対談形式(フーリエ解析)

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フーリエ解析とは?


フーリエ解析は、関数を3角多項式で近似する学問です。

あるいは、関数を3角級数で表す学問です。

3角多項式とは、 1、cosx、sinx、・・・、cosnx、sinnx の1次結合のことです。

つまり、f=c+acosx+bsinx+・・・+acosnx+bsinnx の形で表せる。



あれ?

多項式って、ax+bx のように、指数が入るのではありませんか?

1次結合の形では 『 多項式 』 という名称に違和感をもちます。


ああ、cosx などの項がないと言いたいのですね?

しかし、高校数学でよく知られているように、cosx=2−1(cos2x+1) ですよね。

結局、n倍角の3角関数で表現できる。


ああ、なるほど。

だから、3角多項式と言いつつ、実際には n 倍角の1次結合なのですね。


そうです。


すべての関数を3角多項式で近似できるのですか?


すべてではないです。

ただし、かなり幅広い関数を近似できる。

だから、どのような条件下で近似できるのかを調べるのです。


具体的に、どのような条件下で近似できるのでしょう?


例えば、C級の周期関数 f のフーリエ級数は、f に収束します。

これは、f を3角多項式で近似できるということです。



ところで、いまさらですが・・・『 近似 』 とは、どういうことなのでしょう?

何となく意味は分かるのですが・・・よく考えてみると、どういうことなのか分かりません。


ここでの近似とは 「 関数と関数の距離をいくらでも小さくできること 」 と考えてよいです。


関数と関数の距離・・・?

点と点の距離は分かりますが・・・関数の間に距離を定義できるのですか?


f、g∈C[a、b] とおく。

|| f ||=maxx∈[a、b]|f(x)|と定義します。

このとき、|| ・ || は C[a、b] におけるノルムです。

よく知られているように、C[a、b] はベクトル空間であることに注意しましょう。

この定義に従って、|| f−g ||=maxx∈[a、b]|f(x)−g(x)|を考えることができます。

これは f と g の距離ですね。

|| f−g || を d(f、g) と表すことにすれば、d は距離関数です。



あー・・・、2つの関数の、最も離れた点の差を 『 関数の距離 』 として定義するのですね。

で、この距離をいくらでも小さくできるということが 「 近似できる 」 ということ。


そうです。



ところで、C 級でないと近似できないのでしょうか?


いえ、C 級である必要はありません。

普通に連続関数も近似できます。


ええ!?

それなら、最初にそれを言えばよいのでは・・・?


いや、この辺りは奥が深いのです。

詳しく議論しようとすれば、いくらでもできる。

なので、「 最終的な結論を1つ教えてください 」 と言われても答えづらい。



ところで、正射影、ベッセルの不等式、パーセヴァルの等式、完全性とは?


机の上に手でペンをもって浮かせてください。

ペンの角度は自由でよいです。

以下の話は、ペンをベクトルだと思えば分かりやすいでしょう。

ここで、真上から光を当てます。

すると、机の上にはペンの影ができますね。

この影が 『 ペンの正射影 』 です。

このとき、必ず 「 影の長さ 」≦ 「 ペンの長さ 」 となりますね。

これが 『 ベッセルの不等式 』 です。

とくに、つねに等号が成り立つとき、これを 『 パーセヴァルの等式 』 と言います。

ちなみに、ベッセルの不等式の逆に相当する定理として 『 リース・フィッシャーの定理 』 があります。



つねに等号が成り立つ・・・?

だとすると、ペンは机と水平でないといけませんね。



そうですね。

机の上に、2本の垂直な単位ベクトルをマジック(水性)で描いてみましょう。

机にペンを転しましょう。

すると、どのように転がしても 『 影の長さ 』 と 『 ペンの長さ 』 は同じです。

つまり、机の世界では、つねに 『 影の長さ 』 と 『 ペンの長さ 』 は同じです。

いま、机の上に描かれた2本のベクトルの1次結合によってペンを再現できます。

これを 『 完全性 』 と言います。

また、このような2本のベクトルを 『 正規直交基底 』 と言います。

今回の例は2次元でしたが、同様のことを無限次元で扱います。

無限次元の場合、ペンを再現する正規直交系を 『 完全正規直交系 』 と言います。



ところで、最良近似とは?


最良近似とは、正射影のことです。

もう一度、話を振り出しに戻しましょう。

机の上に手でペンをもって浮かせてください。

ペンの角度は自由でよいです。

ここで、真上から光を当てます。

すると、机の上にはペンの影ができますね。

この影が 『 ペンの正射影 』 です。

明らかに、この影は 「 机に描けるベクトルの中ではペンに最も近いベクトル 」 です。


最も近い・・・?

何となく分かるような気はしますが・・・。

しかし、ベクトルとベクトルの距離はどのように決めるのでしょう?


