 『 ハイネ・ボレルの被覆定理 』 があります。

これは 『 無限被覆 』 を 『 有限被覆 』 にグレードダウンさせる定理です。



では、ガウスの発散定理は?



ガウスの発散定理∫∫∫divFdxdydz=∫∫F・ndS について述べます。

上式左辺は3重積分で、上式右辺は曲面積分です。

この意味で、ガウスの発散定理は、体積分を曲面積分にグレードダウンさせる定理です。

また、divF は F の湧き出しです。(※対談形式(ベクトル解析)などを参照)

つまり、左辺の積分は、3次元の領域 V の中で、F がどれほど湧き出るかを意味します。

むろん、湧き出た量は、曲面を通るはずです。

F が曲面を通るとき、本質的な流量は F・n です。

ただし、n は曲面 S の単位法ベクトル場です。

内積をとることによって、F の n 方向の成分を取り出すわけですね。



なるほど。

ガウスの発散定理は、体積分を曲面積分にグレードダウンさせる定理・・・。

「 体積から湧き出す F の量 」 = 「 曲面を通る F の量 」 ですね。



次に、ストークスの定理∫∫rotF・ndS=∫∂SF について述べます。

上式右辺はベクトル場 F に対する接線線積分です。

つまり、ストークスの定理は、曲面積分を接線線積分にグレードダウンさせる定理です。

さらに、左辺の回転 rotF が、右辺の ∂S に遺伝しています。



回転が遺伝するというのは、グリーンの定理にもありましたね。



そうです。

ストークスの定理とガウスの定理は、グリーンの定理の一般化です。

ただし、一般化させる方向が異なる。



これで三大定理がすべて揃いましたね。



そうですね。

後は、一度だけ自分の中で回想して整理するとよいでしょうね。

ちなみに、グリーンの定理は 『 微分積分学の基本定理 』 の一般化です。

微分積分学の基本定理とは、高校数学でも知られている∫(df/dx)dx=f(b)−f(a) のことです。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ガウスの発散定理は、電磁気学の 『 ガウスの法則 』 で有名ですね。

ガウスの法則とは、∫E・ndS=狽SπCQ です。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ストークスの定理は、電磁気学の 『 アンペールの法則 』 と関連していることで有名ですね。

アンペールの法則とは、∫∂SB=μJ・n dS です。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ストークスの定理とアンペールの法則を比較すると、rotB=μJ が分かります。

これは 「 電流 J が流れると、周囲に磁場 B が発生する 」 を意味します。

これは理科の実験でよく知られていますね。



なるほどなるほど・・・。

ベクトル解析の三大定理の意味が分かりました。



さらに、これを微分形式で書き直すことができます。



微分形式・・・聞いたことがあります。

しかし、何だか難しそうなんですよねぇ・・・。



たしかに、微分形式の理論は奥が深いですね。

ただし、形式的な微分形式は、単なる表記法のアルゴリズムです。

この意味で、微分形式は中学生でも学ぶことができます。



「 中学生でもできる 」 ・・・本当に?

具体的に、微分形式で何をどのように表すのですか?



まず、ストーリーを付けるために、微分形式を考える理由からスターとします。

D を の領域とする。

f:D→ を関数とする。

Γ:[a、b]→D を曲線とする。

Γ=(Γ、・・・、Γ) とおく。

あるいは、Γ=(x、・・・、x) とおく。

いま、f*Γ:[a、b]→ ですよね。

また、(f*Γ)’の積分は次のように表されます。



この積分の中身に注目します。

あくまで形式的な話ですが、dΓ/dt と dt が約分されていると見なします。

すると、積分の中身は (∂f/∂x)dΓ+・・・(∂f/∂x)dΓ と表せます。

あるいは、(∂f/∂x)dx+・・・(∂f/∂x)dx と表せます。

つまり、数学において、pdx+・・・+pdx という形は非常に有用です。



たしかに、そういう形の表記はよく登場しますよね。



そこで、この表記に名前やルールを与えます。

一気に行きますよ。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次式を 『 0次微分形式(0-形式)』 という。

1変数 : f(x)

2変数 : f(x、y)

3変数 : f(x、y、z)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次式を 『 1次微分形式(1-形式)』 という。

