対談形式(高校と大学のギャップ)

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高校と大学のギャップで苦しむ人は多いようですね。

いま受けている授業も、よく分からなくて・・・。

単位を落とすのではないかと不安です。



何の授業ですか?


普通に、大学1年生で、微分積分と線形代数です。


ふむ・・・。

具体的にどの辺りが分からないのですか?


うーん、例えば、いまは授業で 『 陰関数定理 』 というものを扱っているのですが・・・。

これがよく分からないんですよねぇ・・・。


あー、まぁ、実際に試験で陰関数定理が出ることはそれほど多くないと思いますけどね。


え、そうなのですか?


むろん、「 出ない 」 などと断言するつもりはありません。

ただ、大学1年生の場合、偏微分や重積分を計算させて終わる場合が多いように思えます。

授業で陰関数定理などを説明していても、実際の試験は割と普通の計算だったりします。

陰関数定理に関連する内容が出るとしても、高校数学レベルの式の書き換え程度でしょうね。

だから、授業の内容が分からないということで極端に絶望したり焦燥感をもつ必要はありません。

むろん、授業が分からなくてよいという話ではありません。



そっか・・・少し安心しました。

具体的に、微分積分の試験ではどのようなことが問われるのでしょう?



むろん、それは大学・学部・学科に依存します。

ただ、概ねは次のようなものでしょう。

(1) 基本的な微分・積分 ( 高校レベル )

(2) 基本的な数列・級数 ( 高校レベル )

(3) 関数のテイラー展開(マクローリン展開)を求めよ。

(4) 偏微分の計算、合成関数の微分

(5) 重積分の計算、体積の計算

(6) 陰関数の極値、条件付き極値



線形代数はどうでしょう?



概ね次のようなものでしょうね。

(1) 行列の積、行列式の計算

(2) 掃き出し法(ガウスの消去法)による逆行列の計算

(3) 1次独立なベクトル、1次従属なベクトルの区別

(4) 固有値、固有ベクトルを求めよ、対角化せよ、A を求めよ。

だから、理論を理解していなくても、解き方だけを覚えてしまえば単位を取得できる。

残念ながら、それが現状でしょうね。

残念なのか幸運なのか、よく分かりませんけど。



線形代数の教科書を見ていると、色々な用語が登場しますよね。

シュワルツの不等式、直交行列、ユニタリ行列・・・。

これらは暗記するべきなのでしょうか?


暗記する必要はありませんよ。

「 絶対に覚える必要はない 」 というつもりはありませんが。

それらの概念は 「 理論の中でどのような役割をもつか 」 を理解することが重要です。

式や定義だけを見て、

「 シュワルツの不等式、シュワルツの不等式、シュワルツの不等式、・・・覚えた!」 とか、

「 直交行列、ユニタリ行列、直交行列、ユニタリ行列、直交行列、ユニタリ行列、・・・覚えた!」 とか、

これはすぐに忘れてしまうでしょう。



世界史で人名を覚えたりするのとは異なるということですね。

ちなみに、その 「 シュワルツの不等式、直交行列、ユニタリ行列の意味 」 とは?


