対談形式(位相空間)

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位相空間論とは?



位相空間論は、本格的な解析学に入るための扉です。

位相空間論は、関数解析、複素解析、多様体、位相群で役立ちます。

とくに、関数解析は、線形代数と位相空間論の融合です。

また、位相群は、群論と位相空間論の融合です。



具体的には何を議論するのでしょう?


『 開集合の公理 』 を基に議論します。



開集合の公理とは?



簡単に言えば、これは集合に課せられた 『 ルール 』 です。

位相空間論では、開集合の公理に基づいて、いくつかの部分集合を集めます。

これを 『 開集合系 』 または 『 開集合族 』 と呼びます。

開集合系に属している集合を 『 開集合 』 と言います。



つまり、開集合系は、集合の集合ですね。

あれ?

そういえば、微分積分学でも 『 開集合 』 という言葉が登場しましたね?

これと関係がありますか?



はい。関係していますよ。

というより、位相空間は、ユークリッド空間の一般化です。

なので、本質的に同じものです。



距離空間論という言葉を聞いたことがあるのですが、これは位相空間論と関係がありますか?



距離空間は、ユークリッド空間の一般化です。

位相空間は、距離空間の一般化です。

つまり、ユークリッド空間⇒距離空間⇒位相空間の順番で一般化されます。

距離空間論の一部は、微分積分学、複素解析学の教科書にも登場します。



なぜ、微分積分学の教科書に距離空間論の内容が・・・?



ユークリッド空間で考えるよりも、距離空間で考えた方が自由度が大きいです。

だから、距離空間の方が分かりやすくなることがあります。



位相空間論の教科書を少し読んでみたのですけれど、色々なテーマがありますよね。

まず、基底とは?

これは 『 開基 』 とも呼ばれるようですが・・・?



基底(開基)は、開集合系の一部です。

ただし、任意の開集合は、基底の和集合によって表されます。



ええと、基底も、集合の集合ということですよね。

で、開集合を、基底に属する集合で復元できる。



そうです。

基底は開集合系の一部なのですが、実質的には開集合系の情報をすべてもっているのです。

基底の方が、含んでいる集合の数が少ないので扱いやすい。



ふむふむ。

・・・ん?

そういえば、同様の話が、線形代数にもあったような気がします。

線形代数にも基底と呼ばれる概念が登場しますよね?



そうですね。

それと区別するために、位相空間論の基底を 『 開基 』 と呼んだりします。

ベクトル空間の任意の元は、基底の1次結合で表せます。

任意の開集合は、開基の和集合で表せます。

発想は同じですね。



ところで、近傍系とは?



名前の通りです。

ある点の近くを含む集合を 『 近傍 』 と言います。

このような近傍全体を 『 近傍系 』 と言います。

例えば、x+y<1 を満たす点(x、y)全体は、原点の近傍です。

それだけでなくて、x+y<2 を満たす点(x、y)全体も原点の近傍です。

ここで紹介したものは円板型ですが、もっとグニャグニャした形でもよい。

で、原点の近傍全体(つまり原点の近傍をすべて集めたもの)を 『 原点の近傍系 』 と言います。

つまり、近傍系は、集合の集合ですね。

むろん、原点以外の点で近傍系を考えてもよい。



ところで、写像の連続性とは?

関数の連続性と同じですか?



そうですね。

関数の連続性の一般化です。



ずいぶんと多くの同値条件がありますね。

位相空間論における写像の連続性の同値条件として次のようなものがあるようです。



これ・・・すべて覚えるのですか?

すごく難しそうです。



いえ、全部を覚える必要はありませんよ。

というより、意味を理解すれば、自然と頭に入ります。

この辺りは本当に慣れなので、難しいわけではありません。

簡単に言うと、連続写像とは、位相構造を逆像で保存する写像です。

この視点に立つと、(2)と(3)は分かりやすい。



なぜ逆像が開集合を保存することが、連続性を意味することになるのでしょう?



例えば、下図の状況を考えます。



f が不連続である場合、開集合の逆像が開集合にならないことが分かります。



なるほど。

もう少し具体的に1次関数で考えてみるとどうなるのでしょう?



例えば、不連続な関数として次を考えます。



ここで、(2−ε、2+ε)⊂Y の逆像は f−1(2−ε、2+ε)=(2−ε、2] です。

つまり、開区間の逆像は半開区間であって、開区間ではない。

つまり、f が不連続である場合、開集合の逆像が開集合にならない。



なるほど!

ところで、像で開集合を保存する場合は連続ではないのですか?



