対談形式(関数解析)

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関数解析とは?


関数解析は、線形代数と距離空間の融合です。

無限次元のベクトル空間に関する理論です。

主なテーマは次のようになっています。

(*) 自己共役作用素のスペクトル分解

(*) ベールの定理、一様有界性定理、開写像定理、閉グラフ定理

(*) ハーン・バナッハの定理

(*) 半群理論、発展方程式

(*) 非線形解析



ふむ・・・。

けれど、つまり、関数解析とは何なのでしょう?


色々な見方があると思います。

線形代数では、ベクトルを基底で表します。

つまり、ベクトルを分解していた。

同様に、関数解析では、関数を要素とする内積空間を考え、これを正規直交基底で表します。

つまり、関数を分解する。


そういえば、フーリエ解析でも同じような議論がありましたよね。

フーリエ解析では、関数を3角関数によって分解していました。


そうですね。

というより、本質的にやっていることは同じです。

正規直交基底として3角関数を採用しているのです。

実際、高校レベルの計算で、L−1[−L、L]cosnωxsinmωx=0 が分かります。

これは、cos と sin が直交しているということです。



すごいことになってきましたね。

線形代数、関数解析、フーリエ解析は1つにつながっていた。


そうですね。

というより、線形代数が本当に何にでも関連する。

とくに、これらの分野は 『 固有値問題 』 で関連しています。



固有値問題とは?


簡単に言うと、固有値問題とは、固有値を分類することを意味します。

例えば、線形変換φをφ=λ+・・・+λ で表すことができます。

( λ、・・・、λ はφの固有値であり、p は射影である )

これを 『 スペクトル分解 』 と言います。

つまり、「 固有値問題が解ける 」=「 スペクトル分解できる 」 と考えてよいです。

例えば、次のようなテーマがあります。

(*1) 行列のスペクトル分解(正則行列による行列の対角化)

(*2) 線形変換のスペクトル分解(射影による線形変換の分解)

(*3) 線形作用素のスペクトル分解(スペクトル測度による自己共役作用素の分解)

とくに、(*1)→(*2)→(*3)の順番で一般化されています。



行列の対角化は、スペクトル分解なのですか?


そうです。

行列を対角化することで、対角線上に固有値が並ぶようにできますよね。

その固有値を λ、・・・、λ とします。

また、その固有値が対角線上に並んだ行列を D とします。

いま、y=Dx=(λ、・・・、λ)です。

ここで、p(x)=(x、0、0、・・・、0)、p(x)=(0、x、0、・・・、0)、・・・と定義します。

このような写像 p を 『 射影 』 と言います。

いま、Dx=λ(x)+・・・+λ(x)です。

D: と見なせば、D(x)=λ(x)+・・・+λ(x)です。

つまり、D=λ+・・・+λです。

これがスペクトル分解です。

ちなみに、スペクトル分解の 『 スペクトル 』 とは、固有値全体という意味です。

名前の通り、固有値を分解しているわけですね。

これは 「 固有値問題が解ける 」 ということです。


それにしても、対称変換とか、エルミート変換とか、自己共役作用素とか、色々とあって大変そうですね。


いや、本質的にどれも同じですよ。

エルミート変換は、対称変換の複素化です。

自己共役作用素は、エルミート変換の一般化です。

結局、対称変換が基になっているのです。

で、いずれの場合にも、固有値が実数となります。

これによって、いずれについてもスペクトル分解が成り立ちます。


関数解析の本を読んでいると 『 ○○空間 』 という概念が色々登場しますね。

ヒルベルト空間とか、バナッハ空間とか、L空間とか、ソボレフ空間とか。



空間は、リーマン積分またはルベーグ積分に基づいて構成されます。

ソボレフ空間は、偏微分方程式と関連が深い。


空間は、リーマン積分とルベーグ積分で何が異なるのですか?


まず、L ノルムというのは、|| f ||=(∫[a、b]|f|dx)1/p です。

リーマン積分でも、ルベーグ積分でも、L ノルムを考えることはできる。

ただ、可積分関数全体が異なる。

ここで、{ x∈I:f(x)≠0 } の閉包を suppf と表す。

区間(a、b)上で無限回連続微分可能な関数全体を C(a、b) と表す。

区間[a、b]上で無限回連続微分可能な関数全体を C[a、b] と表す。

区間(a、b)上で連続な関数全体を C(a、b) と表す。

区間[a、b]上で連続な関数全体を C[a、b] と表す。

supp[a、b]={ f∈C[a、b]:suppf⊂(a、b) } と定義する。

(a、b)=C(a、b)∩Csupp[a、b] とおく。

1≦p<∞ に対し、C(a、b) の || ・ || に関する閉包を L(a、b)と表す。

とくに、ルベーグ積分で考えた場合、L(a、b) は 『 p 乗可積分な可測関数全体 』 と一致します。

p 乗可積分な可測関数全体とは、ルベーグ積分で ∫|f|μ<∞ を満たす関数です。

この辺りが、リーマン積分の場合と異なります。


関数解析は何だか難しそうに視えます。


むろん、関数解析の世界は奥が深い。

ただ、基本的には、線形代数、解析学、距離空間論を組み合わせるだけです。

線形代数の定理 「 Kerf={0}⇔f は単射 」 とか、

微分積分学でお馴染みの 『 上限・下限 』 とか、

そういうものを駆使して理論を組み上げていく。

やや大胆に言えば、新しい概念は登場しないのです。

例えば、関数解析で重要な概念として 『 閉部分空間 』 があります。

これは線形代数の 『 部分空間 』 と、距離空間の 『 閉集合 』 を合わせただけです。


ところで、完全性とは?


