対談形式(微分積分)

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微分積分の教科書を少し読んでみたのですけれど、色々なテーマがありますよね。

まず、逆関数とは?


逆関数とは、y=f(x)について、x と y を引っくり返した関数のことです。

とくに、中学や高校でお馴染みの1変数実数値関数の場合、y=x に関する反転を意味します。

図示すると、





へー?

じゃあ、y=sinx の逆関数は x=siny ですか?



その通りです。

x=siny を y=sin−1x と表します。

とくに、3角関数の逆関数は 『 逆3角関数 』 などと呼ばれたりします。

ただし、色々と前提条件があるので注意しないといけない。

何も考えずに y=sin−1x と書くのは間違いですからね。



え???

何が問題なのでしょう?

y=sin−1x というのは、要するに、x 軸と y 軸を交換しただけですよね。


そうですね。

ただし、y=sinx の逆関数をとるときには、定義域を [−π/2、π/2] に制限する必要があります。

もし制限しないと、逆3角関数を定義するときに、値が一意に定まらないからです。

例えば、y=sin−1x に対して x=1/2 を入力すると、π/6 と 5π/6 が出てしまいます。

y=sinx の定義域を [−π/2、π/2] に制限すれば、値は π/6 だけです。


x=1/2 を入力すると、π/6 と 5π/6 が出るというのは分かります。

しかし、それの何が問題なのでしょう?


高校の段階では意識されにくいですが、

「 関数は値が一意になるように定める 」

・・・と定義されています。

1つの x に対して値が複数対応するということはありません。

だから、例えば、y=x を 『 x の関数 』 と呼びますが、x=y は違います。

実際、x=y の場合、x=1を入力すると y=±1 が出力されます。

つまり、1つの x に対して、複数の y が対応しています。

こういうものは 『 x の関数 』 とは呼べません。

だから、x=y は、y=±√x で2つに分けて考えます。

これは高校の教科書にも書かれていることですが、忘れている人は多いかもしれません。


ええー・・・そんなこと書かれていましたっけ・・・?

( 高校の教科書をパラパラパラ・・・)

あ、書いてあった。



はい。



そういえば、集合論で 『 逆写像 』 という言葉を聞いたことがあります。

これは逆3角関数と関係ありますか?



ありますよ。

逆写像は、逆3角関数や逆関数の一般化です。

逆写像は、元の関数が単射のときに定義されます。

単射とは、「 x≠x ⇒ f(x)≠f(x) 」 を意味します。

y=sinx の定義域を [−π/2、π/2] に制限すると、y=sinx は単調増加になりますね。

単調増加とは、「 x<x ⇒ f(x)<f(x)が成り立つこと 」 を意味します。

これは、言い換えれば、x≠x ⇒ f(x)≠f(x)ですね。

つまり、逆写像を定義できるということです。

それが逆3角関数というわけです。

集合論を知らない人は、この話は聞き流してもよいです。



ふむふむ。

ええと・・・ここまで内容をまとめると、次のような感じですね。





そうですね。



ところで、実数の連続性とは?



実数の連続性は、実数の精密化ですね。



実数の精密化・・・?

実数の定義に曖昧な部分なんてありましたっけ?



例えば、√2 の存在、πの存在が示されていません。



πの存在・・・?

存在も何も、πはπですよね?



では、πの定義を知っていますか?



ええと・・・。

「 円周=直径×π」 ですよね。

つまり、π=円周/直径です。



それがπの定義ですか?

『 円周 』 というのは、どこから来るのでしょう?



え、それは測ればよいのでは?



どのように?



えっと、こう、定規を押し当ててですね・・・。

回転させながら・・・。



けど、正確には測れませんよね?



むむむ・・・。

しかし、円周というものは 「 ある 」 はずです。

だから、そういうものがあるとして、π=円周/直径として定義すればよいのでは?



その定義が間違いであるとは言いません。

ただし、円周という概念を定式化できていません。

なので、その定義は天下り的です。



そうですね・・・。

はっ・・・!?

待ってください、よいことを思いつきましたよ。

円周は 「 π×直径 」 で計算すれば出ますよね。



それは循環論法です。

先ほどの話ではπの定義が円周に基づいているのに、その円周をπで計算しては意味がありません。



そうでした・・・。



このように、実数について深く考えると、曖昧な部分が多くあることに気付くと思います。

そこで、実数の連続性を考える必要が出てきます。



なるほど・・・。

具体的に、何をどのように厳密化するのでしょう?