残念ながら、連続ではないです。

ただし、惜しい感じですね。

例えば、f(x)=−x を考えます。

明らかに、この f(x) は連続ですよね。

いま、f(x) は x=0 で極大値(というより最大値)をとります。

ここで、x を 0 の近くで微小に変化させます。

すると、f は 0 以下の範囲で微小に変化します。

つまり、(−δ、δ) の f による像は (−ε、0] の形をしています。

つまり、開集合が保存されます。



うーむ。

逆像で保存するのかぁ・・・。

どうせなら、像で保存してくれればいいのに。



そういう写像、ありますよ。

それは 『 開写像 』 です。

開写像というのは、開集合を保存する写像のことです。

つまり、O が開集合ならば、f(O)も開集合です。

同様に、閉写像というものもあります。



像と逆像で保存する写像もあったりします?



ありますよ。

それは 『 同相写像 』 です。

同相写像とは、全単射な連続写像で、その逆写像も連続写像です。

f:X→Y を同相写像とすると、X と Y は同じ位相構造をもっていると言えます。



なるほど・・・。

・・・あれ?

そういえば、同様の話が線形代数にもあったような・・・?

たしか、ベクトル空間の同型写像は、線形構造を保存しますよね?



そうですね。



位相空間論の基底(開基)は、線形代数の基底と発想が同じだし・・・。

位相空間論の同相写像は、線形代数の同型写像と発想が同じだし・・・。

なぜ、こんなに似ているのだろう・・・?



線形代数の内積から、距離を構成できるからです。

詳しいことは、関数解析などで扱うことにして、いまは保留にしておきましょう。



ところで、分離公理とは?



位相空間論の役割は 「 どのルールが、どれだけ点と点を分離するか 」 を調べることです。

まず、位相空間論というのは、開集合の公理を満たす部分集合を考えているわけですね。

しかし、この開集合の公理は、条件として弱い。

例えば、{φ、X}は開集合の公理を満たすし、巾集合も開集合の公理を満たす。

前者は 『 密着位相 』 と呼ばれ、後者は 『 離散位相 』 と呼ばれます。

あまりにも両極端な位相を認めてしまうわけです。

だから、もう少し条件を強くしないといけない。

そういうわけで、T空間、ハウスドルフ空間、正規空間、正則空間などを考えるのです。

これらは 『 分離公理 』 と呼ばれています。

つまり、空間の点を、どれだけ開集合で分離できるかということです。

このようにして、目的の研究対象に合った性質を選ぶのです。



うーん・・・画像の解像度のようなものでしょうか?

開集合系を細かくとれば、解像度が上がる。

けれど、解像度を上げ過ぎると、データが重くなって扱いづらい。

だから、適切な画像処理の方法を選ぶ。



そういう考え方もできるかもしれません。

あるいは、開集合は X を分割する仕切りのようなものですね。

密着位相の場合は空間がベタベタにくっついている。

離散位相の場合は空間がサラサラしている。



ところで、連結性とは?



連結性とは 「 1つにつながっている 」 という意味です。

例えば、連結な開集合とは、1つに連結した開集合を意味します。



1つに連結した開集合?



2次元ユークリッド空間 での開集合の意味を復習しましょうか。

例えば、x+y<1を満たす点(x、y)全体を図示すると、



このような集合を 『 の開集合 』 と言います。

ただし、開集合の形は任意です。

例えば、次のような形を考えてもよい。



あるいは、次のように、2つに分離したものを 『 1つの開集合 』 と考えてもよい。





あ、最後の開集合は、連結ではないですね。



そうです。



ところで、コンパクト性とは?



A を集合とします。

(Oλλ∈J を A の 『 任意 』 の開被覆とします。

(Oλλ∈J から有限個の開集合を選んで A を被覆できるとします。

このとき、「 A はコンパクトである 」 と言います。

A をどのように開集合で被覆しても、必ず有限個の開集合を選んで被覆できるということですね。



有限個で被覆できるからコンパクトということですね。

これが有用なのですか?



非常に有用ですね。

解析学、幾何学、代数学、すべてに関連してきます。



この定理は何だろう?

次が成り立つ。

(1) ハウスドルフ空間において、点とコンパクト集合は開集合で分離できる。

(2) ハウスドルフ空間において、コンパクト集合は閉集合である。



ハウスドルフ空間は分離公理の中でもとくに有用です。

(1)と(2)を要約すると、

「 ハウスドルフ空間は、限定的に T 空間を演じる 」

・・・ということです。

空間とは、点と閉集合を開集合で分離できる空間です。

一方、ハウスドルフ空間は、点と点を開集合で分離できる空間です。

つまり、ハウスドルフ空間は、点と閉集合を、開集合で分離できるとは限りません。

しかし、(1)より、点とコンパクト集合ならば分離できるのです。

しかも、(2)より、コンパクト集合は閉集合です。



なるほど。

ハウスドルフ空間は T 空間に近い?



