対談形式(よくある質問〜その2)

サイトのTOP→理系インデックス
対談形式のTOP→対談形式インデックス







大学で 『 線形代数 』 で 『 行列 』 という概念を学んだのですが、これは何なのでしょう?

これによって何ができるのでしょう?


とにかく、線形代数は何にでも応用されます。

例えば、検索エンジンで google は有名ですね。

文字を入力するだけで、様々なサイトが瞬時に表示されます。

しかも、比較的に適したページが上位に表示されます。

これは 『 ページランク 』 と呼ばれる仕組みによって可能になっています。

( ちなみに、これは 『 考案者の名前 Page 』 と 『 ページ 』 を掛けたものである )

で、これに線形代数の 『 行列 』 が用いられます。

また、コンピュータ、画像処理など、様々な分野にフーリエ解析、関数解析が応用されています。

そして、フーリエ解析、関数解析は、線形代数と位相空間論と密接に関連しています。

この意味で、線形代数は、直接的・間接的に応用されていると言えます。

また、構造物の振動解析に微分方程式が現れることは道理ですね。

で、この微分方程式を解析するためにも線形代数は応用されます。

また、経済学では 『 遷移確率行列 』 が登場します。

むろん、これは線形代数や確率論と関連しています。

また、膜の振動が偏微分方程式によって記述されることは道理ですね。

で、偏微分方程式を調べるために関数解析が用いられます。

電気回路に線形代数やフーリエ解析が応用されることは有名ですね。

また、構造力学にも線形代数が用いられます。

例えば、トラス構造や梁(はり)を調べるときに 『 構造行列 』 を用います。

この辺りは 『 有限要素法 』 と関連が深いです。

ちなみに、微分幾何は建築に応用されます。

例えば、ガウディの 『 サグラダ・ファミリア聖堂学校 』 に 『 線織面 』 が応用されていることは有名です。

で、曲面の記述には微分法と線形代数が用いられます。

このように、色々な分野に応用されています。


大学に 『 位相空間論 』 と呼ばれる分野があるそうですね。

これは何に応用されるのでしょう?


位相空間論も何にでも応用されます。

まず、多変数微分積分学や複素解析では 『 開集合 』 や 『 点列 』 が登場します。

これは位相空間の言葉ですね。

また、多様体では 『 ハウスドルフ空間 』 が登場します。

これも位相空間の言葉ですね。

多様体論の初歩を学ぶだけならば、ハウスドルフ空間は単なる集合だと思ってもよいです。

ただし、それなりに探索するつもりであるならば、位相的な知識をもっておいた方がよいでしょう。

ハウスドルフ空間やコンパクト性の意味を知っていれば、学習がスムーズになります。

ルベーグ積分論・確率論では 『σ加法族 』 や 『 ボレル集合族 』 が登場します。

これは位相ではありませんが、位相空間と非常に深く関連しています。

代数幾何学では 『 ザリスキ位相 』 というものが登場します。

ザリスキ位相は、代数多様体のために用意された位相です。

例えば、 上のザリスキ位相において、閉集合は 全体または有限個の点集合のみです。

また、整数論では 『 p進位相 』 が登場します。

また、位相幾何のグラフ理論はネットワーク理論の研究で重要です。

また、結び目理論は、閉じたヒモの連続変形によって位相的分類を調べます。

これは位相幾何の一分野で、DNAや高分子の研究にも応用されています。

この意味で、位相は生物学とも深く関連しています。

また、位相幾何学では 『 ホモロジ 』 が基本的ですが、これも位相不変量です。

また、計算ホモロジはデータ解析にも応用されています。

群に位相を入れると 『 位相群 』 になります。

位相群から位相空間への作用を考えることで等質空間を定義できます。

等質空間を発展させた 『 ファイバ束 』 は、幾何学や物理学で重要です。

そして、位相空間論は、ほとんど前提知識なしで学べることも特徴です。

なので、数学的思考の練習台としても最適です。


たった2つの分野がここまで様々な分野に影響を与えることに驚いています。

なぜこのようなことになっているのでしょう・・・?



人間が直観的に正確に把握できる概念は 『 線形性 』 だけです。

ゆえに、理論を組み立てるときには線形性を基準にする必要があります。

なので、すべての分野は線形代数に基づいています。

また、人間の感覚で最も優れているのは 『 視覚 』 です。

ゆえに、人間の思考において 『 図形 』 は非常に重要です。

そこで、

「 図形の性質として最も優れた概念、最も汎用性の高い概念は何か?」

・・・という問題が生じます。

この疑問に対し、数学者が出した答えは 「 図形がくっついているか、離れているか 」 という性質でした。

これを説明する概念が 『 位相空間 』 です。

よくある説明ですが、トポロジーの世界ではドーナツとコーヒーカップを同一視します。

実際、ドーナツとコーヒーカップに空いている穴の数は1つだけです。

よって、ドーナツとコーヒーカップをゴムのように伸縮させれば、

この2つの図形は互いに他方の図形へと変形させることができます。



大学の数学では 「 3次元 」 だけではなくて 「 n次元 」 を考えることも多いようですね。

しかし、現実の世界は3次元なので、n次元を考えても意味がないのでは?