実数の連続性では 『 極限 』 が必要です。

で、この極限についても、高校数学では少し曖昧な部分がある。

例えば、limn→∞1/n=0 がどういうことか分かりますか?



ええと・・・、n を無限大にすると、1/n が 0 に 「 なる 」 ということですよね?



いえ、1/n が 0 に 「 なる 」 わけではないのですよ。

実際、1 を何で割っても 0 にはなりませんよね?



え、けど・・・∞っていう数で割れば 0 になるのでは?



いや、∞ は数ではありませんよ。

だから、「 ∞ で割る 」 という表現は間違いです。

( 広義実数として割る場合はよいが、話が逸れるので省略する )



∞ が数ではない?

そうなのですか???



そうですよ。

例えば、∞ を 2 で割るといくつになるか計算できますか?



ん・・・∞ を2で割っても ∞ ですよね・・・?



そうだとすると、∞ は 2 で割っても変化しないということですよね?

明らかに、他の数とは異なる性質をもっていることになります。

これを数と認めてしまってよいのでしょうか?



たしかに、∞ を数と認めてしまうとおかしなことになりますね。

すると、ええと、limn→∞1/n=0 は何を意味するのでしょう?

1/n が 0 に 「 なる 」 わけではない?



そうです。

実際には、「 1/n が 0 にいくらでも近づく 」 という意味です。

この 「 いくらでも近づく 」 という概念を定式化したものが 『 εN論法 』 です。

ここに書いた n は、自然数です。

同じように、実数 x で limx→∞1/x=0 を考えることができます。

この場合は 『 εδ論法 』 と呼ばれています。



「 近づく 」 という概念を定式化する?

一体、どうやるんだろう・・・?



数列の極限をεN論法で表すと、次のようになります。

(*) 任意のε>0 に対し、ある自然数 N が存在して、n≧N ⇒|a−a|<ε

関数の連続性をεδ論法で表すと、次のようになります。

(*) 任意のε>0 に対し、あるδ>0 が存在して、0<|x−a|<δ⇒|f(x)−f(a)|<ε



・・・何ですか、これ?



一見すると複雑に視えるかもしれません。

しかし、この辺りは実際に学んでみれば、それほど複雑ではないのです。

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まず、εN論法について。

数列の極限は高校数学でも扱います。

高校数学では limn→∞=a は 「 数列 a が a に限りなく近づく 」 と表現されています。

しかし、これは a が a に近づく 『 速さ 』 を定式化していません。

一方、εN論法では、数列 a が a±εの範囲に収まるのは何番目以降であるかを記述しています。

つまり、εN論法とは 『 収束の速さを定式化したもの 』 です。

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次に、εδ論法について。

まず、関数 y=f(x) は出力装置と見なせます。

つまり、f(x) は 『 x を入力すると y が出力される装置 』 です。

また、よく知られているように、理論値と測定値は必ずしも一致しません。

その理由の1つとして 「 現実には入力を完全に行うことができない 」 ということが挙げられます。

例えば、f(x)=x とします。

ここでは、f(x)=x は何らかの現象を記述する関数とします。

いま、x=2 を正確に入力すれば、y=4 が出力されます。

しかし、現実として、一切の誤差もなく x=2 を入力することは不可能です。

すると、

「 どのくらいの精度で入力することが可能か? 」

「 どのくらいの精度で入力すると、出力の誤差はどの程度に収まるか? 」

・・・という自然な問題が出ます。

これを定式化すると、「 x±δの範囲で入力すると、y±εの範囲で出力されるか? 」 となります。

つまり、εδ論法とは 『 誤差評価 』 です。

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残念ながら、現在(2016年)の大学教育では、

「 εN論法やεδ論法は工学では不要 」

・・・という誤解が広まっています。

しかし、これらの概念は 「 近似 」 や 「 誤差評価 」 に深く通じる概念です。

よって、εδ論法は工学においても非常に有用です。



ところで、上限・下限とは?



上限は、最大値の一般化です。

下限は、最小値の一般化です。



最大値・最小値の一般化?



