対談形式(微分幾何)

サイトのTOP→理系インデックス
対談形式のTOP→対談形式インデックス





メイン



微分幾何とは?

位相幾何という分野もあるそうですが、これらは何がどのように違うのでしょう?



例えば、普通、立方体と球は区別されますよね。

これは、この2つの曲面の 『 曲がり具合 』 が異なるからです。

このように、曲面の曲がり具合に注目する分野を 『 微分幾何 』 と言います。

しかし、曲がり具合を気にしなければ、この2つは同一視できます。

実際、この2つの図形がゴムのようにグニャグニャ動く図形であれば、互いに変形できますよね。

このような状況で、何が本質的な性質になるでしょうか?

それは図形の 『 繋がり具合 』 です。

この視点に立てば、ドーナツとコーヒーカップは同一視できます。

実際、素材がゴムのように伸縮するものであれば、コーヒーカップをドーナツの形に変形できますよね。

このように、図形の繋がり具合に注目する分野を 『 位相幾何 』 と言います。



ところで、弧長パラメータとは?



Γ:I→R を曲線とする。

a∈I とおく。

a から t∈I までの曲線の長さを s(t) と表す。

つまり、s(t)=∫[a、t]|| Γ’(t) || dt です。

このとき、s(t) を弧長パラメータという。

正則曲線では、つねに Γ’(t)≠0 でしたよね。

よって、つねに ds(t)/dt=|| Γ’(t) ||>0 です。

つまり、s(t) は t に関して単調増加です。

よって、逆関数 t(s) が存在する。

つまり、Γ(t)=Γ(t(s))と表せる。

Γ(t(s)) を略記して、Γ(s) と表す。

Γ’(t) は dΓ(t)/dt を意味しますが、Γ’(s) は dΓ(s)/ds を意味します。

おそらく、この辺りで混乱する人はいると思うので注意ですね。



なぜ、わざわざパラメータを置き換えるのでしょう?



実は、弧長パラメータ s で表示すると、つねに || Γ’(s) ||=1 となります。

計算は省略しますが、これは弧長パラメータの意味を考えれば当然ですね。



弧長パラメータで表示すると、曲線が単位速さになるのですね。

たしかに、便利かも。



はい。



ところで、曲率とは?



s を弧長パラメータとします。

κ:I→ を κ(s)=|| Γ’’(s) || で定義します。

このとき、κ を 『 Γの曲率 』 と言います。


あれ?

s は弧長パラメータなので、|| Γ’(s) ||=1 ですよね?

すると、|| Γ’’(s) ||=0 になってしまうのでは?



なりませんよ。

落ち着いて考えれば分かるはずです。



・・・。

・・・。

・・・あ。

そうか、|| Γ’(s) ||=1 でも、Γ’の向きは変化するので、加速度が 0 になるとは限らないですね。



そうです。

|| Γ’(s) ||=1 は一定なので、Γ’(s) は向きを変えるだけです。

よって、Γ’(s) と Γ’’(s) はつねに直交しています。



ところで、フレネ機構とは?



次のように定義します。

(1) e(s)=Γ’(s)

(2) e(s)=κ(s)-1Γ’’(s)

(3) e(s)=e(s)×e(s)

は 『 単位接ベクトル 』 である。

を 『 単位主法線ベクトル 』 という。

を 『 単位従法線ベクトル 』 という。

このとき、(e(s)、e(s)、e(s)) を 『 フレネ機構 』 という。

つまり、フレネ機構とは、直交座標であり、その原点は曲線上を移動します。



ええと、e(s) と e(s) が直交しているという話は先ほど出ましたね。

そして、e(s)=e(s)×e(s) も、e(s) や e(s)と直交する。

なるほど、たしかに、(e(s)、e(s)、e(s)) は直交座標ですね。



結局、目的は 「 曲線上に直交座標を作ること 」 だったのです。



ところで、第1基本量、第1基本形式、第2基本量、第2基本形式とは?



第1基本形式は、曲面の2点間の距離に関する情報を微分形式で表したものです。

第1基本量は、第1基本形式を行列で表したものです。

第2基本形式は、曲面の法ベクトルに関する情報を微分形式で表した式です。

第2基本量は、第2基本形式を行列で表したものです。

ただし、ここでの微分形式は形式的なものです。

微分形式について深い理解が必要というわけではありません。



それらにどのような意味があるのでしょう?



