対談形式(表現論)

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表現論とは?


群 G から GL(V) への準同型写像を 『 G の表現 』 と言います。

ある群について、その表現を調べる学問を 『 表現論 』 と言います。


そもそも、GL(V) とは?


V は有限次元ベクトル空間です。

で、V と V の間の線形変換を考える。

このような線形変換で、逆写像が存在するものを 『 正則 』 または 『 可逆 』 と言います。

V 上の正則な線形変換全体を GL(V) と表します。


すると・・・表現というのは、群 G の元に対してV上の正則な線形変換を対応させた準同型写像?


そうです。


うひゃー。

つまり、写像の値が写像になっているということですよね。

難しそうです。



たしかに、表現論は奥が深いですね。

しかし、特別に難しいというわけではありません。

実際、本当の意味で新しい概念は、いま説明した 『 表現 』 くらいのものです。



ところで、この表現によって何を調べるのですか?


群の構造を調べます。

例えば、φ:G→S を表現とします。

ここで、S は {1、・・・、n} から {1、・・・、n} への全単射全体です。

明らかに、S は写像の合成に関して群になります。

は 『 n次対称群 』 または 『 n次置換群 』 と呼ばれます。

これは線形代数などでもよく知られていますし、分かりやすいですよね。

で、既に述べたように、表現は準同型写像です。

つまり、群の演算を保存する。

ある意味で、S は群として分かりやすい構造をもっていますよね。

だから、G を S で表現することによって、G の構造を調べることができます。



ところで、置換表現とは?


G が X に作用しているとする。

g∈G とおく。

:X→X を T(x)=gx で定義する。

このとき、T は全単射である。(証明は省略)

そこで、φ:G→S をφ(g)=T で定義できる。

このとき、φを 『 G の X による置換表現 』 という。

また、φは準同型写像である。(証明省略)



つまり、表現は置換表現の一般化ですね。



そうですね。

とくに、X={1、・・・、n} とすると、φ:G→S を意味します。

また、これは単射であることが示されます。

つまり、G の構造が S に埋め込まれているということです。

これを 『 ケイリーの定理 』 と言います。



ところで、左正則表現とは?



G を有限群とする。

G から G 自身への作用を考える。

K(G) を G 上の K 値関数全体からなる関数空間とする。

L(g)f:X→K(G) を L(g)f(x)=f(g−1x) で定義する。

いま、L は G の K(G) による表現である。

このとき、L を 『 G の左正則表現 』 という。


むむむ・・・?

何だか複雑ですね?



いえ、複雑ではありませんよ。

まず、L(g)f(x)=f(g−1x)の意味に注意しましょう。

いま、g∈G は x∈X に作用して gx∈X となります。

点 gx∈X に値 f(x) を対応させた関数を L(g)f と表します。

つまり、T(g)f(gx)=f(x) ですね。

つまり、T(g)f(y)=f(g−1y)です。



ええ・・・やはり複雑では?

なぜ左に g−1 が掛かるのかよく分からないです・・・。



これは新しい概念ではありませんよ。

同じことは高校数学でやったはずです。

例えば、高校数学で知られているように、関数 f(x) を +a 平行移動させると f(−a+x) となります。

今回は、それが f(g−1x) となっているだけです。


あ・・・。

じゃあ、左正則表現って、あえて言葉にすれば 「 群による平行移動 」 ということですね。



そうです。


具体的に、左正則表現としてどのようなものがあるのでしょう?



R(θ)を回転行列とします。

とくに、R(0)、R(π/4)、R(π/2)、R(3π/4) を考えてみましょう。

明らかに、これは群ですね。

関数 f(x、y) を、z軸に関して π/4 回転して得られる関数を g(x、y) とします。

これは、g(X)=f(R−1(π/4)X)と表せます。

ただし、X=(x、y)です。



ところで、可約表現と既約表現とは?


φ:G→GL(V)を表現とします。

線形代数でよく知られているように、φ(g)は正則行列と見なせます。

ここで、ある正則行列 P が存在して、次の形で表せるとします。



このとき、φ を 『 G の可約表現 』 と言います。

また、φ=φ(1)+・・・+φ(r) と書いて、φを 『 φ(1)、・・・、φ(r) の直和 』 と言います。

可約でない表現を 『 既約表現 』 と言います。



可約表現の定義は、線形代数の 『 対角化 』 と同じですね。



そうですね。

ところで、簡単に言うと、φ=φ(1)+・・・+φ(r) は、表現の分割です。

つまり、φ(1)、・・・、φ(r) は新しい独立した表現です。



どういうことでしょう?



v∈V とおく。

いま、g∈G に対し、φ(g)v∈V は V の1次結合で表せる。

つまり、V はφに関して閉じている。



一方、既に述べたように、φが可約であるとすると、



話を簡単にするため、P は単位行列であるとします。

すると、



φ(1)(g) は d×d 行列であるとします。

いま、(φ(g)v、・・・、φ(g)v)=(v、・・・、v)φ(g)です。

よって、(*)は、φ(g)v、・・・、φ(g)v が、v、・・・、v の1次結合で表されることを意味します。

つまり、{ v、・・・、v } は φ(1) に関して閉じています。

同様のことが、φ(2)、・・・、φ(r) についても言えます。

つまり、V は各 φ(2)、・・・、φ(r) に関して閉じています。



これが可約表現の意味です。


では、既約表現とは、それ以上は分割できない表現ということですね。



そうです。

可約表現を既約表現の直和として表したものを 『 簡約 』 と言います。



ところで、『 指標 』 とは?



指標とは、線形代数でよく知られている 『 行列のトレース 』 です。

行列のトレースは、行列の対角成分の総和を意味します。

行列 A のトレースを trA と表します。



具体的に、トレースはどのような役割をもつのでしょう?



これは線形変換において各変数が自身に変換される程度を表します。

例えば、次の線形変換を考えましょう。

(*1) x=(√3/2)x+(−1/2)y

(*2) y=(1/2)x+(√3/2)y

これを行列で表すと、係数行列のトレースは (√3/2)+(√3/2)=√3 です。

この指標は、2つの √3/2 に依存しています。



なるほど。

これを何につかうのでしょう?



φ=qφ(1)+・・・+qφ(s) を簡約とします。

このとき、各係数 q を記述できれば、φはよく調べられたことになります。

で、この係数 q を記述する公式(簡約の公式)があるのです。

この公式は指標によって記述されます。