はい。

例えば、0≦x<2 を満たす x 全体を [0、2) と表しましょう。

[0、2) は右半開区間と呼ばれます。

この集合に最大値は存在しませんよね。



ええ!?

ちょっと待ってください。

[0、2) の最大値は、存在しますよね?



ふむ。

では、具体的に、その最大値とは何ですか?



えっと、[0、2)の最大値は・・・。

・・・。

2・・・とか?



うーん。

しかし、2 は [0、2) に属していませんよね。

つまり、2 が [0、2) の最大値であるという主張はおかしいですね。



むむむ・・・。

えっと、じゃあ、1.999・・・が [0、2) の最大値?



1.999・・・=2 ですよ。



ええ!?

でも、表記が異なりますよね。



いえ、これは 『 実数の連続性 』 に基づく事実です。

例えば、1.999・・・=1+0.9+0.09+・・・として計算すれば 2 になります。

高校数学の等比数列の和の公式を用いて極限をとればよい。

ただし、ここには実数の連続性が用いられています。



むむむ・・・。

ということは、1.999・・・も [0、2) の最大値ではない?



何しろ、本性が 2 ですからねぇ・・・。



あれー?

でも、[0、2)って、上に限界がありますよね?

最大値はあるはずなんだけどなぁ・・・?



[0、2)に最大値が存在しないことは、高校レベルの知識で簡単に証明できますよ。



うそん・・・。

どうやるのですか???



背理法を使用します。

a を [0、2) の最大値と仮定する。(★)

いま、a は [0、2) に属する。

つまり、0≦a<2 である。

b=(a+2)/2 とおく。

明らかに、a<b<2 である。

つまり、b は [0、2) に属し、かつ、a よりも大きい。

これは、a が最大値であるという仮定に矛盾する。

つまり、最初の仮定(★)が間違っていたのである。

よって、[0、2) は最大値をもたない。



な・・・な・・・なんと・・・。

[0、2) は最大値をもたない・・・?



はい。



は・・・!?

いや、待ってください。

[0、2)に最大値が存在するという証明を思いつきましたよ!



ふむ・・・?

どんな証明ですか?



まず、長さ [0、2) の棒を用意します。

これを地面に垂直に立てます。

そして、この棒に手を載せます。

いま私が触れている部分が [0、2) の最大値です!



なるほど。

しかし、 現実の世界では [0、2) と [0、2] の区別が付きません。

よって、あなたが触れているのは 『 2 』 ですね。



ガーン!?

というか・・・現実では [0、2) と [0、2] は区別できない・・・?



はい。

点に大きさはありませんからね。

現実の世界では 「 大きさが 0 」 は 「 存在しない 」 を意味します。

ところが、数学の世界では点の存在も議論できる。

これによって数学に対して違和感をもつ人がいるかもしれません。



そっか・・・じゃあ、やはり [0、2) に最大値はないのか・・・。



けど、[0、2) の 2 は、ある意味で特別ですよね。

そこで、上限という概念を定義します。

これを用いると便利です。

例えば、[0、2) の上限は 2 です。

また、[0、2] の上限も 2 です。



え・・・。

どちらでも上限は 2 であると答えてよいのですか?



そうです。

[0、2)の最大値は存在しない。

しかし、上限は 2 です。

[0、2]の最大値は 2 です。

そして、その上限も 2 であると言えるのです。

つまり、上限は、最大値という概念を含んでいます。



へー・・・。

じゃあ、開区間 (2、5) の下限は 2 で、上限は 5 ということですか?



その通りです。

最大値・最小値は、集合が有界であっても、存在するとは限りません。

しかし、上限・下限は(実数の世界では)必ず存在します。



では、上限の定義はどのようなものなのですか?



次のように定義されます。

A を の部分集合とします。

ある a∈ が存在して、任意の x∈A に対し、x≦a であるとします。

このような a を 『 A の上界 』 と言います。

A の上界全体を U(A) と表します。

U(A)の最小元を supA と表します。

このとき、supA を 『 A の上限 』 と言います。



えええ・・・?

つまり、どういうことですか?



