対談形式(複素解析)

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ところで、正則関数とは?


高校数学では、1変数実数値関数の微分を学びますよね。

微分積分では、2変数実数値関数の微分を学びます。

で、複素解析では、複素関数の微分を学びます。

これを 『 複素微分 』 と言います。

とくに、定義域の任意の点で複素微分可能な関数を 『 正則関数 』 と言います。

とにかく、この正則関数が豊かな性質をもっています。



その複素微分というのは、普通の微分とは違うものなのですか?



2変数関数の微分に似ています。

ただし、2変数関数の微分とは異なる性質があります。

それを説明するために、念のため、2変数関数の微分を復習します。

2変数関数では、『 x 軸方向の微分 』 や 『 y 軸方向の微分 』 を 『 偏微分 』 と言います。

とくに、任意の方向に対して微分可能であるとき、これを 『 全微分可能 』 と言います。

ただし、全微分と呼ばずに、普通に 『 微分 』 と呼ぶことも多い。

ちなみに、x 軸と y 軸方向の微分によって得られる導関数が連続であるとき、これを C 級と言います。

また、「 C 級 ⇒ 全微分可能 」 は有名ですね。



あー・・・、えーっと・・・。



・・・。

まぁ、ここでは 「 C 級 ⇒ 全微分可能 」 を知らなくてもよいです。

とりあえず、そんなものがあったなぁという感じであればよい。

さて、このような2変数関数の微分では、x 軸と y 軸は本質的に対等なものでした。

一方、複素平面上では x 軸に相当して 『 実軸 』 があり、y 軸に相当して 『 虚軸 』 があります。

そして、実軸と虚軸は対応なものではありません。

よって、複素平面上での微分可能性は、全微分可能性よりも強い意味をもちます。

簡単に言うと、正則関数は剛性をもつということです。

詳しいことは、少し後で再び説明します。



ところで、線積分とは?


微分積分では、1変数実数値関数の積分を定義しますよね。

このような、通常の積分を 『 リーマン積分 』 と言います。

これと同様のことを曲線上でやるだけです。



・・・ん?

本によって線積分の定義が異なって視えることがあるのですけれど・・・?


区分求積法で定義する場合と、置換積分法で定義する場合があります。

どちらも、本質的には同じ線積分です。

線積分は、ベクトル解析や物理学にもよく登場します。

その場合、接線線積分に出会うかもしれませんね。

むろん、接線線積分は、線積分です。

ただし、意味は少し異なるので注意ですね。

ちなみに、おそらく、線積分と 『 曲線の長さ 』 を混同する人が多い。



『 線積分 』 と 『 曲線の長さ 』 は別物なのですね?


そうですね。

ただし、無関係ということではありません。



ところで、コーシーの積分定理とは?


先ほど、線積分を紹介しましたよね。

実は、この線積分が閉曲線上の積分である場合、その値は 0 になるのです。

これがコーシーの積分定理です。


なんだ、簡単そうですね。


そうですね。

定理の概要は簡単です。

ただし、コーシーの積分定理はいくつか条件があります。

この条件に注意して定理を使用しないと、問題の解法を間違ってしまいます。



その条件とは?



コーシーの積分定理は、閉曲線に対して成り立つものであるということは述べましたね?

この閉曲線に囲まれた領域の中で、関数 f が正則でなければならないのです。



つまり、閉曲線で囲まれた領域で、複素関数は複素微分可能でないといけない?



そうです。

例えば、複素関数として f(z)=1/z を考えてみましょう。

この関数は、原点で発散していて、微分不可能です。

なので、原点まわりの閉曲線でコーシーの積分定理を用いると試験で減点されます。



では、f(z)=1/z を原点まわりで線積分すると、その値はどうなるのですか?


2πi になります。



そういえば、原始関数と不定積分って、ありましたよね。

いまだに、あれは何が違うのかよく分からないのですが・・・。

というか、高校数学のときにも違いがよく分からなかったような・・・?