そうですね。

ハウスドルフ空間は T 空間と呼ばれることもあります。

ハウスドルフ空間は、コンパクト性に対して限定的に T 空間を演じます。



・・・で。

ここまでの話って、位相空間論ですよね。

さらに、距離空間論もある。



そうですね。

距離空間論については次の2つを理解することが重要です。

(*1) 最大値・最小値の定理

(*2) 完備性



最大値・最小値の定理は、微分積分学にも登場しましたよね?



そうですね。

距離空間論では、さらに一般化された形で最大値・最小値の定理を学ぶというわけです。

ただし、同様の証明は、本格的な微分積分学の書物にも書かれています。



ところで、完備性とは?



完備空間とは、任意のコーシー列が収束する空間のことです。

例えば、 は完備です。



そういえば、 において、次の2つが同値ですよね。

(1) (xn∈ は収束列である。

(2) (xn∈ はコーシー列である。



そうですね。

(1)⇒(2)は当然なのですが、(2)⇒(1)も成り立つということが重要ですね。

(2)⇒(1)は、 が完備であることを意味します。



なるほど。

つまり、距離空間論を学ぶと、微分積分学をさらに深く理解できるという利点があるのですね。



そうですね。

ただし、それだけではなくて、距離空間論は関数解析において有用です。

関数解析の世界において、完備性は基本的です。

関数解析の舞台は 『 バナッハ空間 』 と 『 ヒルベルト空間 』 です。

バナッハ空間は完備なノルム空間であり、ヒルベルト空間は完備な内積空間です。

完備性の議論に慣れていれば、関数解析をスムーズに理解できます。

その他



ところで、完備化とは?

完備距離空間が重要なので、完備化もしっかりと学んでおいた方がよいですよね?



いや、完備化は完備距離空間よりも難しいので、後回しでよいですよ。

例えば、定理の内容を読むだけで十分です。

むろん、何をどう学ぶかは個人の自由ですが、

「 完備距離空間が重要らしいから完備化も詳しく学びたい 」

・・・というモチベーションだとあまり適切ではないように思えますね。

例えば、関数解析の基礎で完備化が必要になる機会はないと思います。



そうなんだ・・・。

なんか、名前が似ているので、内容も同じようなものだと思っていました・・・。

ちなみに、その完備化とはどのような内容でしょう?



簡単に言うと、

「 任意の距離空間に対し、その空間を埋め込める最小の完備距離空間が一意に存在する 」

・・・という定理です。

例えば、 の完備化は です。

よく知られているように、 においてコーシー列は収束します。

一方、 においてコーシー列が収束するとは限りません。

その理由は、 に極限点が属するとは限らないからです。

例えば、√2=1.414・・・について考えましょう。

ここで、この小数点第1位、第2位、第3位で切り捨てて、数列を構成します。

つまり、q=1.4、q=1.41、q=1.414、・・・を考えます。

むろん、任意の q に属します。

また、これはコーシー列です。

しかし、その極限点 √2 は に属さない。

つまり、 の世界ではコーシー列が収束しない場合がある。

つまり、 は完備ではない。

そこで、 の世界に本来は存在しない極限点を追加します。

すると、これは完備距離空間 となります。

つまり、完備化は 「 距離空間の隙間を埋めること 」 を意味します。



おお・・・。

聞けば聞くほど重要そうなのですが・・・。

本当に完備化は学ばなくても大丈夫?



繰り返しますが、学ぶか否かは個人の自由です。

ただ、とくに 『 存在性と一意性 』 の議論については次の特徴が見られることが多い。

(1) 定理の内容がシンプルである。

(2) 証明が面倒である。

つまり、定理の内容だけ把握すれば、とりあえず問題が生じないことが多い。

例えば、微分方程式の解の存在と一意性を知らずに微分方程式を解いている人は多いでしょう。

その他には 『 ルベーグ測度の存在と一意性 』 があります。

こちらも、証明はなかなか難しい。

しかし、その証明を読まなくても、ルベーグ測度の存在を認めてルベーグ積分を実行できます。



ところで、アスコリ・アルツェラの定理とは?



