対談形式(位相幾何)

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位相幾何とは?

微分幾何という分野もあるそうですが、これらは何がどのように違うのでしょう?


例えば、普通、立方体と球は区別されますよね。

これは、この2つの曲面の 『 曲がり具合 』 が異なるからです。

このように、曲面の曲がり具合に注目する分野を 『 微分幾何 』 と言います。

しかし、曲がり具合を気にしなければ、この2つは同一視できます。

実際、この2つの図形がゴムのようにグニャグニャ動く図形であれば、互いに変形できますよね。

このような状況で、何が本質的な性質になるでしょうか?

それは図形の 『 繋がり具合 』 です。

この視点に立てば、ドーナツとコーヒーカップは同一視できます。

実際、素材がゴムのように伸縮するものであれば、コーヒーカップをドーナツの形に変形できますよね。

このように、図形の繋がり具合に注目する分野を 『 位相幾何 』 と言います。



ということは、どの図形とどの図形が同相であるかを調べたりするわけですね。

具体的に、どのように調べるのでしょう?



同相な図形に対して不変な情報を 『 位相不変量 』 と言います。

有名な不変量として 『 オイラー数 』 があります。

これは 『 ホモロジ群 』 という概念を用いることで一般化されます。

むろん、位相不変量が異なると、その2つの図形は同相ではありません。

ただし、位相不変量が同じであっても、同相であるとは限りません。



ところで、オイラー数とは?



平面上に点を配置し、その点のいくつかを直線で結ぶ。

線によって分離された領域を 『 面 』 という。

このように、平面上に描かれた図形を 『 平面図形 』 という。



#V を、点の個数とする。

#E を、辺の個数とする。

χ=#V−#E とする。

このとき、χを 『 オイラー数 』 という。

とくに、平面図形が連結であれば、つねに χ=1 が成り立つ。

これを 『 オイラーの定理 』 という。



すごい定理ですね・・・。

どのように証明するのでしょう?



この証明は、普通に小学生でもできると思います。

まず、先の図に点を加えると、次の2通りが考えられます。



むろん、1本をつなげても、n本をつなげてもよいです。



いずれにしても、オイラー数は変化しません。

さらに、初期状態(つまり1点のみ)の場合、χ=1 です。

結局、連結な平面図形のオイラー数はつねに 1 です。



オイラー数は、立体図形に対しても適用できますか?



応用できます。

例えば、袋状の多面体のオイラー数は1です。

つまり、四面体、六面体、三角柱などです。



え・・・何でだろう?



これらは、面を1つ外せば、平面に埋め込めます。



よって、袋状の多面体のオイラー数は1です。



ところで、ホモロジ群とは?



定義通りに言えば、ホモロジ群とは 「 輪体の境界輪体による剰余群の次元 」 です。

これらは図形に対して番号を付ける役割をもちます。

を 0 次元ホモロジ群とする。

を 1 次元ホモロジ群とする。

を 2 次元ホモロジ群とする。

=dimH、b=dimH、b=dimH とおく。

このとき、b を 『 ベッチ数 』 という。

図形のベッチ数を並べて (b、b、b) と表す。

例えば、





図形って、こういう、点と直線をつないだものだけを考えるのですか?



はい。

点と直線(曲線)を合わせた図形を 『 グラフ 』 という。

ただし、位相幾何において議論の対象がグラフのみに留まるということではありません。

実際、グラフを曲面や閉曲面に対応させることができます。

そうすれば、間接的に、曲面や閉曲面について議論していることになります。



グラフと曲面を対応させる・・・?

具体的に、どうするのでしょう?



簡単なことです。

曲面や閉曲面の展開図を考えればよいのです。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

まず、曲面について考えます。

アニュラス(aba−1−1=1)は、



メビウスの帯(abac−1=1)は、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、閉曲面について考えます。

球面(abb−1−1=1)は、



トーラス(aba−1−1=1)は、



クラインの壺(abab−1=1)は、



射影平面(abab=1)は、



ただし、クラインの壺と射影平面は3次元空間では実現できません。

ここでは詳しいことは省略するので、気にしないでください。

クラインの壺は曲面を突き破っているように視えますが、これは4次元空間では破らずに実現できます。

射影平面では中心に関して対称な無限遠点を同一視しています。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

上図から分かるように、同じアルファベットが付いた辺を貼り合わせます。

また、貼り合わせるときには矢印の向きを同方向にします。



なるほど。

展開図はグラフと見なせますね。

たしかに、これで閉曲面のホモロジ群を議論できます。

ということは、曲面によって番号が異なるのですね。

それによって立体的な図形も分類するのですね。



そうです。

そして、位相幾何において最初の重要な結論は次です。

(*) χ=b−b ( ただし、b はベッチ数を意味する )



ホモロジ群からオイラー数を計算できるということですね。



具体的に、先ほどの例で確認してみましょう。



まず、1番目の図形について、χ=3−2=2−1=b−b です。

また、2番目の図形について、χ=4−5=0−1=b−b です。



すごいですね。

何となく、分子構造やネットワークの理論に応用できそうですね。



実際、応用されています。

ホモロジ群は、タンパク質の構造解析、コンピュータ科学に応用されています。

追加



ところで、よく 「 袋状の多面体は同相である 」 とか 「 多角形は同相である 」 と聞くのですが・・・。

いつも証明が省かれていて、具体的にどのように示すのか気になります。



では、三角形を四角形が位相同型であることを示しましょう。

一般に、三角形ABCの内部の点 p は、次のように表せます。

(*) p=λA+λB+λC ( λ+λ+λ=1、λ≧0 )

明らかに、点 p の凸結合による表示は一意である。

そこで、φ:△ABC→D を φ(p)=(λ、λ) で定義します。

ただし、D={(x、y)∈|x、y≧0、x+y≦1 } である。

明らかに、φは同相写像である。



んん・・・?

φ(p)=(λ、λ) ではなくて、φ(p)=(λ、λ、λ) とするべきでは?



いえ、λ+λ+λ=1 なので、(λ、λ) から λ は自動的に定まります。

よって、λ は不要です。



なるほど。



さて、上に書いたように、任意の三角形と D は同相です。

つまり、任意の三角形と任意の三角形は同相です。

そこで、三角形と四角形を下図のように 『 単体分割 』 します。



いずれも、2つの三角形が合わさったものです。

よって、三角形と四角形は同相です。

で、三角形と四角形が同相であるということは、他の多角形についても成り立ちます。

で、多角形が同相であることから、多面体が同相であることも言えます。

多面体の中心から各面に対して全単射を考えればよいだけです。



ところで、閉曲面の分類定理とは?



位相幾何学・射影幾何学の重要な結論の1つですね。

任意の閉曲面は、次のいずれかに同相です。

(1) S : 球面

(2) T(n) : トーラスを n 枚つなげた曲面

(3) P(n) : 射影平面を n 枚つなげた曲面

ただし、「 2つの閉曲面をつなげる 」 とは、下図のような操作を意味します。



つまり、閉曲面の表面に穴を開けて、これをつなげます。