シュワルツの不等式は、内積からノルムを構成するときに、3角不等式を示すために必要です。

また、シュワルツの不等式から角度の概念を取り出すこともできます。

シュワルツの不等式は関数解析学の世界で大活躍します。

なので、関数解析の世界を歩いていると嫌でも覚えてしまう。

直交行列は、対称行列を対角化するための部品です。

ユニタリ行列は、エルミート行列を対角化するための部品です。

ちなみに、直交行列の複素化がユニタリ行列で、対称行列の複素化がエルミート行列です。

むろん、「 このように考えることが正解である 」 というわけではありません。

自分なりに意味を見つけることが重要なのです。



『 授業の内容 』 と 『 試験の内容 』 に差がある・・・。

これが、高校と大学の1つの違いなのでしょうか。


あまり良いことであるとは言えませんが、現状ではそういう傾向はあるでしょうね。

例えば、応用解析の授業で、フーリエ解析についてパーシヴァルの等式などを解説していても、

実際に試験で問われることは 「 このフーリエ係数とフーリエ級数を求めよ 」 とかだったりする。

で、フーリエ係数の計算は単に公式に当てはめて計算するだけなので高校生でもできる。

あるいは、代数学の授業で、群論について準同型定理などを解説していても、

実際に試験で問われることは代数学の教科書の最初の10ページに書かれていることであったりする。

授業の内容をそのままフル活用しなければ解けない問題を出すと難しすぎるというのもあります。



ところで、大学の授業に関して過去問を集めている人がいますよね。

色々なサークルに入って先輩から過去問を集めている人がいるらしいです。

やはり、授業の過去問を集めた方がよいのでしょうか?


普通、授業は過去問を集めなくても単位を取れるように設計されています。

なので、過去問を集めることで圧倒的に有利になるなどということはありません。

また、先生自身が授業内で過去問を配るということもあると思います。



けど、過去問が配られない場合もありますよね。

また、やはりもっている方が有利であるようにも思えます。


たしかに、やる気のない教員が過去に同様の問題ばかりを出すということはあるかもしれません。

例えば、

「 過去問で解法のパターンを暗記して単位を取得した!授業は出てないwww 」

・・・という話も聞きます。

ただ、そういう話にあまり振り回されないようにしてください。

当然ですが、普通にすれば単位は取得できるように設計されています。

それと、そもそも 「 単位を取るため 」 に学んでいるわけではないですよね。

単位というのは、あくまで副次的なものであって、それが主目的ではないはずです。



私の親は、

「 大学の授業なんて分からんものだよ。友達と人脈を作って過去問を集めた方がよい 」

・・・と言っていました。


親が大学に対して偏った思想を子供に教えるということはあるかもしれません。

また、1970年頃には 『 大学闘争 』 などもあって、現在(2016年)とは少し事情が異なります。

そういう時代の感覚や、その片鱗のようなものが親から子に伝えられるということがあるかもしれません。

しかし、もはや昔とは状況が異なっているので、そういう古い感覚は捨てた方がよいでしょう。



大学で配られた教科書の内容が 『 抽象的 』 で分かりません。

微分積分だと 『 近傍 』 とか、線形代数だと 『 1次独立 』 とか・・・。

そういうフワフワした概念が多いように思えます。



「 大学の数学は抽象的で分からない 」 ということはよく言われます。

ただし、これは、日常で用いられる意味での 『 抽象的 』 とは意味が正反対です。

日常で 「 あの人の話は抽象的で分かりにくい 」 という言葉が出るとします。

これは、その人の話の内容が曖昧であることを意味します。

一方、大学数学の抽象性は、そういう意味ではないのです。

たしかに、高校数学の内容は 『 具体的 』 でした。

つまり、実際に数字を計算していました。

中学・高校までの段階では気付きにくいかもしれませんが、これは理論的に非常に狭いのです。

だから、大学の数学では、本質的な性質を抜き出して議論します。

これが 「 理論を抽象化する 」 ということです。

これは、論理以外の、余計な具体性を捨てるということです。

つまり、大学数学における理論の抽象化は、むしろ 『 純論理的 』 とでも呼ばれるべきものです。

この辺りを混同して 「 大学数学は抽象的で分かりにくい 」 と考えてしまうことはよろしくない。

その認識では 「 自分が理解できないのは学問が悪いからである 」 ということになってしまうからです。

この考え方では、その人が本来もっているはずの理解力まで失われてしまいます。



以前、宿題のレポートを写し合っている人を見たことがあるのですが・・・。

あれはどうなのでしょう?

私も友達と相談しながらレポートを書くべきなのでしょうか?