初学の段階では複雑に感じるかもしれませんね。

簡単に言えば、A の上限 a とは、次を満たすものです。

(*) a を少しでも小さくすると、a よりも大きな(Aの)元が存在する。



ええと・・・たしか、[0、2) の上限は 2 ですよね。

2 を少しでも小さくすると、2よりも大きな [0、2) の元が存在する。

たしかに。



そうですね。

同様に、[0、2] の上限も 2 ですよね。

実際、2 を少しでも小さくすると、2よりも大きな [0、2] の元が存在する。

むろん、この場合は、2自身が [0、2] に属しているので当然ですね。



上限は最大値に似ているけれど・・・最大値ではないときもあるということですね。



そうですね。

上限が集合に属しているとき、上限は最大値に一致します。

実際、[0、2] の上限は 2 で、2 は [0、2] に属しているので、これは最大値です。

一方、(0、2) の上限は 2 で、2 は (0、2) に属さないので、これは最大値ではありません。

つまり、上限は、最大値という概念を含んでいます。

この意味で、上限は最大値の一般化です。



むむむ・・・なぜ、こんなに複雑なことに。



その理由は先ほどに登場していますよね。

日常の世界では点の存在の有無を考えることがありません。

しかし、数学の場合には、点の存在の有無が非常に重要です。

なので、数学では上限・下限という概念が本質的に重要です。

ただし、慣れると簡単ですよ。



では、

「 1.999・・・=2 が実数の連続性に基づく事実である 」

・・・というのは、どういうことですか?



まず、実数の連続性は色々な形で表現できます。

例えば、「 すべての実数は小数の形で表せる 」 ということそれ自体が実数の連続性の一部です。

これは 『 10進法展開 』 と呼ばれます。

しかし、これだけでは疑問の答えになっていませんよね。

そこで、他の表現を紹介します。

例えば、実数の連続性の公理として、次のようなものがあります。

(*) 上に有界な単調増加数列は、その上限に収束する。

そこで、数列 1.9、1.99、1.999、・・・ を考えます。

明らかに、これは単調増加数列ですね。

また、上に有界です。

実際、この数列が 5 を超えることはあり得ません。

さて、この数列の上限は何でしょうか?

つまり、集合 A={ 1.9、1.99、1.999、・・・ } の上限は?



2 ですね。

2 を少しでも小さくしたら、2 よりも大きな(Aの)元が必ず存在します。



そうですね。

ここで、数列 1.9、1.99、1.999、・・・の極限を 1.99・・・ と表します。

というわけで、公理(*)より、1.99・・・=2 です。



なるほど・・・!

・・・。

うーん、けど、何だろう?

まだ、少しスッキリしないような・・・?



その気持ちを代弁するならば、

「 そもそも(*)が実数の公理として妥当なのかよく分からない 」

・・・ということでは?



あ、そうです。

そんな感じです。



実数の連続性には多くの同値条件があります。

例えば、次はいずれも同値です。

(1) 上限・下限の存在

(2) 有界な単調数列の収束

(3) 区間縮小法(+アルキメデスの原理)

(4) ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理

(5) コーシーの収束条件(+アルキメデスの原理)

その他、『 中間値の定理 』 や 『 最大値の定理 』 なども仲間です。

むろん、既に紹介した 『 10進法展開 』 も仲間です。

先ほど紹介したのは(2)ですね。

他の同値条件などを学べば、理解が進んで納得できると思います。



上限・下限かぁ・・・考えたこともなかったなぁ。

実数のことなんて分かっていると思ったのに。

まさか、こんな世界が広がっていたなんて・・・。



ちなみに、積分を定義するときに上限・下限を用います。

これによって、高校数学よりも厳密に積分を定義できます。



「 高校数学よりも厳密に 」 って・・・具体的に何が厳密になるのですか?



高校数学では 『 可積分条件 』 を議論していません。

つまり、どういう条件で積分が存在するか、ということを議論していません。

実は、上限と下限を用いることで、積分の存在を議論できます。

さらに、同様の議論によって線積分を定義できます。



具体的に、上限・下限が、積分の定義で、どのように使用されるのですか?



積分を定義するときに、定義域を細かい区間に分けます。

各区間において、関数は最大値・最小値をとるでしょうか?