多変数の微分積分はあらゆる分野で普通に使用します。

物理学、化学、社会科学、何でもです。

「 現実の世界は3次元だから2変数の微分積分で十分 」 というのも間違いです。

たしかに、目に見える関数は2変数関数まででしょう。

しかし、現実には、2変数よりも多くのパラメータが必要になることは普通にあります。

あくまで感覚的な比喩ですが、例えば、商品の売れ行きを調べたいとします。

このとき、商品の売れ行きを左右するのは、品質、値段、地域、・・・などなど色々な因子があります。

2変数より多くのパラメータを必要とすることなど、現実の問題では普通のことです。

なので、多変数の微分積分法は重要です。


『 関数論 』 と 『 関数解析 』 は同じ分野ですか?


異なる分野です。

関数論は 『 複素解析 』 を意味します。

とくに、次の分野はよく混同されますね。

(*1) 関数論、関数解析

(*2) 数論、数理論理学

(*3) 計算機科学、計算幾何学


解析学の本を読むと、同じ分野のはずなのに、本によってかなり異なった内容に視えることがあります。

あれはどういうことなのでしょう?


解析学の世界は次の2通りに大別できます。

(*1) リーマン積分に基づいて議論する。

(*2) ルベーグ積分に基づいて議論する。

例えば、フーリエ解析、関数解析、偏微分方程式、確率論など、すべて2つに分かれます。

どちらの世界も有用です。



へぇ、確率論をルベーグ積分で議論することもあるのですか。

初めて知りました・・・。


理論をやっている人にとっては常識なのです。

「 確率論とはルベーグ積分論である 」 と言われるほどです。



そういえば、量子力学を学ぶときにルベーグ積分が必要だと聞いたことがあります。


そうですね。

初等的な量子力学であれば、高校生でも探索できると思います。

しかし、深く探索しようとすると、線形代数、ルベーグ積分、関数解析、フーリエ解析が必要です。


初等的な関数解析、フーリエ解析、確率論を探索してからルベーグ積分を探索するべきか・・・。

最初にルベーグ積分を探索してから、本格的な関数解析、フーリエ解析、確率論に入るべきか・・・。

どちらの学習が最適なのでしょう?


その辺りは、人によって意見が分かれるかもしれませんね。

私なりの答えとしては、個人の能力・関心によると思います。

初等的な世界で全体を見渡してから、数理的な世界に入るのもアリ。

最初に入念に準備してから、数理的な世界に入るのもアリ。

ただし、初等的な世界で得た知識が、数理的な世界で役立たないこともよくあります。

例えば、関数解析を用いないで量子力学を探索したとしましょう。

けれども、数理的な世界を探索すると、今までの知識が次々と修正されます。

最終的に、序盤で得た知識がすべて塗り替えられてしまうということもあるのです。

フーリエ解析も同じです。

初等的な世界で探索すると、ゴチャゴチャして分かりにくいと感じる人は多いはず。

しかし、関数解析の世界で、関数を点として考えると、一気に見晴らしがよくなります。


フーリエ解析の世界で分からなかったことが、関数解析の世界で分かることもあるのですか。

それは驚きました。


例えば、フーリエ解析の世界で 『 完全性(パーセヴァルの等式など) 』 に出会います。

これは、フーリエ解析の世界だけで視ると、少し意味が分かりづらいと思います。

しかし、関数解析の世界であれば、全体がスッキリと視える。

似たようなことは、他分野にいくらでもあります。

なので、ある程度の余裕があるのであれば、色々な分野を視た方がよいかもしれませんね。

「 自分にはまだ早いから、初等的な内容をマスターしてからにしよう 」

・・・と考えて、自分の才能を閉じ込めている人をよく見かけます。

初等的な世界は、簡単なこともありますが、視野を狭める可能性があります。


初等的な世界は、簡単で分かりやすいが、視野を狭める。

数理的な世界は、難しいこともあるが、視野を広める。


そうですね。

あえて言うならば、どちらか一方のみに固執する必要はないということです。

ただ、大学1年生には、初等的な世界に偏っている人間が多い。


最近は、ビッグデータ、弦理論、カーボンナノチューブ、再生医療、ロボット産業、人工知能。

これらが注目を浴びていますよね。

これらを学んだ方がよい?


むろん、興味・関心があるのであれば、自由に学べばよいと思います。

ただし、いま流行しているものでも、すぐに収束することはよくあります。

例えば、1997年にはクローン羊ドリーが誕生し、生命系が注目を浴びました。

まさに、遺伝子やバイオテクノロジーが注目されていました。

では、2000年以降、生命系の人は悠々と就職できたのでしょうか?

結果は真逆です。

生命系の大学院が無駄に乱立し、生命系の学生が増えすぎました。

結果、生命系のポスドク問題はもっとも深刻化しました。



たしかに、先が視えませんね・・・。

私が1997年に高校生だったら、生命系を目指していたかも・・・。



世界は本当に広い。

10年スパンで、各分野(数学・物理学・化学・生物学・機械など)で革命が起きています。

なので、あまり早い段階から、特定の分野に一点集中することは不適切でしょう。

まずは、基礎(集合、位相、線形、代数、微積など)をしっかりと学ぶのがよいと思われます。



あ、けど、あえて衰退している分野に飛び込むという考え方もあるのかな?

「 波に乗る 」 のではなくて、「 自分が波を起こす 」 みたいな!



そういう考え方もあるかもしれません。

つまり、目前の波に乗ろうとして部屋にサーフボードを取りに行くのでは遅すぎる。



何となく、間に合いそうな気もするのですけれどねぇ・・・。



その辺りは落とし穴ですね。

例えば、論文や作品を理解することは短期間できます。

しかし、それらの背景には 『 試行錯誤 』 がある。

その試行錯誤を知らずに 『 正解の道 』 だけを見ても、次につなげることができない。