ああ、それは、2つのベクトルの始点を一致させたときの 『 終点と終点の距離 』 を考えてください。


ふむふむ・・・なるほど。

たしかに、その意味で影は 「 机に描けるベクトルの中でペンに最も近いベクトル 」 ですね。

だから、正射影を最良近似と呼ぶのですね。



そうですね。



ところで、フーリエ解析の書物は、議論の内容が本によってかなり内容が異なって視えます。

この原因は何なのでしょう?


取り扱う関数の範囲が影響していることが大きいと思います。

例えば、フーリエ級数の場合、次のどの範囲を扱うかによって、議論の道筋が変化します。

(*) R[a、b]、Cper[a、b]、L[a、b]



具体的にどのように変化するのでしょう?


では、R[a、b] と Cper[a、b]の違いについて説明しましょう。

まず、記号の意味を説明します。

R[a、b] は [a、b] 上でリーマン可積分な関数全体です。

per[a、b]={ f∈C|f(a)=f(b) }

bdy[a、b]={ f∈C|f(a)=0、f(b)=0 }

むろん、Cbdy[a、b] は Cper[a、b] に含まれます。

例えば、フーリエ解析において次の収束は重要です。

(*1) || f−S[f] ||→0 ( N→∞ )

ただし、S[f] は f の第 N 部分和です。

この f 全体として R[a、b] を採用してもよいし、Cper[a、b] を採用してもよい。

むろん、R[a、b] の方が範囲が広い。

ただし、R[a、b] の方が少しだけ議論が長くなります。

まず、Cper[a、b] について考えましょう。

この場合、最初から f∈Cper[a、b] を3角多項式 P によって近似できます。(※フェイエルの定理の系)

つまり、|| f−P ||<εとなります。

一方、S[f] は3角多項式の世界で、f の最良近似です。

つまり、任意の3角多項式 P に対して || f−S[f] ||≦|| f−P || です。

先ほどの比喩で言えば、3角多項式全体が 『 机 』 に相当します。

以上により、|| f−S[f] ||<εです。

これで Cper[a、b] の場合について L 収束が示されました。

一方、R[a、b] の場合は少しだけ長くなります。

なぜなら、最初から R[a、b] を3角多項式 P で近似することは難しい。

そこで、まずは R[a、b] を Cbdy で近似します。

そして、Cbdy を3角多項式 P によって近似します。(※フェイエルの定理の系)

後は、先ほどと同じように、S[f] が3角多項式の世界で最良近似であることを用います。

以上により、|| f−S[f] ||<εです。

これで R[a、b] の場合について L 収束が示されました。



ああ、概要は分かりました。

per[a、b] の場合は 「 Cper→P→最良近似 」 ですね。

R[a、b] の場合は 「 R→Cbdy→Cper→P→最良近似 」 ですね。

つまり、証明のステップが、R[a、b]の方が1つ増加する。


そうです。

なので、R[a、b]の世界まで道案内するか、Cper[a、b] の世界まで道案内するか・・・。

この辺りが本によって異なるということです。

ちなみに、R[a、b] をさらに広げたものとして L[a、b] があります。

[a、b] は、ルベーグ2乗可積分関数全体です。

実は、R[a、b] は L ノルムに関して完備にならないという欠点があります。

一方、L[a、b] は L ノルムに関して完備となります。



ところで、フーリエ係数とは?

フーリエ解析の書物を読んでいると、登場の仕方が色々あるような気がします。

フーリエ係数が最初から定義として登場したり、定理として導いたり・・・?


ああ、そうですね。

簡単に言うと、フーリエ係数とは、その3角多項式が 『 f の最良近似 』 となるように定めたものです。

だから、次のように3通りの議論の方法があります。

(1) 最良近似の存在と一意性を示してからフーリエ級数やフーリエ係数を定義。

(2) フーリエ級数を定義してから、最良近似としてフーリエ係数を決定する。

(3) 最初にフーリエ級数とフーリエ係数を定義して、後から最良近似であることを示す。

その他



ところで、フーリエ解析の書物を開くと 『 留数定理 』 が登場することがありますね。

たしか、留数定理は複素解析に登場する定理でした。

ということは、フーリエ解析を学ぶためには複素解析を学ばないといけないのでしょうか?


たしかに、フーリエ解析の書物にはコーシーの積分定理や留数定理が登場する場合があります。

ただし、それは、フーリエ係数の計算などに用いられるだけです。

なので、フーリエ解析の理論の理解に必須となるわけではありません。

とはいえ、オイラーの公式( eix=cosx+isinx )は把握しておいた方がよいでしょうね。


ところで、フーリエ変換とは?


フーリエ変換は、フーリエ級数の連続バージョンです。

偏微分方程式への応用などが有名ですね。


へー、フーリエ変換も勉強したいなぁ・・・。

けど、その前にフーリエ級数をやらないと・・・。


いや、フーリエ変換を学ぶときにフーリエ級数を学ぶことは必須ではないですよ。


え、そうなのですか?


フーリエ解析の書物を見ると 「 フーリエ級数→フーリエ変換 」 の順番で書かれていることが多い。

それゆえ、この順番で学ばなければならないと思い込む人がいるかもしれません。

しかし、実際にはフーリエ級数とフーリエ変換は独立した理論です。