関数が不連続である場合は、最大値・最小値が存在するとは限りません。

けれども、上限・下限は必ず 『 存在 』 します。

そこで、各区間において、上限・下限をとり、面積の上限・下限を考えます。

とくに、上限・下限が収束するとき、これを積分値として定義します。

とくに、関数が連続な場合、この積分値は必ず 『 存在 』 することが示せます。

このような通常の積分を 『 リーマン積分 』 と言います。

高校までだと、「 積分は存在して当たり前 」 という感覚になりがちです。

しかし、理論的にはリーマン積分不可能な場合があることも含めて議論することが重要です。

だから、このように厳密化します。

ちなみに、リーマン積分不可能な関数であっても、ルベーグ積分可能な場合があります。



ん・・・?

「 関数が不連続である場合は、最大値・最小値が存在するとは限らない 」

・・・という部分がよく分からないです。



例えば、下図のような状況です。



この場合、値域が [2、4) となっているので、最大値が存在しませんよね。



なるほど・・・。

いや、でも、待ってください。

それなら、[a、b] と [b、c] で分けて考えればよいのでは?

それぞれの区間で積分を定義して、それを足し合わせれば問題解決であるように思えます。



たしかに、不連続点が有限個である場合はそれでもよいですね。

しかし、不連続点が無限個ある場合はどうでしょう?



それは・・・困りますね。

そうか・・・。

上限・下限を用いると、不連続点が無限個の場合にも、リーマン積分が定義できるのか・・・。



はい。

ただし、『 無限個 』 にも種類があります。

で、無限個の種類が大きすぎると、リーマン積分ができない場合があります。

より正確に言うと、不連続点が零集合であればリーマン可積分です。



無限個にも種類がある!?



はい。

詳しいことは、集合論の 『 濃度 』 などで登場します。



ふむふむ・・・。

あれ?

大学の微分積分の教科書でも、上限・下限が載っていないものがありますね。



初級者向けの微分積分の本では、上限・下限、実数の連続性などは載っていないことが多いですね。

その場合は 「 連続関数は積分可能である 」 を、証明なしで認めていたりします。



ところで、点列の極限とは?



点列の極限は、数列の極限を多次元化しただけですよ。

基本的に議論は同じです。



ところで、開集合、閉集合とは?



開集合とは、境界点を全く含まない集合です。

閉集合とは、境界点をすべて含む集合です。

この定義は厳密性に欠けますが、直観的には分かり易いと思います。

( 詳しいことは位相空間論や距離空間論で議論されますが、ここではこの定義で十分です )

例えば、x+y<1を満たす点(x、y)全体を図示すると、



このような集合を 『 の開集合 』 と言います。

ただし、開集合の形は任意です。

例えば、次のような形を考えてもよい。



一方、x+y≦1を満たす点(x、y)全体を図示すると、



このような集合を 『 閉集合 』 と言います。

ただし、閉集合の形は任意です。

ちなみに、開区間(a、b)は 『 の開集合 』 です。

また、閉区間 [a、b] は 『 の開集合 』 です。



ということは・・・。

開集合でないものを閉集合と呼ぶということですか?



それはよくある誤解です。

例えば、右半開区間 [0、2) は、開集合ではないし、閉集合でもありません。



ところで、偏微分とは?



多変数関数を特定の変数に関して微分することですよ。

例えば、f(x、y)=x+y を y に関して微分すると、∂f(x、y)=2y です。

x は定数と考えてよいです。



その記号∂ は何ですか?



「 y で偏微分しましたよ 」 という記号です。

次のように、いくつかの記法があります。





ふむふむ・・・何となく、偏微分の意味も分かるような気がします。

この理解でいいのかな?



合ってると思いますよ。

y で偏微分するということは、y 軸に沿った傾きを考えているということです。

f(x、y)=x+y と∂f(x、y)=2y で意味を考えれば、高校生でも分かりますよね。



ところで、C級とは?



r 回偏微分微分したときに、その関数が連続であるとします。

このとき、「 ある多変数実数値関数が C級である 」 といいます。



じゃあ、C級関数は、1回偏微分したときに、その導関数が連続であることを意味する?



その通りです。



偏微分は x 軸と y 軸に沿う微分だというのは分かるのですが・・・。

他の方向に微分することはできないのですか?