1変数 : f(x)dx

2変数 : f(x、y)dx+g(x、y)dy

3変数 : f(x、y、z)dx+g(x、y、z)dy+h(x、y、z)dz

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次式を 『 2次微分形式(2-形式)』 という。

1変数 : 0 のみ

2変数 : f(x、y)dx∧dy

3変数 : f(x、y、z)dy∧dz+g(x、y、z)dz∧dx+h(x、y、z)dx∧dy

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次式を 『 3次微分形式(3-形式)』 という。

1変数 : 0 のみ

2変数 : 0 のみ

3変数 : f(x、y、z)dx∧dy∧dz

4変数 : fdx∧dy∧dz+fdt∧dx∧dy+fdt∧dx∧dz+fdt∧dy∧dz

ただし、4変数では変数を(t、x、y、z)としている。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

2-形式の外積は次のルールを満たすとする。

(*1) dx∧dx=−dx∧dx

(*2) adx∧(bdx+bdx+・・・)=adx∧dx+adx∧dx+・・・

(*3) (adx+adx+・・・)∧bdx=adx∧dx+adx∧dx+・・・

とくに、(*1) を 『 交代性 』 または 『 反対称性 』 という。

また、(*2)と(*3)を 『 分配則 』 という。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

量は多いですが、1つ1つを落ち着いて見てください。

簡単でしょう?

中学生でも理解できるでしょう?



・・・そうですね。

たしかに、難しくはないです。



さらに、次が成り立つ。



(1)は、交代性より、dx∧dx=−dx∧dx であることから分かります。

(2)は、普通に分配則と交代性を用いただけです。

(3)は、(2)の簡単な場合です。



そうですね。

一応、分配則は中学生でもやるから・・・たしかに、中学生でも分かりますね。



さらに、名称とルールを追加します。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次式を 『 f の全微分 』 という。

1変数 : df=(df/dx)dx

2変数 : df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy

3変数 : df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy+(∂f/∂z)dz

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ω=f(x、・・・、x)dxi1∧・・・∧dxik を n 変数 k 次微分形式とする。

次のように定義する。



つまり、



このとき、dωを 『 ωの外微分 』 という。

つまり、外微分は(k+1)形式である。

つまり、外微分 dω とは、ω の係数 f を df に置き換えたものである。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

以上で 『 ルール 』 と 『 名称 』 は揃いました。



全微分は中学生では分かりませんよね!?



問題ないです。

既に述べたように、これは表記のルールです。

f に対して、dx の前に ∂f/∂x が付くことが分かればよい。

つまり、中学生でも大丈夫です。

外微分も同様です。

外微分は、微分形式の係数の関数を全微分に置き換えただけです。



むむむ・・・たしかに。



で、以上のルールによって次が成り立ちます。



(1)の係数は、gradf になっている。

(2)の係数は、グリーンの公式に出てきたものと同じである。

(3)の係数は、F=(f、g、h)とおけば、rotF である。

(4)の係数は、F=(f、g、h)とおけば、divF である。

上記の計算は理解を確認する演習問題として最適です。

実際にやってみてください。

ここまでのルールに従うだけでよいのです。

ちなみに、(1)は定義そのままなので計算する必要はありません。



ええと・・・。

(2)の計算は、



(3)の計算は、



(4)の計算は、



たしかに・・・高校の知識はつかっていないので、中学生でもできますね。



そして、電磁気学では次の式が知られています。



記号の意味を知らない人は気にしないでよいです。

少し説明しておくと、E は電場で、B は磁場です。

ここで、E=(E、E、E)、B=(B、B、B) とおきます。

さらに、次のようにおきます。



さらに、次のようにおきます。



このとき、次が成り立ちます。



これが成り立つことは、上の演習問題の結果を当てはめるだけでよいです。

難しくないはずなので、実際に頭の中で確認するとよいでしょう。

これで、私たちは 『 静電磁場の法則 』 を微分形式によって記述することに成功しました。



本当に・・・中学レベルの知識だけですね。



もし、あなたが電磁気学の教科書で divE=ρ/ε などの式に出会ったら、ここでの話が役立つでしょう。

既にあなたは、それを微分形式で記述する方法を知っているのです。