対談形式(代数学)

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代数学って何ですか?


代数系を研究する分野です。


代数系とは?


集合に演算を定義したものを 『 代数系 』 と言います。

演算というのは、集合の2つの元からなる組に対し、集合の元を1つ対応させることです。

例えば、整数の世界では 2+3=5 という演算が定義されていますね。

見方を変えれば、これは、整数の組(2、3)に対して 5 を対応させているということです。



演算の仕組みそのものを議論するということですか?


そうです。


ふーむ。

想像がつかないなぁ・・・。

足し算は足し算だし、掛け算は掛け算だし、これで何を議論するのでしょう?


数に関する疑問をもっている人は多いと思います。

例えば、

「 なぜ、数を 0 で割ってはいけないのか?」

・・・という疑問をもっている人は多いのではないでしょうか。


ああ、それは不思議ですよね。

「 そのように決まっているからだ 」

・・・と説明されることもあるのですが、何か釈然としません。


「 そのように決まっているからだ 」 という説明は間違いではないですけれどね。

もっと簡潔に 「 不定だからだ 」 と言ってもよい。

けれども、背景を知らないと、この言葉には釈然としないものを感じてしまうかもしれません。



その背景が代数学の世界にあるということですか?


そうです。


なるほど。

その話を学校で聞いていれば、もう少し納得できていたかも・・・。



そうですね。

ただ、代数学を知っている人は少ないので、見当外れな話が横行しています。


あ、そういえば、

「 3÷0=x の両辺に 0 かけてみると 3=0 になって矛盾する。だから 0 では割れないのだ 」

・・・という説明を聞いたことがあります。


その説明は間違いですよ。


ええ!?

そうなんですか!?

ネット上の掲示板にそういう説明があって、その場にいた人たちも納得していたようなのですが・・・?


たしかに、÷0 と ×0 が約分されて消えると考えれば、

(左辺)=3÷0×0=3

(右辺)=x×0=0

よって、左辺と右辺をつなげば、3=0 となります。

なるほど、これはおかしな結果だから ÷0 ということ自体が間違いなのかもしれません。

しかし、本当にそれで問題解決なのでしょうか?

実際、

「 どのような数に 0 を掛けても 0 になるから矛盾しないのだ 」

・・・と反論される可能性があります。

(3÷0)も数なのだから、これに 0 を掛ければ 0 になるというわけです。

つまり、

(左辺)=(3÷0)×0=0

(右辺)=0×0=0

よって、左辺と右辺をつなげば、0=0 となります。

ほら、何も矛盾しないではないか、ということになります。

結局、どちらの主張が正しいのでしょう?

それとも、両方とも間違っているのでしょうか?



あああ・・・本当だ、解決していない・・・。



この手の誤解は当然のように転がっているので注意しましょう。


代数学の教科書を少し読んでみたのですけれど、色々なテーマがありますよね。

まず、群とは?


群とは、集合 G に対して2項演算が定義されていて、次の公理を満たすものです。

(1) (ab)c=a(bc)

(2) 単位元が存在する。

(3) 逆元が存在する。

とくに、条件(1)は 『 結合則 』 と呼ばれます。



・・・何ですか、これ?


内容は理解しなくてよいですよ。

とりあえず、ここでは 「 ああ、3つのルールが入るんだなぁ 」 くらいでよいです。

ただ、ab を 『 a と b の積 』 と言います。

つまり、組(a、b)に対して1つの元 ab が対応しているということです。



積・・・?

これは掛け算なのですか?


掛け算と見なしてもよいし、足し算と見なしてもよいです。

とくに、これを足し算と見なしたときに 『 加法群 』 と言います。

その場合は、ab ではなくて、a+b と表したりします。

とくに、つねに a+b=b+a が成り立つとき、これを 『 アーベル群 』 と言います。


ふむ・・・。


ちなみに、条件(2)と(3)は次の条件と同値です。

(4) 任意の a、b∈G に対し、ある x、y∈G が一意に存在して、ax=b かつ ya=b となる。

簡単に言うと、この条件は、

「 G の中では右からの割り算と左からの割り算を自由にできる 」

・・・ということですね。

ただし、加法群では、割り算は引き算です。



自由に引き算ができる・・・?


例えば、整数の世界で、a=2 と b=5 を考えましょうか。

このとき、ある整数 x が存在して、2+x=5 となるということです。

言い換えれば、自由に引き算 5−2 ができるということです。

実際、そうですよね?


そ、そうですね。

けど、何だか当たり前のことをしているような気もします。


それは義務教育の段階で、数という概念を 『 経験的 』 に知っているからですね。



では、環とは?


環とは、集合 R に対して和と積が定義されていて、次の公理を満たすものです。

(1) 和に関してアーベル群である。

(2) 積に関して結合則が成り立つ。

(3) 分配則が成り立つ。


ええと、群に、新しくルールを追加した感じですか?