できますよ。

それを 『 方向微分 』 と言います。

任意の方向に方向微分可能であるとき、『 微分可能 』 といいます。



ええと、連続性と微分に関する性質が色々と出てきましたね。

まとめると、

(*) 連続性、C級、微分可能性、偏微分可能性



そうですね。

多変数実数値関数について次が成り立ちます。

(*1) C級 ⇒ 微分可能性 ⇒ 偏微分可能性

(*2) 微分可能性 ⇒ 連続性

とはいえ、本質的に重要なのは 「 C級 ⇒ 微分可能性 」 だけですね。

他の関係は自明と言えるでしょう。



ところで、微分積分学の基本定理とは?



それは高校生でも知っていますよね。

微分積分学の基本定理というのは、∫f’(x)dx=f(x)+C のことです。



あ、それを微分積分学の基本定理というのですか。



思い返せば簡単に分かるように、微分と積分はそれぞれ別々に定義されます。

この2つの概念が微分積分学の基本定理によって結び付くわけですね。



そういえば、微分と積分は独立して定義されますよね。

教科書では、微分→積分の順番で話が進むことが多いけれど・・・。

もしかして、積分→微分の順番で話を進めることもできる?



できます。



そういえば、微分積分学に全微分という概念がありますよね?

式では次のように書きます。



これの意味が分かりません。

dx や dy は何を意味するのですか?



古典的な見方では、dx は 『 x の無限小の変化を表す記号 』 です。

現代的な見方では、dx は 『 任意のベクトルに対し、その x 方向成分を取り出す1次関数 』 です。

例えば、点 p=(x、y、z)を固定します。

3次元ベクトル(x−x、y−y、z−z)を入力します。

すると、df(p)は、次を意味します。



この辺りは、厳密な微分積分学の世界を探索すれば分かると思います。

さらに深く学びたい場合は、微分形式の世界を探索するとよいかもしれません。



ところで、重積分とは?



重積分は、多変数関数の積分です。

2変数関数の場合は次の2通りで計算できます。

(*1) x に関して積分した後で y に関して積分する。

(*2) y に関して積分した後で x に関して積分する。

むろん、どちらで計算しても同じ値になります。

また、計算の仕方は普通の積分と同じです。

また、定義の仕方も、基本的には1変数の積分を2変数に拡張するだけです。



「 2変数に拡張するだけ 」 って・・・。

そんなに簡単なことなのですか?



そうですよ。

1変数関数の積分を定義するときには、定義域を区間に分割します。

そして、極限をとって、無限に細かい区間を考えます。

2変数関数の積分を定義するときには、定義域の平面を、長方形に分割します。

そして、極限をとって、無限に細かい長方形を考えます。

だから、1変数関数の積分をしっかりと学ぶと、2変数関数の積分の議論は予想できます。

ただし、多変数関数の可積分性を詳細に議論することはかなり手間がかかります。



ところで、ヤコビ行列ってありますよね。

いまだに、私はあれが覚えられません。



意味を理解すれば、暗記しなくても頭に入りますよ。

簡単に言うと、ヤコビ行列は、関数の増分となるベクトルを並べたものです。

通常、大学ではベクトルを縦の行列で表します。

この視点に注意して、ヤコビ行列 Jac(f) を観察しましょう。



まず、Jac(f) の第1列は 『 f の x 軸方向の増分 』 ですね。

また、Jac(f) の第2列は 『 f の y 軸方向の増分 』 ですね。

このようになっているのは、ヤコビ行列が 『 変数変換 』 に応用されるからです。

以上のことに注意すれば、ヤコビ行列の定義を忘れることはないでしょう。

あるいは、忘れたとしても、頭の中で知識を復元できるはずです。

その他



ところで、cosh、sinh とは?



それらは 『 双曲線関数 』 ですね。

定義は coshu=(e+e−u)/2、sinhu=(e−e−u)/2 です。



なぜ双曲線関数と呼ばれるのでしょう?

定義からはよく分からないのですが・・・。



x=coshu、y=sinhu とおきます。

すると、x−y=1 となります。

これは 『 双曲線 』 と呼ばれます。

実際、名前の通り、関数の形は )( という形になります。

これが名前の由来ですね。

ちなみに、双曲面もあります。



双曲線は、何かに応用されるのですか?