完全性というのは、ベクトル v を v=(v、e)e+・・・+(v、e)e の形で表せるということです。

これは新しい概念ではなくて、高校数学で既知です。

これを確認するために、位置ベクトル v=(2、3) を e=(1、0) と e=(0、1)を考えてみましょう。

いま、v=(v、e)e+(v、e)e と表せます。

実際、内積を計算すると、(v、e)=2・1+3・0=2、(v、e)=2・0+3・1=3 です。

たしかに、v=2e+3e ですよね。


なるほど。

しかし、わざわざ内積を計算する必要はあるのでしょうか?

そんな計算をしなくても、v=2e+3e と表せることは分かりますよね?


そうですね。

ただし、それは 『 ユークリッド空間の座標 』 を基に考えていますよね。

これは直観的には分かりやすいのですが、論理的には狭い。

そこで、内積の本質的な性質だけを取り出して議論する必要が出てきます。

内積の本質的な性質だけを取り出した空間を 『 内積空間 』 と言います。

内積空間には座標がありません。

だから、ユークリッド空間のように、直観だけでベクトルを展開することはできません。

n 次元内積空間で考えることができるのは、正規直交基底 e、・・・、e の存在だけです。

これは 『 シュミットの正規直交化 』 と呼ばれる定理に基づいています。

で、この正規直交基底で v を展開すると、 v=(v、e)e+・・・+(v、e)e となることが導かれます。

これを 『 完全性 』 と呼ぶのです。

このようにして、ユークリッド空間の世界では視えなかった数学的構造が視えてきます。


ところで、バナッハ空間とは?


完備なノルム空間のことです。



完備とは?



コーシー列が収束する空間のことです。



コーシー列とは?


簡単に言うと、各項の距離が 0 に近づく点列です。



各項の距離が 0 に近づく点列・・・。

それって、収束列と何か違うのでしょう?

違いが分からないのですが・・・。



その直観は合っていますよ。

実際、ユークリッド空間 ではコーシー列と収束列は同値です。

むろん、これは が完備であることも意味します。



ところで、ヒルベルト空間とは?


ヒルベルト空間とは、完備な内積空間のことです。


あれ・・・?

完備性はノルム空間や距離空間に関する概念ですよね?

それなのに・・・内積空間?



内積からノルムを構成できます。

ノルムから距離を構成できます。

つまり、内積空間は、自然に距離空間と見なせます。


ああ、内積空間を距離空間と見たとき、それが完備になるということですね。


そうです。

そもそも、 はヒルベルト空間です。

は複素数全体を意味する )


え?

そうなのですか?


u、v∈ に対して (u、v)=1≦k≦n と定義します。

いま、ノルムは || u ||=(1≦k≦n|u1/2 です。

複素解析でよく知られているように、 は完備です。

つまり、 はヒルベルト空間です。



え、 は完備なのですか?

実は、複素解析はあまり知らないです・・・。



あ、複素解析の知識は不要ですよ。

これは微分積分学の知識さえあれば理解できます。

微分積分学の実数の連続性で 『 コーシーの収束条件 』 を学んだと思います。

コーシーの収束条件とは 「 実数のコーシー列が収束する 」 です。

つまり、 が完備であるということですね。

これを多変数化すれば、 が完備であることが分かります。

n=2 として考えれば、 は完備です。


ところで、線形作用素とは?


線形作用素とは、線形写像のことです。

ヒルベルト空間やバナッハ空間について議論しているときに呼び分けているだけです。

つまり、何も新しい概念ではありません。


なんだ、そうだったのか・・・。



T: を線形作用素とします。

よく知られているように、線形作用素に対応する複素行列があります。(※線形代数)

そして 『 行列の対角化 』 と 『 線形変換のスペクトル分解 』 は対応しています。

つまり、行列に関する議論に並行して、線形変換についても議論できます。

これをさらに広げて、関数解析では一般の線形作用素について議論します。


ところで、ピタゴラスの定理とは?

というか、ピタゴラスの定理って、中学・高校でも登場しますよね。

これが関数解析の教科書にも書かれている。


そうですね。

ユークリッド空間においてピタゴラスの定理が成り立つことは有名です。

関数解析では、内積空間に対してピタゴラスの定理を示します。

まぁ、証明は簡単で、数行で終わりますけどね。

まず、V を内積空間として、v、w∈V が直交であるとします。

いま、|| v+w ||=(v+w、v+w)=(v、v)+(v、w)+(w、v)+(w、w)です。

また、(v、w)=0、(w、v)=0 です。

よって、|| v+w ||=(v、v)+(w、w)=|| v ||+|| w || です。


ところで、関数解析の教科書を読んでいると、色々な不等式が登場しますね。

シュワルツの不等式、ヘルダーの不等式、ミンコフスキの不等式、ベッセルの不等式・・・。


解析学において値を評価することは重要です。

「 値を評価する 」 とは、値がどの範囲にあるか調べるということです。

で、値を評価するためには不等式が必要です。

なので、解析学では不等式が重要です。

他にも、様々な不等式が存在します。

実は、不等式の理論は非常に奥が深い。



これらの不等式をすべて覚えるのですか?