あー・・・、その辺りは重要ですね。

まず、高校の内容について復習しましょうか。

f(x)の原始関数とは 『 微分すると f(x) になる関数 』 です。

よって、例えば、x+1、x−3、x+5 は 2x の原始関数です。

一方、2x の不定積分は x+C ですね。

2x を積分して・・・とにかく +C (不定定数) を付ける。

高校数学ではそのように認識する人が多いと思います。

ただ、不定積分を詳しく述べると、次のようになります。

(*) ある点 x∈[a、b] を自由にとって、xから任意の点 x∈[a、b] までの積分を考える。

むろん、x は任意ですから、これは関数と見なせます。

そこで、これを 『 f(x)の不定積分 』 と言います。

こちらの場合、式からは不定定数 C が消えます。

なので、

「 あれ?不定定数がない??? 」

・・・と戸惑う人がいるかもしれませんね。

ただし、不定性が消えたわけではなくて、x の任意性が不定性になります。



なるほど・・・。

けど、それだけなら、あまり高校数学と変わりないような・・・?



一見すると、そうですね。

ただし、『 f(x) の不定積分 』 の微分が f(x) になることは自明ではありません。

これをしっかりと証明する必要がある。

で、これこそが 『 微分積分学の基本定理 』 です。

ただ・・・、やはり、高校数学と大きな違いがないという意味で鮮烈性はない。

そこで、話を複素解析にも広げましょう。

複素解析では、不定積分は次のように定義されます。

(*) ある点 z∈D を自由にとって、zから任意の点 z∈D までの線積分を考える。

ただし、積分経路によって値が異なると不定積分を定義できません。

すると、

「 では、どのような条件下であれば、積分経路に依存せずに線積分の値が定まるのか? 」

・・・という自然な疑問が出ますね。

で、その答えが 『 コーシーの積分定理 』 です。

これを確認しましょう。

Γ と Γ を、点 z から点 z までの2つの経路とします。

このとき、Γ と −Γ を合わせると、これは1つの閉曲線となります。

よって、∫Γ1−Γ2dz=0 です。(※コーシーの積分定理)

つまり、∫Γ1dz=∫Γ2dz です。

つまり、線積分の値は積分経路に依存しない。

よって、コーシーの積分定理がつかえる条件下であれば、不定積分の存在を保障できます。

で、コーシーの積分定理がつかえる条件下とは、閉曲線の内部で、f(z)が正則であることです。

よって、とくに、穴が空いていない領域で定義された正則関数に対して不定積分が存在します。

とくに、穴が空いていない領域を 『 単連結領域 』 と言います。



あー、そっか。

穴が空いていたら、コーシーの積分定理は使用できませんよね。

また、点 z を自由にとることができるから、これが 『 不定積分 』 という名前の由来かな。



このように、不定積分を 「 構成する 」 という視点をもつことが重要です。

つまり、不定積分の存在の有無を議論できる。

実積分の世界だと、この議論が少しモヤモヤしてしまうのですが・・・。

複素解析ではこの違いが鮮烈に現れます。

この意味で、複素解析を学ぶと、原始関数や不定積分についての理解が深まると思います。



ところで、コーシーの積分公式とは?



それはコーシーの積分定理の仲間です。

Γ を単純閉曲線とします。

このとき、任意の z∈Γint に対し、次が成り立ちます。( Γint はΓの内部を意味します )



つまり、円周Γ上での f の値が分かると、Γの内部における f の値も完全に分かる。

つまり、周囲の値が定まると、その内部の値も定まる。

これは正則関数の剛性を表しています。



ところで、留数定理とは?



留数定理の主張は次のようなものです。

(*) 閉曲線の線積分が、閉曲線の内部に含まれる留数の和に一致する。

つまり、積分計算が留数の足し算になる。

つまり、留数定理は、積分計算を算数にグレードダウンさせる定理です。

これを用いることで、積分計算が簡単になる場合があります。

ちなみに、留数定理は、実数の積分計算にも応用できます。

ちなみに、留数定理は、位相幾何学や代数幾何学にも、一般化された形で登場します。



え?

なぜ複素解析の理論が実積分に応用されるのでしょう?



