対談形式(不定積分に+Cが付かない・・・だと?)

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いま、大学の微分積分学の参考書を読んでいるのですけれど・・・。

不定積分に +C が付いていません。

割と本格的な参考書なのに、+C を省略してしまうのだなー、と驚いています。



ん・・・?

ああ、その参考書の定義だと、+C は付きませんよ。



え・・・。

不定積分なのに、+C を付けなくてもよいのですか?



+C を付けるのは、高校数学ですね。

あるいは、大学の微分積分学でも、初級者向けの参考書では +C を付ける傾向があります。

一方、しっかりと定義すると、+C が付かなくなります。

ただし、不定積分の本質が変わるわけではありません。



うそん・・・不定積分には +C を付けるものだと思っていましたよ。



そもそも、不定積分に +C が付く理由を知っていますか?

原始関数と不定積分の区別は付いていますか?

この辺りは、掘り下げると、それなりに深い。



原始関数と不定積分の区別・・・はい、大丈夫だと思います。

例えば、2x の原始関数は、x+1 や x−3 ですね。

一方、2x の不定積分は、x+C ( C は任意定数 ) です。

つまり、不定積分は・・・とりあえず、原始関数に +C を付けたような感じ?



高校生の場合、そのように認識している人は多いでしょうね。



では、+C が付かない定義とは?



f:[a、b]→ を積分可能な関数とします。( 「 積分可能な 」 という部分が重要 )

そして・・・、



ちょ、ちょっと、ストップ!

その f:[a、b]→ は、何ですか?

それと、「 積分可能な関数とする 」 というのはどういうことですか?

まるで、積分可能でない関数があるみたいに聞こえるのですが・・・?



f:[a、b]→ は、関数 f の定義域が [a、b] で、その値が実数であることを意味します。

は実数全体を意味する記号です。

で、「 積分可能でない関数 」 はありますよ。

高校数学の場合、積分可能性は議論しません。

なので、あらゆる関数がつねに積分可能であると考えている人は多いかもしれませんね。

ただ、この辺りを掘り下げると長くなってしまうので、ここは保留にします。

とりあえずは 『 積分不能な関数 』 が存在することを了解してもらえば十分です。

だから、「 f は積分可能な関数である 」 と明記しているのです。



なるほど、了解です、



さて、話を戻しましょう。

f:[a、b]→ を積分可能な関数とします。( 「 積分可能な 」 という部分が重要 )

いま、次式は 『 x の関数 』 と見なせます。



実際、x を動かすと値が変化します。

そこで、これを F(x) と表します。

つまり、



このとき、F(x) を 『 f(x)の不定積分 』 という。

この定義では +C が付いていません。



なんと・・・!?

つまり、f(x)の不定積分とは、定義域の左端を基点として、点 x まで積分した関数ですね。

たしかに、この定義ならば、+C は付きませんね。

・・・。

・・・。

・・・あれ?

つまり、これは原始関数ですよね?

これを 『 不定積分 』 と呼んでよいのでしょうか?



「 原始関数と不定積分を区別しない 」 と明記している参考書もあります。

しかし、例えば、f(x)=2x の定義域は (−∞、∞) です。( つまり、実数全体です )

つまり、[a、b] は自由に選んでよい。

つまり、基点 a は自由に選んでよい。

これが高校数学の任意定数 C に相当します。



しかし、この定義だと、x<a の範囲では不定積分の関数が定義できませんね。

少し不便なような・・・。



いや、普通に x<a の範囲を含めて定義できますよ。

実際、x から a まで積分して、その符合を反転させればよい。

自然に次のように定義できます。



上式において、右辺は既知であることに注意してください。

実際、x<a に対して x から a までの積分を考え、これの負を考えているだけですよね。

これを左辺のように表すということです。

誤解を防ぐために、次のように表すこともあります。



ここで、A:=B は 「 B を A で表す 」 という記号です。



本当だ・・・。

最初、不定積分の定義では f の定義域の左端を基点として採用していましたが・・・。

実際には、基点はどこでもよいのですね。

あ・・・もしかして、それが不定積分という名前の由来?

つまり、基点をどこに選んでもよいという不定性が、不定積分という名前の由来?



いや、不定積分という名前の由来は、x が任意に動くことによると思います。

通常、積分は 「 a から b まで 」 と範囲が決まっています。

それを 「 a から x まで 」 としているので不定です。

a は関係ありません。

たしかに、a は自由に選んだ後で 『 固定 』 していますからね。



a ではなくて、x が自由に動くから不定積分か・・・。

けど、それなら、原始関数も不定ということになるのでは?



原始関数は、名前に 「 関数 」 という言葉が付いています。

x の不定性は、この関数という言葉に含まれています。



な・・・なるほど。

まさか、不定積分にこのような奥深い話があったとは・・・。



いくらでもありますよ。

例えば、先ほどは 「 不定積分は原始関数である 」 という話が出ましたね。

むろん、これは 「 f(x)の不定積分を微分すると f(x) になる 」 という事実に基づいています。

つまり、



しかし、これは自明ではないので、しっかりと証明しないといけません。

実際、これは 『 微分積分学の基本定理 』 と呼ばれています。

これを示すことは大学の微分積分学の1つのテーマです。



え・・・自明ではない?

そんなに大きな話ですか?

その式(*)が成り立つことは当然のように思えますけど・・・。



おそらく、それは 『 論理 』 と 『 経験 』 を混同しています。

たしかに、x や sinx など、高校数学で出会う関数を積分して微分すると元に戻ります。

つまり、初等関数に対して微分と積分が逆の関係にあることは経験的によく知られています。

しかし、それだけで同じことが一般の関数について成り立つと考えることは早計です。



あ、あー・・・そうか。

では、不定積分の定義が少し厳密になっているのは、話を一般の関数に広げるため?



そうですね。

あるいは、大学の定義は 「 不定積分の存在 」 を議論に含めています。

実際、不定積分の定義では 「 f を積分可能な関数とする 」 と述べました。

つまり、∫f(t)dt が存在すると 『 明言 』 したのです。

これは些細な違いであるように思えるかもしれません。

しかし、この辺りの細かいことに慣れると、理論を論理的に組み立てられるようになります。

この類の細かいことを入門の段階でガチガチに意識する必要はありません。

ただ、余裕が出てきたら、そういう細かい議論も意識するとよいかもしれません。