何だか複雑ですね?


そうでもないです。

とくに、結合則は基本的なので、ほとんど意識する必要はありません。

結合則は、演算として最低限に満たさなければならない条件です。

( ただし、結合則が成り立たない世界もある )

そして、集合に和と積が定義されているならば、分配則を公理として採用することも道理です。

結局、環とは、可換な加法群に積を定義しただけです。


では、体とは?


体とは、任意の元が単元で、積に関して可換な環のことです。

単元というのは、逆数が存在する数という意味です。( ただし零元は除く )



ええと・・・つまり・・・。

(*1) 加法群とは、和が定義された集合である。

(*2) 環とは、和と積が定義された集合である。

(*3) 体とは、環の一種で、すべての元が逆数をもつ集合である。


その通りです。

例えば、整数全体 は環です。

ただし、体ではないです。

実際、整数の世界では割り算できませんよね。

例えば、3 を 2 で割ると、分数になってしまいます。

3/2 は 『 整数の世界 』 には属していません。

つまり、整数は体ではないということです。

一方、有理数全体 、実数全体 、複素数全体 は体です。



なるほど。

整数の世界、有理数の世界、実数の世界、複素数の世界を分類していくのですね。

けど、まだ整数の世界しか分類できていませんね。


そうですね。

これらをさらに区別することもできます。

例えば、 は代数的閉体と呼ばれるものです。


そうなのですか・・・?

しかし、手元の本には、代数的閉体に関する記述はありませんでした。

それはどのような本に載っているのでしょうか?


代数的閉体は、代数学の世界を少し進んだところにあります。

なので、初級者向けの代数学の本には載っていないかもしれませんね。

やや本格的な本であれば、書かれていると思います。

あるいは、表現論、ガロア理論、可換環論、整数論などの書物に載っています。


代数的閉体というものを考えると、何が分かるのでしょう?


高校数学でよく知られているように、2次方程式は、解をもたないことがあります。

ただし、話を実数から複素数に広げると解をもちます。

つまり、複素数の範囲で考えれば、方程式は必ず解をもつということです。

既に述べたように、実数と複素数は体です。

実数の範囲から複素数に 『 拡大 』 すれば、解をもつということですね。

とくに、必ず解をもつ体を 『 代数的閉体 』 と言います。


なるほど。

は、 の拡大であり、代数的閉体なのですね。

これで、実数の世界と複素数の世界を区別する。


このように、次々と 『 数の世界 』 を分類します。



ところで、準同型写像とは?


G、G’を群とします。

f:G→G’を写像とします。

次が成り立つとします。

(*) 任意の x、y∈G に対し、f(xy)=f(x)f(y)であるとします。

このとき、f を 『 (群の)準同型写像 』 と言います。

つまり、群の準同型写像とは、群の演算を保存する写像です。



ということは、環の準同型写像もあるのですか?


はい。ありますよ。

環の準同型写像は環の演算を保存します。

つまり、次が成り立ちます。

(*1) 任意の x、y∈R に対して f(x+y)=f(x)+f(y) である。

(*2) 任意の x、y∈R に対して f(xy)=f(x)f(y) である。



ん・・・?

それって、線形写像の定義に似ていますね。


そうですね。

実際、関係しています。

とくに、環上の加群に関する準同型写像は、線形写像の一般化です。



では、準同型定理とは?


準同型定理とは 「 G/Kerf と Imf は群として同型である 」 という主張です。

ただし、f は準同型写像です。

ちなみに、線形代数では 『 次元定理 』 が登場しますよね。

あれは準同型定理の中ですよ。

実際、次元定理は 『 ベクトル空間の準同型定理 』 から瞬時に導くことができます。


準同型定理が非常に重要であるように思えてきました。


そうですね。

準同型定理までの流れはそれほど難しくありません。

この辺りの流れを理解しておくことは非常に有用であると思います。

ここでも簡単に紹介しておきましょう。

G を群とします。

H を G の部分群とします。

x、y∈G に対し、xy−1∈H を 『 左合同関係 』 という。

左合同関係は同値関係です。

また、その同値類は xH の形で表せます。

これを 『 左剰余類 』 と言います。

同様に、右剰余類を定義できます。

とくに、左剰余類と右剰余類が一致する部分群を 『 正規部分群 』 と言います。

つまり、N を正規部分群とすると、xN=Nx です。

正規部分群に関する剰余類による商集合を G/N と表します。

G/N 上の演算を aN・bN で定義します。

すると、G/N は群になります。(※ここで well-defined という概念が重要ですが、省略します )