たしかに、実関数と複素関数は別物です。

しかし、実関数を複素関数に拡張することはできます。

実関数を複素平面の実軸上で定義された関数と見なせば、これを複素平面全体に拡張できますよね。

つまり、f(x) を f(z) に書き換えるだけでよい。

例えば、f(x)=1/(x+x+1) を f(z)=1/(z+z+1) に書き換える。

そこで、この f(z) に対して留数定理を用いればよい。

その他



複素解析って、定理の量が多いですよね。



鮮烈な定理が多いですね。

線形代数や微分積分の場合、自然な結果が提示されることが多い。

しかし、複素解析の世界では 「 そんなことが成り立つの? 」 という驚きの定理が多い。

ただし、これらの定理は元を辿ると、ほとんどが 『 コーシーの積分定理 』 や 『 コーシーの積分公式 』です。

複素解析の参考書を見れば分かると思いますが、コーシーの積分公式の後は定理ラッシュです。

例えば、次のような定理が連続で登場します。

(*1) グルサの公式、モレラの定理

(*2) リウヴィルの定理、代数学の基本定理

(*3) 最大値の定理、シュワルツの補題

(*4) 留数定理



複素解析を越えた先には何が待っているんだろう?


複素解析は、とくに理論物理学への応用が多いと言えるかもしれません。


具体的にどのように?


例えば、次のようなテーマがあります。

(*1) ポテンシャル論

(*2) リーマンの写像定理 ( タイヒミュラ空間の入口 )

(*3) ピカールの定理 ( ネヴァンリンナ理論の入口 )

(*4) ミッタク・レフラーの定理 ( ワイエルシュトラスの p 関数の一般化 )

(*5) ワイエルシュトラスの定理 ( 無限乗積表示の一般化 )

(*6) ルンゲの近似定理 ( これによって正則関数の存在定理が示される )

その他、クライン群、複素力学系などがあります。

ちなみに、複素解析は多変数化できます。

多変数複素解析学は、代数幾何学や理論物理への応用があります。


ポテンシャル論というのは?


ポテンシャル論とは、調和関数に関する理論です。

調和関数は、物理学全体に広く登場します。

なぜなら、波動を方程式で記述するときに調和関数が登場するからです。

物理学において波動は非常に重要です。

電磁波、流体、膜の振動など、基本的な現象には波動が関連しています。

で、なんと、正則関数の実部と虚部は調和関数になります。

だから、複素解析は物理学へ応用されます。

ちなみに、複素解析で学ぶことですが、少し条件を調節すると、正則関数と等角写像は同値です。

なので、等角写像が、電磁気学や流体力学へ応用されることは道理。


あれ?

電磁波、流体、膜の振動って、偏微分方程式で記述されますよね?


はい。

ですから、複素解析と偏微分方程式は、ポテンシャル論を軸に関連しています。


リーマンの写像定理、タイヒミュラ空間とは?


リーマンの写像定理とは、次のようなものです。

(*) 単連結平面領域は、 または 開単位円板と等角同値である。

つまり、単連結平面領域は2種類だけということです。

等角写像の一般化として 『 擬等角写像 』 があります。

この辺りを深く探索していくと、タイヒミュラ空間に出会います。

タイヒミュラ空間は理論物理学への応用があります。

これは弦理論とも関係しているようです。

ちなみに、モジュライ空間はタイヒミュラ空間のモジュライ群による商空間です。

モジュライ空間は、代数幾何学や複素力学系の基本概念として知られています。


ピカールの定理、ネヴァンリンナ理論とは?


値分布論です。

1925年、ネヴァンリンナが出した論文が出発です。

幾何学の世界と深く関連したおもしろい分野のようです。


ミッタク・レフラーの定理、ワイエルシュトラスの p 関数とは?


ワイエルシュトラスの p 関数は、楕円関数のことです。

楕円関数は、コマの運動、天体の運動などで知られています。

それを一般化したものがミッタク・レフラーの定理です。


ワイエルシュトラスの定理、無限乗積表示とは?


無限乗積表示とは、複素三角関数 sinz、coszや、ガンマ関数を積の形で表す方法です。

それを一般化したものがワイエルシュトラスの定理です。


ルンゲの近似定理、正則関数の存在定理とは?


ルンゲの定理は、次のようなものです。

(*) 単連結領域上の正則関数は、任意のコンパクト集合上で多項式で一様近似できる。

正則関数の存在定理というのは、次のようなものです。

(*) 任意の領域に対し、それを存在域とする正則関数が存在する。

どちらも、基本的で強力な定理です。