レポートは普通に自分で考えて普通に提出するだけで大丈夫ですよ。

あと、教員もバカではありません。

レポートを写し合っている人たちがいることは把握しています。

なので、レポートを写し合っている人が有利になるような設計はしません。

例えば、そのレポートは出席確認程度の扱いなのではないでしょうか。


レポートの内容が分からないときに、質問投稿サイトを利用している人もいますよね。

自分も質問投稿したくなる誘惑があるのですが、やはりダメですよね・・・?


大学の教員で 「 質問投稿サイトでレポートの答え聞く人も答える人も何なの!? 」 と怒る人もいます。

私の場合、「 ダメ 」 というよりも 「 意味がない 」 という感じですかね。

考えずに他人から聞いた答えなんてすぐに忘れてしまいますよ。

答えを聞くことは誰でもいつでもできる時代なので、これを禁止しても無意味であると考えています。

そもそも、質問投稿サイトでなくても、同様のことは起きているはずです。

例えば、答えを友達に聞いたり、同じ問題を本から探したりです。

これらは答えを 『 探して 』 いるだけで 『 考えて 』 いない。

むろん、資料を探すことはあって、たまたま答えを見つけてしまうということもあるでしょうけれど。

既に述べましたが、レポートで答えをコピーしている人が大きく有利になってしまう設計はしないはずです。

そもそもコピーできないような問題か、コピーできるけれど出席程度の扱いか、そういうものです。

例えば、実験レポートは評価が大きいわけですが、これは簡単にコピーできるようなものではありません。

逆に、簡単な問題は、出席確認程度のものであると思われます。


けど、正解を書いた方が有利になる場合もありますよね?

例えば、実験レポートなどでも、やはり実験の考察がズバリ書かれていたら、そのまま写したくなります。


まず、『 出席確認程度のレポート 』 と 『 実験レポート 』 は区別するべきですね。

実験レポートの場合、友達同士で写し合うと、割と深刻な重罪扱いになります。

それと、たしかに、色々とグレーなゾーンもあります。

例えば、ある実験レポートについて、そのまま考察のネタになる内容が書物に掲載されていたとします。

で、この考察を、いかにも自分が考えたように書くことができます。

こうなると、実験レポートを採点する側も見抜くことはできません。

実際、それで 「 TA から誉められたw 」 と言っている人も見たことがあります。

ただ、それで何もかも決まってしまうわけではありません。

実験レポートと言っても、何回も提出するのですから。

だから、なるべく自分で考えて提出していけばよいのだと、普通に考えるだけでよいのです。

資料を探しているときに、本の中で考察そのものを発見した場合は・・・。

まぁ、なるべく自分で考えるということで。


ところで、TA とは何ですか?


TA は 「 ティーチング・アシスタント 」 の略です。

先生を補佐する学生です。

主に大学院生が務めます。


ところで、大学の授業で指定された教科書を購入したのですが・・・。

ネット上の評価を見たら批判されていました。

これってどうなのでしょう?


ネット上のレビューは参考になりませんよ。



そうなのですか?

けど、やはり傾向はあるのではないでしょうか。



全く参考にならないとまでは言いませんが、普通は参考にしません。

主な理由は次の2つです。

(1) 見当外れのレビューが非常に多い。

(2) 古い本の方が評価を積み重ねやすい。



「 見当外れのレビューが多い 」 というのは、大学の先生も言っていました。

やはり多いものですか?