この G/N を 『 剰余群 』 と言います。

G をアーベル群として、N を G の部分群とすると、N は自動的に正規部分群となります。

つまり、G がアーベル群ならば G/N は剰余群となります。

例えば、加法群 と部分群 m に対し、/m は剰余群です。

さて、f:G→G’を準同型写像とします。

このとき、次が成り立ちます。

(1) Kerf は G の正規部分群である。

(2) Imf は G’ の部分群である。

同様のことは線形代数で周知ですね。

つまり、線形代数では線形写像 f に対して Kerf や Imf が部分空間になることが知られています。

今回の結果はそれと同じです。

さらに、線形代数と同様に次のことが示されます。

(1) f は単射である。

(2) Kerf={1

以上の結果を用いると、G/Kerf と Imf が群として同型であることが示されます。

これが(群の)準同型定理です。


ところで、環の準同型定理もあるようですね?

やはり、証明も同じなのでしょうか?


そうですね。

群論で正規部分群が演じていた役割を、環論では 『 イデアル 』 が演じてくれます。

実は、初歩的な部分に限れば、環・体に関する議論は、群論の繰り返しです。

ちなみに、環上の加群に関する準同型定理もあります。

ただ、これは群や環の準同型定理と同じなので、新しく何かを議論する必要はありません。



ところで、環上の加群とは?



環上の加群は、ベクトル空間の一般化です。



ベクトル空間の一般化・・・。

私はベクトル空間だけでも苦戦しているのに。



いや、難しい議論が登場するわけではありませんよ。

群・環・体の話がベクトル空間につながるだけで、議論はほぼ同じです。

むろん、ネター加群やテンソルなどの辺りまで行くと議論は複雑になりますが。

入口の辺りを学ぶだけならば難しくはないし、むしろ、これによって線形代数の理解が深まるでしょう。

実際、私は大学のときにベクトル空間で分からなかった部分がありました。

その疑問は代数学を学んでいるときに解決しました。


具体的に、その 「 分からなかった部分 」 とは何ですか?


スカラー倍です。

ベクトル空間の定義に 「 v∈V、k∈K ⇒ kv∈V 」 でスカラー倍が定義されていますよね。

むろん、書かれていることは分かるのですが、随分と唐突だなと感じていました。

たしかに、数ベクトル空間の場合にはスカラー倍は自然に定義されていますけれど。

何となく、背景に何かありそうに思えていました。

で、代数学の本を読んでいるときに、

「 あれ、この 『 群の作用 』 という概念はスカラー倍に似ているな 」

・・・ということに気付いて、さらに読み進めていたら環上の加群が登場した。

それで、

「 ああ、ベクトル空間のスカラー倍は体の加群への作用なのか 」

・・・と納得しました。


そういえば、線形代数の書物には、

「 厳密には K は 『 体 』 だが、これを だと思ってよい 」

・・・という説明がよくありますよね。

そのときに 「 体って何? 」 と思っていたのですが・・・。

あれは代数学の話だったのですね。



そうです。

そういうわけで、代数学は線形代数の理解を深める。

ただし、線形代数の教科書が説明不十分という意味ではありません。

線形代数の本は書かれている範囲でしっかりと理解できるように書かれています。

ただ、その背景に相当するものが代数学の世界にあるという話です。


ところで、群の作用とは?


G を群とします。

X を集合とします。

任意の g∈G、任意の x∈X に対し、gx∈X が一意に定まるとします。

次が成り立つとします。

(*1) g、h∈G、任意の x∈X に対し、g(hx)=(gh)x である。

(*2) 任意の x∈X に対て 1・x=x である。

このとき、「 G は X に作用する 」 と言います。


ああ、言葉通りですね。

G が X に作用しています。


群の性質を調べるとき、群だけに注目しているだけでは足りません。

群に作用する集合を合わせて考えることも必要です。

だから、適切な位相空間を作用させて、群の構造を調べたりします。

これは 『 位相幾何学 』 の1つの方法です。



そういえば、『 位相群 』 という言葉を聞いたことがあります。


位相群は、群に位相を入れるので、いまの話とは別です。


あ、そうなのですね・・・。



位相群の発展版として 『 リー群 』 があります。

で、このリー群が表現論と絡んで、理論物理学の世界で有用です。

ただ、この辺りまで来ると、かなり内容が複雑になってきます。

付録



ところで、代数学の分野で a≡b ( mod n ) という表記がありますよね。

この mod の由来は?