アスコリ・アルツェラの定理は、関数族の同程度連続に対する同値条件を示したものですね。

『 ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理 』 や 『 ハイネ・ボレルの被覆定理 』 の仲間です。

同程度連続性と各点収束を仮定すると、一様収束が示されます。

これを 『 ディニの定理 』 と言います。

さらに、ディニの定理から 『 ストーン・ワイエルシュトラスの定理 』 が示されます。

これは 『 ワイエルシュトラスの多項式近似 』 の一般化です。

ワイエルシュトラスの多項式近似とは、任意の連続関数を多項式で近似できるという主張です。

これはフーリエ解析において基本的で重要です。

フーリエ解析では 「 任意の周期関数は3角関数によって近似できる 」 を示します。

この定理を示すときにワイエルシュトラスの多項式近似が応用されることは道理ですね。



ところで、不動点定理とは?



不動点定理は 『 非線形解析 』 の入口です。

ただし、非線形解析をやりたいのであれば、関数解析の知識も必要ですけれどね。

名前の通り、写像の作用に対して移動しない点を不動点と言います。

写像の不動点を求める問題を 『 不動点問題 』 と言います。

不動点の存在を保障する定理を 『 不動点定理 』 と言います。

とくに 『 縮小写像の原理 』 は基本的で重要です。



ところで、分離公理は色々とありますね。

これらは具体的にどのように応用されるのでしょう?



例えば、多様体論ではハウスドルフ空間が重要です。

ハウスドルフ性は、分離公理の1つです。

多様体はハウスドルフ空間に基づいて定義されます。

パラコンパクトな n 次元多様体は、局所的に のリーマン計量を定めることができます。

これを 『 1の分割 』 と呼ばれる実数値連続関数族でつなぎ合せることができます。

つまり、パラコンパクトな n 次元多様体にはリーマン計量が入る。

ちなみに、パラコンパクトハウスドルフ空間は正規空間です。



ところで、リーマン計量とは?



リーマン計量とは、長さの単位を与える量のことです。

微分幾何学の世界の言葉です。

日常的な距離は三平方の定理で計算できますよね?

しかし、数学や物理学の世界ではユークリッド幾何が成り立たない空間も登場します。

アインシュタインの一般相対性理論によれば、重い物体のまわりでは空間が歪んでいます。

このような空間ではユークリッド幾何が成り立ちません。

そこで、このような歪んだ空間を記述するためにリーマン計量が用いられます。

微分幾何学が相対性理論に応用されたことは有名ですね。

ただし、アインシュタインが用いたものは、リーマン幾何よりも一般化された理論であるようです。



そういえば、物理学で位相という言葉を聞いたことがあるような・・・。



あ、それは違う意味の位相かもしれませんね。

物理の位相は 「 phase 」 です。

例えば、波の位相などですね。

位相と区別するために、単に 『 相 』 と呼ぶこともあります。

また、解析力学では 『 相空間(phase space)』 というものを考えます。

これは 『 位相空間(topological space)』 とは別です。

ちなみに、位相幾何学を 『 トポロジー 』 と呼ぶこともあります。

位相幾何学は、位相空間を用いてホモロジ群やホモトピ群を研究する分野です。

で、これまたややこしいので、位相空間論を general topology と呼んで、topology と区別します。

まとめると、

(*1) 位相空間論 : general topology

(*2) 位相幾何学 : topology

(*3) 物理の位相 : phase

ただし、位相空間論と物理学が無関係ということではありません。

むしろ、位相空間論と位相幾何学は物理学に欠かせない理論です。



ところで、位相群とは?



群に位相を入れて 『 位相群 』 を考えることができます。

位相群に 『 T性 』 を仮定すると、自動的に 『 正則性 』 が満たされます。

『 T性 』 や 『 正則性 』 は、分離公理の1つです。

実は、それだけではなくて、位相群は 『 完全正則性 』 を満たします。

完全正則性は、正則性よりも強い条件です。

詳しく書くと、

(*) 正規空間 ⇒ 完全正則空間 ⇒ 正則空間

このように、空間の性質を分析できます。

また、局所コンパクトな位相群では、位相群の準同型定理が成り立ちます。

なので、位相群では T空間や局所コンパクト性が重要です。



位相群というのは、何に応用されるのですか?



色々な分野と直接に関わります。

位相群 G が集合 X に推移的に作用しているとき、X を 『 等質空間 』 と言います。

等質空間の議論を進めると 『 ファイバ束 』 という概念に到達します。

で、ファイバ束は物理学などに応用されます。

また、位相群は表現論と関連が深い。

群上の調和解析は、フーリエ解析の一般化です。

ただし、ここまで来ると、かなり高度な話も出てきます。