すべてが悪いとは言いませんが、多いです・・・。

例えば、ある書物に対して、

「 定値写像などの説明は参考になったが、文章が読みづらい 」

・・・というレビューで酷評しているものがありました。

しかし、この本は位相と圏論について書かれた書物でした。

それに対して 「 定値写像などの説明は参考になった 」 とは。

本の中身について何も理解していないと言っているに等しい。

あと、この本は説明もかなり丁寧。

文章が読みづらいのではなくて、内容が高度になっているだけなのです。

それを勘違いして 「 読みづらい 」 と評価する。

これは、

「 あの美術展は自動ドアが速く開くけど、自販機の茶が熱すぎる 」

・・・などと言って、美術展を酷評しているようなものです。

しかし、こんな見当外れな主張がトップレビューになったりする。

これが普通によくあることです。


たしかに、内容を理解していないでレビューを書いている人は多そうですね。


「 言葉の分かりやすさ 」 で切りこめば何でも批判できるので、便利なんですよね。

むろん、言葉の分かりやすさが不要だとは言いません。

ただ、位相や圏論の話をしているときにそれを持ち出して批判するのは見当外れでしょう。

数学において 「 言葉による説明 」 は、道路標識のようなものです。

最終的には、自分で考えないといけない。

「 言葉の分かりやすさ 」 をあまりにも過大評価すれば本質を見失います。


では、「 古い本の方が評価を積み重ねやすい 」 というのは?



どの分野にも 『 古典的な名著 』 があります。

例えば、微分積分学では、高木貞治先生の 『 解析概論 』 は有名です。

初版は1938年頃に出されました。

日本で初めての、本格的な解析学の書物であったそうです。

そのため、当時は大きな反響を呼びました。

また、現在(2016年)でも、改訂版が出されていて、普通に入手できます。



すごいですね!?

つまり・・・その本は80年も現役で活躍していると。


そうですね。

実際、良い書物であると思います。

加えて、高木貞治先生は類体論の創始者です。

研究者の評判と著書の評判は必ずしも一致しないものですが・・・。

高木貞治先生の場合は両方ともにトップレベルですね。

しかし・・・しかし、さすがに本の内容が少し古い。



それは・・・まぁ、そうですよね。

80年・・・。


しかし、ネット上の評価だけで見ると、その部分が伝わりづらい。

この意味で、むしろ評価を重ねている本は老いているとも言えます。

この辺りはレビューの落とし穴ですね。



ああー、たしかに、それは問題かも・・・。

うーん・・・では、何を基準に選べばよいのか・・・。



いや、まぁ、普通に評価が高い本を購入してもよいと思いますよ。

ただ、最近は良い本がドンドン出てきている。

それを忘れないようにしたい。

あと、既に述べましたが、一般に理工図書のレビューはアテにならない。

これは理工系の常識です。



なるほど・・・了解です。

理工図書に関するレビューは気にしない。


はい。



大学で学ぶ前に、高校の復習をしっかりとしておいた方がよいのでしょうか。


私はあまりオススメしません。

既に入る大学が確定しているのであれば、高校の復習をするよりも大学の内容を学んだ方がよいでしょう。



そういうものなのですか?

基本的な内容をしっかりと確認してからにした方がよいと思うのですが・・・?


例えば、算数だけしか知らない小学生を想像してください。

この子は真面目で、数学を学ぶ前に算数をマスターしたいと考えています。

そのために努力をして、インド式九々、そろばん、100マス計算を猛練習しています。

本人は

「 基礎は大事だから 」

「 1つ1つ着実に力を付けたい 」

・・・と前向きに考えているようですが、何かズレていると言えるでしょう。

1次方程式に出会えば、この子の努力は引っくり返ってしまうのです。

新しいことを学ぶと、それまでの学習内容が書き換えられることがある。

最初からガチガチに進むと、後で努力が無駄になる。

同様のことが、高校・大学の数学についても言えます。

むろん、高校数学(あるいは初等物理学)を極めることで視えてくるものもあるでしょう。

しかし、関数解析、複素解析、曲面論、代数学に出会えば引っくり返ってしまうかもしれません。

というより、このような話はよくあるのです。

初等的な量子力学を頑張っても、関数解析に出会うと最初から学び直しになる。

なぜなら、新しい知識が既存の内容を書き換えてしまうからです。

議論の土台そのものが変換されてしまうのです。



逆に、高校の知識はどの程度もっていればよいのでしょう?