第1基本量は、曲面の歪みを表しています。

これの発展版が 『 リーマン計量 』 です。

第2基本量は、曲面の凹凸を表しています。

これは微分積分の 『 ヘッセ行列 』 に相当します。



第1基本量は、曲面の歪みを表す・・・。

具体的には?



φ:D→ を曲面とする。

Γ:I→D を曲線とする。

つまり、Γは平面曲線です。

また、φ*Γは曲面上の曲線です。

I を第1基本量とする。

このとき、((φ*Γ)’(t)、(φ*Γ)’(t))=Γ’(t)I(Γ(t))Γ’(t)が成り立ちます。

これは、曲線 φ*Γ と曲線 Γ の長さの関係を表しています。

とくに、第1基本量Tが単位行列であるとすると、||φ*Γ’(t)||=|| Γ’(t) || です。

これは曲面に歪みがないことを意味します。


なるほど。

では、第2基本量が曲面の凹凸を表すとは?



まず、高度関数について説明します。

これは幾何学によく登場します。

φ:D→ を曲面とする。

=(u、v)∈D とおく。

=φ(x) とおく。

k:D→ を k(x)=(φ(x)-p、n(p))で定義する。

このとき、k を 『 高度関数 』 という。

明らかに、k は曲面の凹凸に関する情報をもっています。

実際、曲面が凹ならば k>0 ですね。

また、曲面が凸ならば k<0 ですね。

さて、U=(hij) を第2基本量とします。

すると、∂k(x)=hij(x) が成り立ちます。(証明省略)

つまり、第2基本量は曲面の凹凸を表します。



ところで、測地線とは?



測地線とは、曲面上の直線です。



曲面上の直線?



φ(u、v)を曲面とする。

Γ(t)を曲面上の曲線とする。( t は弧長パラメータでなくてよい )

いま、曲線Γは次のように分解できる。

(*) Γ’’(t)=tanΓ’’(t)+norΓ’’(t)

ただし、tanΓ’’は、Γ’’の曲面に対する接成分である。

また、norΓ’’は、Γ’’の曲面に対する法成分である。

このような分解について tanΓ’’(t)=0 であるとする。

このとき、Γ(t)を 『 曲面φ上の測地線 』 という。



ああー、なるほど。

たしかに、曲面内で直線という意味ですね。

しかし、外から見ると曲がって視えますよね。



そうですね。

例えば、円柱に対して次のような測地線が考えられます。





ところで、等温座標系とは?



等温座標系とは、等角写像のことですよ。



等角写像・・・複素解析で登場しますよね。

たしか、角度を保存する写像ですよね。



φ(u、v)を曲面とする。

(u(t)、v(t))、(u(t)、v(t))を平面(u、v)上の曲線とする。

この2つの曲線は t で交わるとする。

この2つの曲線の速度ベクトルの交角を θ とする。

いま、φ(u(t)、v(t))とφ(u(t)、v(t))も交わる。

この2つの曲線の速度ベクトルの交角を θ とする。

θ=θ とする。

このような座標系を 『 等温座標系 』 という。


たしかに、(u、v)が等温座標系ならば、曲面φは等角写像ですね。



そうです。

さらに、次は同値です。

(1) (u、v)平面は等温座標系である。

(2) 第1基本量は単位行列の定数倍である。

証明は簡単ですが、省略します。

ただし、既に述べたように、第1基本量は曲面の歪みを意味します。

よって、この定理が成り立つことは道理です。


ところで、ガウス・ボネの定理とは?