覚えるというより、理解することが重要です。

実際、内積に関するシュワルツの不等式だけ把握すれば、瞬時に示せます。

シュワルツの不等式とは、次の関係式です。

(*1) |(v、w)|≦|| v ||・|| w || です。

a、b∈ に対して自然な内積を定義すると、(*1)より、次が成り立ちます。

(*2) 1≦i≦n|a||b|≦(1≦i≦n|a|)1/21≦i≦n|b|)1/2

こちらも 『 シュワルツの不等式 』 と呼ばれます。

あるいは、『 コーシー・シュワルツの不等式 』 と呼ばれます。

これは不等式をそのまま適用しているだけなので、証明などは不要です。

さらに、次がなりたちます。

(*3) 1≦i≦n|a||b|≦(1≦i≦n|a|)1/p1≦i≦n|b|)1/q ( 1/p+1/q=1 )

これは 『 ヘルダーの不等式 』 と呼ばれます。

とくに、(*3)において p=q=2 とすれば、これは(*1)に一致しますね。

結局、ヘルダーの不等式も、シュワルツの不等式の仲間というわけです。

議論は省略しますが、ここからミンコフスキの不等式も導かれます。


なるほど。

結局、シュワルツの不等式、ヘルダーの不等式、ミンコフスキの不等式は仲間なのですね。

さらに、いずれも同じような形をしている。

ところで、ベッセルの不等式は?


ベッセルの不等式は、ピタゴラスの定理から簡単に導かれます。

これは 「 ベクトルの長さは、その正射影以上である 」 という主張で、直観的にも分かり易い。

とくに、無限次元のベッセルの不等式は、フーリエ級数展開を議論するときに有用です。


ところで、関数解析の世界でのフーリエ級数展開とは?

私は初歩的なフーリエ級数展開は学んだつもりなのですが・・・。

関数解析の教科書に書かれているフーリエ級数展開は分かりません・・・。


難しい話ではありませんよ。

{φn∈ をヒルベルト空間 H の正規直交系とします。

f∈H とおきます。

1≦i≦∞(f、φ)φ とおきます。

このとき、f を 『 f のフーリエ級数 』 と言います。

また、(f、φ)を 『 f のフーリエ係数 』 と言います。


!!!

の式は、完全性の式と同じですね。

係数が内積の形で書かれています。


そうですね。

ただし、f と f を混同しないように注意してください。

とくに、f=f が成り立つのであれば、{φn∈ は完全であると言えるでしょう。

f=f を 『 f のフーリエ級数展開 』 と言います。



あれ?

フーリエ級数展開は、つねに可能というわけではないのですね?


そうです。

その辺りを誤解している人は割と多いかもしれません。

初等的な書物の場合、フーリエ級数展開可能性をあまり真面目に議論しないからですね。


すると、どのような条件下でフーリエ級数展開可能となるのか気になりますね。


そうですね。

実は、ヒルベルト空間 H において次は同値です。

(*1) f はフーリエ級数展開可能である。

(*2) ベッセルの不等式について等号が成り立つ。

(*3) 正規直交系から生成される部分空間が H において稠密である。

とくに、ベッセルの不等式の等号を 『 パーセヴァルの等式 』 と言います。


鮮烈な結果ですね。


そうですね。

というより、これはベッセルの不等式の意味を考えれば当然です。

既に述べましたが、ベッセルの不等式は、

「 ベクトルの大きさは、その正射影以上の大きさである 」

・・・と主張します。

つまり、パーセヴァルの等式は、

「 ベクトルの大きさは、その正射影の大きさと同じである 」

・・・という意味です。

は f の正射影ですから、これがフーリエ級数展開と同値になることは当然です。

ただ、ヒルベルト空間は無限次元なので、その辺りを少し議論する必要があります。


ところで、関数解析の教科書を読むと、閉部分空間という概念がよく登場するように思えます。

これは重要な概念なのですか?


線形代数でよく知られているように、有限次元内積空間は自然に直交分解できます。

つまり、V をベクトル空間として、W を V の部分空間とすると、V=W□W と表せます。

これは 『 直交分解定理 』 と呼ばれます。

では、無限次元内積空間の場合はどうでしょうか?

実は、ヒルベルト空間において閉部分空間を考えると同様の定理が成り立つ。

つまり、H をヒルベルト空間として、M を H の閉部分空間とすると、H=M□M と表せます。

で、線形代数でもそうなのですが、直交分解は 『 固有値問題(スペクトル分解)』 への踏み台です。

なので、関数解析では閉部分空間は基本的です。