本当に基本的なことでよいのです。

例えば、次のようなものです。

(1) 部分積分、置換積分を計算できる。

(2) 萩L号の意味が分かっている。

(3) ベクトルについて AB+BC=AC が成り立つことが分かる。

(4) ベクトルの正射影などを理解している。

概ね、この程度で十分です。



あ・・・、部分積分の公式を忘れてしまったかもしれません・・・・。


logx の積分を考えてみてはどうでしょう。

これを部分積分で計算すると、∫logx=xlogx−x となります。

右辺に x が3回現れるはずです。


ああ、なるほど。


いまの話で 「 ああ、なるほど 」 と感じられるだけの知識があれば十分です。

「 自分にはまだ早い 」 などと言って、準備ばかりしている学生をよく見かけます。

それで、いつまでも高校の復習をしたり、副読本ばかり読んでいる。

無駄とまでは言いませんが、これは自分の可能性を閉じ込める可能性が大きい。

まずは目的の分野に踏み出してみた方がよいでしょう。

本当に 「 自分にはまだ早い 」 と感じるのであれば、そのときに引き返せばよいのです。


ところで、「 どの知識がどの程度だけ必要か 」 ということは、どのようにすれば分かるのでしょう?

そのような知識はどこから仕入れるのですか?



これは全体を視れば分かることです。

例えば、いま、1次方程式の基礎を学習したとします。

この状態の場合、どの程度だけ1次方程式に習熟すればよいのか分かりません。

そこで、次の2次方程式に進んでみましょう。

すると、

「 ああ、要するに2次方程式を解くときに困らない程度に習熟すればよいのだな 」

・・・ということが分かります。

微分積分もそうです。

大学の内容を視ると、

「 ああ、要するに置換積分、部分積分、回転体の体積計算が分かればよいのだな 」

・・・ということが分かります。

むろん、学部や学科によって多少の違いはあります。



ところで、理工図書を見ると、不思議な記号が多量に登場しますね。

f:V→W とか、⊂2 とか・・・。

まるで 『 宇宙語 』 ですよ。

相当に準備をしないと理解できないのではないかと身構えてしまいます。


よく 「 理工図書は宇宙語で書かれている 」 と言われます。

その原因のほとんどは、理工図書が集合論やεδ論法で書かれているからです。

逆に言えば、基本的な集合論(写像など)、εδ論法を理解していれば、ほとんどの本は読めます。

もう少し言えば、集合、線形、代数、微積、位相の基礎が分かれば、全ての本は読めます。


全て!?

本当ですか???


はい。



じゃあ・・・多様体を学ぶことはできますか?


多様体を学ぶために必要な知識は 『 微積 』 と 『 線形 』 ですね。

加えて、位相空間論に関する知識があると理解がスムーズになります。



関数解析は?


関数解析を学ぶために必要な知識は 『 線形 』 と 『 距離空間 』 ですね。

距離空間というのは位相空間の一種です。

位相空間に詳しければ、関数解析の学習はスムーズになるでしょう。


たしかに、この5科目があれば色々な分野の入口に立つことができそうですね。



で、基本的な集合論やεδに関する解説は、中級者向けの本に書かれています。

一方、初級者向けの本には書かれていないことが多い。

なので、初級者向けの本を何冊読んでも宇宙語を読めるようにはなりません。

初級者向けの書物を何冊も重ねれば次に進めるというわけではないのです。



ゲームだったら、弱い敵を倒しても経験値が UP するんですけどねぇ・・・。



なぜゲームに比喩するのか分かりませんが、まぁ、そうです。



しかし、集合、線形、代数、微積、位相は難しそうですよね・・・。


いえ、落ち着いてしっかりと読めば理解できる内容です。

簡単であるとは言いませんが、基本的な高校レベルの基礎が分かっていれば分かる内容。

あと、当然ですが、すべての人がこれらをやらなければならないという話ではありません。

実験系の人が学ぶことは時間的に難しいかもしれませんね。

ただ、この5科目さえ揃えていれば、基本的にすべての理工図書は読めます。

そのことは知っておくとよいでしょう。

そうしないと、入口がどこにあるのかさえ分からなくなってしまいますからね。