物理や化学で普通に登場しますよ。

粒子間に作用する力は引力と斥力ですよね。

例えば、粒子が大きなポテンシャルに捕らわれれば、軌道は楕円になります。

例えば、遠くから来た粒子が大きなポテンシャルに押し返されると、軌道は双曲線になります。

また、懸垂線は cosh で記述されます。

懸垂線とは、ヒモの両端を固定して吊り下げた状態です。

例えば、電線などがそうですね。

よって、このことは建築学や機械工学においても有用です。



ところで、テイラー展開(マクローリン展開)とは?



関数を級数の形で表す手法です。

関数を級数の形で表すと、関数に対して級数の理論を適用できるので便利です。



級数の理論って・・・何でしたっけ?



無限級数の理論として、正項級数、絶対収束、ダランベルの公式などがありますね。

巾級数の理論として、項別微分、項別積分、ワイエルシュトラスのMテストなどがあります。

ただし、ダランベルの公式は、無限級数バージョンと巾級数バージョンの両方があります。


あ、あー・・・そうか。

たしかに、関数をテイラー展開すれば、級数の理論が適用できますね。

気付いていませんでした・・・。



微分積分と無限級数が頭の中でつながっていない人は多いかもしれませんね。

試験にも原因があるかもしれません。

例えば、試験では、

「 この級数の収束・発散を判定せよ 」

「 この関数のテイラー展開を求めよ 」

・・・という問題が出されることが多いです。

なので、学生としてはダランベルの公式とテイラー展開の公式を暗記して当てはめるだけになる。

『 級数の理論 』 と 『 微積の理論 』 が結び付かない。



なるほど・・・。

けど、ダランベルの公式は重要ですよね?

理論が結び付いていないのは残念ですが、とにかくダランベルの公式に慣れておくことは重要ですよね?



うーん・・・。

たしかに、重要ですが、欠点も多いですよ。

実際、ダランベルの公式で判定できない級数は普通に多く存在します。

また、ダランベルの公式の一般化として 『 アダマールの公式 』 があります。



アダマールの公式というものがあるのですか?

さらに、それはダランベルの公式よりも優れている?

それなら、最初からアダマールの公式だけ教えてくれれば楽なのに。



アダマールの公式を記述するためには 『 上極限 』 という概念が必要です。

これは難しい概念ではありませんが、初等的ではない。

また、アダマールの公式を直接に用いることは面倒な場合もあります。

そういうときにダランベルの公式を用いると便利です。



ふむふむ・・・。

ダランベルの公式は、扱いやすいけれど、適用範囲が狭い。

アダマールの公式は、扱いにくいけれど、適用範囲が広い。



試験の場合、ダランベルの公式で判定できる無限級数や巾級数が登場します。

なので、ダランベルの公式ですべての級数の収束発散を判定できると誤解されやすい。



たしか、ダランベルの公式は、limn→∞|cn+1/c|ですよね?



・・・。

それは、無限級数と巾級数のどちらの場合ですか?



・・・え?

ど、どっちって・・・何か違いがありましたっけ?



無限級数と巾級数の場合、公式の分母・分子は逆ですよ。

むろん、公式の意味も違うので注意ですね。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

無限級数の場合、λ=limn→∞|cn+1/c|で、次が成り立ちます。(★1)

(1) λ<1 ⇒ 0≦n≦∞ は収束する。

(2) λ≧1 ⇒ 0≦n≦∞ は発散する。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

巾級数の場合、R=1/limn→∞|cn+1/c|が収束半径です。

つまり、R=limn→∞|c/cn+1|で、次が成り立ちます。(★2)

(1) |z−a|<R ⇒ 0≦n≦∞ は収束する。

(2) |z−a|≧R ⇒ 0≦n≦∞ は発散する。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

とくに、(★1)と(★2)で、分母・分子が逆なので、これで混乱する人がいると思われます。



にょわー・・・紛らわしいなぁ・・・。

けど、改めて見ると、ダランベルの公式はよくできてると思います。

これで判定できない級数があるのですか?

この定理のどこに欠点があるのでしょう?



上の定理では、極限 limn→∞|cn+1/c|が存在することを前提としていますね。

しかし、そもそも、この極限が存在しない場合があります。

すると、ダランベルの公式が使用できない。