mod は、modulo が由来です。

modulo は 「 尺度 」 という意味をもちます。

ちなみに、加群を 「 module 」 と言います。



そういえば、『 モジュライ 』 という言葉を聞いたことがあります。



モジュライは代数幾何学のテーマですね。

これはパラメータ化する代数多様体を意味します。

例えば、よく知られているように、ドーナツには1つの穴が空いていますよね。

あの穴が2つ空いたような図形を考えてください。

その曲面に代数構造を入れます。

ただし、この辺りの議論はかなり高度です。



そういえば、自由加群という言葉を聞いたことがあります。

次々と新しい概念が登場して大変そうです・・・。



いや、自由加群は新しい概念ではありませんよ。

これは、ほとんど 『 ベクトル空間 』 と同じです。



代数学の世界では を環と見なしたときに 『 有理整数環 』 と言いますよね。

普通に 『 整数環 』 と呼べばよいのではないかと思うのですが・・・。


普通に 『 整数環 』 と呼んでもよいですよ。

ただ、整数論の世界に入ると、『 代数的整数 』 や 『 p進数 』 などが登場します。

それらと区別するために有理整数環と呼びます。



それにしても、群論や環論の内容は非常に量が多いですねぇ・・・。

こんなに多くの定理をどうやって頭の中で整理すればよいのやら。


いや、難しいことではありませんよ。

基本的に、準同型定理を学べば、それ以外の内容はほとんど独立しています。

例えば、群論インデックスでは次のような内容を扱っています。

(*) 共役類、置換表現、Orb-St定理、半直積、・・・

これらの内容は、ぜーーんぶ、独立しています。

群の準同型定理さえ知っていれば、どのページからでも学ぶことができます。



ところで、有限アーベル群の構造定理とは?


それは群構造を分類する定理ですね。

その類の定理としては 『 シローの定理 』 が有名です。


「 有限アーベル群の構造定理 」 と 「 シローの定理 」 は群構造を分類する・・・。

他にも分類する定理があるのですか?

分け方が違う感じ?


そうですね。

それと、扱う群の種類が異なったりします。

すべての群を考察の対象とすると、あまりにも多様すぎて有用な議論ができないのです。

なので、群に条件を付けて、その中で分類することが多いですね。

例えば、次のように分けます。

(*1) 有限群か?無限群か?

(*2) 有限生成か?無限生成か?

(*3) 可換群か?非可換群か?

・・・という具合に。

とくに、有限生成アーベル群は、同型類を完全に分類できることが知られています。

初歩的な代数学の書物では 『 有限アーベル群の構造定理 』 を証明することが多いかもしれません。

これを一般化させたものが 『 有限生成アーベル群の構造定理 』 です。

さらに、これを一般化することもできます。


この辺りの内容は、環論を学ぶときに必要ですか?


不要です。

その辺り、誤解が生じやすいかもしれません。

環論を学ぶために必要な知識は 『 群の準同型定理 』 までの内容で十分です。

しかし、群論の後に有限アーベル群の構造定理やシローの定理が登場する。

なので、これらが環論とは無関係であることを知らずに一生懸命に学ぶ人はいると思います。

むろん、学習の順番は自由でよいのですが・・・。

何も知らずに盲目的に群論の世界を進むことは不適切でしょう。



やはり、準同型定理は重要か・・・。

そういえば、準同型定理の系として 『 第1同型定理 』 〜 『 第3同型定理 』 がありますよね?

教科書などにも、準同型定理の後に書かれていることが多いようです。

準同型定理は重要だから、これらもマスターするべき?



個人的には 「 必要になってから読む 」 が適切だと思います。

『 第1同型定理 』 〜 『 第3同型定理 』 の証明をすべて読むことは割と大変です。

加えて、これらの定理を積極的につかうわけではありませんからね。



ところで、共役類とは?


共役類とは、共役という同値関係の同値類です。

共役類によって群を分割し、群の構造を調べます。


ところで、代数学の本を開いたら、ジョルダン標準形に関する記述を発見しました。

しかし、ジョルダン標準形は、線形代数にありましたよね?


そうですね。

けれど、ジョルダン標準形の世界はあれで終わりではないのです。

乗法的ジョルダン分解、加法的ジョルダン分解があります。

乗法的ジョルダン分解とは、線形代数で知られているものに近い。

そこに、やや群論的な視点を加えることができるということです。

一方、加法的ジョルダン分解は、リー環の表現論と深く関連しています。

これがかなり深い。

そして、標準形は、ジョルダン標準形だけではないのです。

とくに、リー群の分解や標準形が多く存在する。

例えば、次のようなものがあります。

(*) 3角分解、岩澤分解、カルタン分解、極分解、部分群による剰余類分解



ところで、素元、既約元、UFD、PID とは?

この辺りの内容は難しそうに視えますが・・・。


その辺りは 『 可換環論 』 の入口ですね。

少なくとも、基本的な部分はそれほど難しくはありませんよ。



そうですか?

単元とか、同伴関係とか、色々と絡み合っているようで、複雑に視えるのですが・・・。


その辺りは証明を直接的に読むだけだと分かりにくいですね。

背景に 『 同伴関係による同値類 』 や 『 イデアル 』 があることを意識して読むと分かりやすい。