どうやら微分幾何学の世界で非常に重要な定理らしいですね。



そうですね。

厳密な証明は面倒ですが、概要の説明は初等的に済むので、色々な本にも登場します。

ここでも簡単に説明しましょう。

まず、穴が空いていない領域を 『 単連結 』 という。

( 厳密には 『 ホモトピ同値 』 という概念を用いて定義できる )

曲面上の3点を結ぶ3本の測地線で囲まれた単連結な有界閉領域を 『 測地三角形 』 という。

Kをガウス曲率とする。

△ABC を曲面上の測地三角形とする。

その内角を ∠A、∠B、∠C とする。

つまり、曲面上の測地線の速度ベクトルがなす角である。

このとき、次が成り立つ。

(*) ∠A+∠B+∠C=π+∬△ABCKdA

これが 『 ガウス・ボネの定理〜その1 』 です。



つまり、曲面上ではπよりも大きくなったり、小さくなったりするということですね。

K>0 ならば、内角の和はπより大きくなる。

K<0 ならば、内角の和はπより小さくなる。



球のように閉じた曲面を 『 閉曲面 』 という。

閉曲面は測地三角形に分割できることが知られている。(証明省略)

S を閉曲面とする。

S を測地三角形に分割する。

次のように定義する。

(*) χ(S)=(頂点の数)−(辺の数)+(面の数)

このとき、χ(S)を 『 Sのオイラー数 』 という。

このとき、∬KdS=2πχ(S)である。 これが 『 ガウス・ボネの定理〜その2 』 です。



つまり・・・ガウス曲率の曲面積分が、測地三角形の 「 頂数・辺・面 」 の数から計算できる・・・???

不思議ですね・・・。



これの証明は 『 ガウス・ボネの定理〜その1 』 を既知とすると、簡単にできます。

なので、ここに書いておきましょう。

以下、測地三角形を単に三角形という。

S を三角形に分割する。

分割によって生じた n 個の頂点を p、・・・、p とする。

を、p を頂点にもつ三角形の数とする。

この三角形を Tk、1、・・・、Tk、m とする。

むろん、1≦i≦m(Tk、i の点 p での内角)=2πである。

よって、次が成り立つ。

(*1) (すべての三角形の内角の和)=1≦k≦n1≦i≦m(Tk、i の点 p での内角)=2πn である。

一方、次が成り立つ。。(※ガウス・ボネの定理〜その1)

(*2) (すべての三角形の内角の和)=∬KdA+π・(三角形の数)である。

いま、1本の辺は2個の三角形によって共有されている。

また、1個の三角形は、3本の辺に囲まれる。

よって、3・(面の数)=2・(辺の数)である。

また、頂点の数は n 個である。

よって、2πn−π・(面の数)=2π・(頂点の数)−2π・(辺の数)+2π・(面の数)である。

よって、次が成り立つ。

(*3) 2πn−π・(面の数)=2πχ(S)である。

よって、(*1)、(*2)、(*3)より、∬KdA=2πχ(S)である。



ところで、種数とは?



まず、三角形による向きづけについて説明しますね。

曲面は測地三角形によって分割されているとする。

1つの三角形について、辺をひと回りする向きを1つ定める。

隣り合う2つの三角形について、共有する辺の向きが逆になっているとする。

このとき、「 2つの三角形は同調している 」 という。

いま、1つの三角形を向きづけておく。

さらに、隣の三角形には同調する向きをつける。

さらに、他の三角形に対して順々に向きづけていく。

こうして、すべての三角形に矛盾なく向きをつけられるとする。

このとき、「 この曲面は三角形によって向きづけ可能である 」 という。



図示すると、こんな感じですね。





自己交叉しない閉曲面は、三角形によって向きづけ可能であることが知られています。(★1)

( ただし、これの証明は難しいので省略する )

下図のような閉曲面を考えます。



これは 「 g人乗りの浮き輪 」 と表現されることも多い。

このとき、g を 『 閉曲面の種数 』 という。

実は、三角形によって向きづけ可能な曲面は、ある種数 g をもつ閉曲面と同相です。(★2)

( これの証明も省略します )

ここで、下図のような図形を考えます。



これは種数1の閉曲面と同相です。

この図形の場合、穴が空いた閉曲面とは呼べませんね。

しかし、(★1)、(★2)より、同相な閉曲面で類別することで、この図形の種数を1と定義できます。

つまり、三角形によって向きづけ可能な閉曲面についても種数を定義できる。



つまり、自己交叉しない閉曲面に種数を定義できる。

つまり、普通に考えられるすべて閉曲面を分類できるということですね。



さらに、オイラー数と種数には強い関連性があります。

S を3角形によって向きづけ可能な閉曲面とする。

このとき、χ(S)=2−2g が成り立つ。