対談形式(「近似できる」の基準とは?)

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高校数学で有名な近似式として (1+x)1/2≒(1+(1/2)x) がありますよね。

他には、近似式 sinθ≒θ も有名ですよね。

たしかに、両辺の値が近いことは分かります。

しかし、なぜこれらは近似してよいのでしょう?

参考書を読んでいると、唐突に 「 近似できる 」 とか書いてあって・・・。

その理由が書かれていないように思えます。

「 近似できる 」 という基準はどこにあるのでしょうか?

それに、近似するということは、誤差を無視するということですよね。

つまり、誤差の分だけ本来の値とズレてしまいます。

それで問題が生じることはないのでしょうか?

高校の先生に質問をしたことがあるのですが、そのときは明確な答えが返ってきませんでした。

この辺りのことは高校のときから、ずっっっと気になっているので、知りたいです。



「 近似できる 」 という基準はハッキリとあります。

また、近似しても問題が出ないことはハッキリと説明できます。

この辺りは微分をしっかりと理解すると解決しますよ。



え、微分で・・・?

もしかして、微分に対して何か高度な議論をするということですか・・・?



いや、高校数学の範囲で理解できますよ。



それは安心。

しかし、微分と近似が関連しているなんて・・・どういうことなのでしょう?



f(x)を関数とします。

このとき、次は同値です。

(*1) f は点 x=a において微分可能である。

(*2) f(a+h)−f(a)=f’(a)h+o(h)

ただし、o(h)は limh→0o(h)/h=0 を満たす関数を意味します。

証明は超簡単です。

実際、微分の定義に注目すると、



明らかに、これは(*2)と同じ意味です。



たしかに・・・。

しかし、その o(h) は、具体的にどのような関数ですか?



普通に、o(h)=f(a+h)−f(a)−f’(a)h ですよ。

つまり、o(h) は f(x) と接線の誤差を意味します。

図示すると、





つまり・・・微分の定義を書き換えただけですよね。



そうですね。

ただし、この視点の切り替えは非常に有用です。

まず、limh→0o(h)=0 であることが図から分かりますね。

しかし、ここで重要なことは、limh→0o(h)/h=0 が成り立つことです。

つまり、o(h) は h→0 よりも速く 0 に収束する。



たしかに、そうですね。

うーん・・・けど、何だろう?

なぜ、limh→0o(h)/h=0 が成り立つのか・・・。

式変形は理解できるし、式で limh→0o(h)/h=0 が成り立っていることも分かるのですが・・・。

いつの間にか結論が出ていて、全体が視えないような・・・?

すいません、言っていることおかしいでしょうか?



おかしくはありませんよ。

その 『 モヤモヤした感じ 』 は、正解の道だけしか視えていないから生まれます。

そういう場合は、あえて道を外れてみましょう。

例えば、試しに、接線以外の直線を考え、f(x)と直線の誤差を θ(h) と表します。

ここでは、分かりやすく、傾き 0 の直線を考えてみます。

つまり、θ(h)=f(a+h)−f(a) ですね。

図示すると、





この場合、limh→0θ(h)=0 は成り立ちますね。

一方、 limh→0o(h)/h=0 は・・・。

ああ、成り立つ保障がありませんね・・・。



そうですね。

そもそも、limh→0o(h)/h=0 を満たす誤差関数は o(h) 以外にありません。

このことは、o(h)=f(a+h)−f(a)−f’(a)h に注目して、h→0 とすれば分かります。

つまり、接線とは、limh→0o(h)/h=0 を満たす唯1つの直線です。



なるほど。

しかし、これが近似の話とどのようにつながるのですか?



もはや、答えは出ていますよ。

いま、f が微分可能であるとします。

既に述べたように、f(a+h)−f(a)=f’(a)h+o(h) です。

よって、o(h)を切り捨てると、f(a+h)−f(a)〜f’(a)h です。( 〜と≒は同じ意味 )

とくに、f(x)=√x の場合、



変形すると、



( ただし、上式の波線は ≒ と同じ意味です )

これで、目的の近似式 (1+x)1/2〜(1+(1/2)x) を得ました。



つまり、o(h)を切り捨てて近似したのですね?

しかし、なぜ o(h) を切り捨ててよいのでしょう?



逆です。

o(h)を切り捨てて近似しているのではありません。

o(h)を切り捨てることを 『 近似 』 と呼ぶのです。

また、これは意味もなく決まっているわけではありません。

既に述べたように、limh→0o(h)/h=0 です。

これは h→0 よりも速く o(h) が 0 に近づくことを意味します。

つまり、h を小さくすれば、o(h)の効果をいくらでも小さくできる。

参考書ではこのことを 「 o(h)を無視してよい 」 とか 「 近似できる 」 と表現しています。



あ〜〜・・・。

『 有効数字 』 とか 『 四捨五入 』 とは別物なのですね・・・。



そうです。

ちなみに、limh→0o(h)=0 ではなくて、limh→0o(h)/h=0 であることが重要です。

最初の質問で、

「 近似したら、誤差の分は本来の値と異なるから問題が出るのでは? 」

・・・という質問がありましたね。

今回の結論により、これが解決します。

つまり、h を十分小とすれば、「 h に対する o(h) の効果 」 がいくらでも小さくなるようにできる。

だから、o(h)を無視してよい。

単に 「 o(h)が小さくなる 」 ではありませんよ。

「 h に対する o(h) の効果がいくらでも小さくなる 」 が重要です。

しかし、おそらく、この辺りを理解している学生は少ない。



では、もう1つの近似式 sinθ≒θ はなぜ成り立つのでしょう?



考え方は同じです。

実は、微分積分学の有名な定理として 『 テイラー展開 』 があります。

sinx をテイラー展開すると、



上式において、第2項以降は、x→0 よりも速く 0 に収束します。

よって、sinx≒x と近似できます。

テイラー展開は 『 平均値の定理 』 の一般化です。

詳しいことは、本編や参考書を参照してください。



テイラー展開の式って、複雑ですよね。



少し複雑に視えますね。

ただし、2次の項までは微分と同じですよ。

テイラー展開を2次の項まで表すと、



式変形すると、



これは微分の式と同じです。



なるほど〜。

やはり、大学の参考書ではこういうものを議論するのですか?



初級者向けの参考書だと省かれていることが多いですね。

中級者向けの微分積分の参考書ならば載っています。

ちなみに、この考えは、数学・物理・化学・工学のあらゆる場面で登場します。

例えば、全微分、力学、熱力学、線積分、微分方程式に対する理解に直結します。

全微分は、同じ内容を2次元で考えるだけです。

また、このページの内容を理解していると、合成関数の微分公式も簡単に導けます。

今回の結論を簡単に表すと 「 関数=近似+誤差項 」 です。

すると、直観的な表記ですが、次が成り立ちます。

(*) 合成関数=関数(関数)=関数(近似+誤差項)=近似(近似)+近似(誤差項)+誤差項(誤差項)

誤差項を消すと、合成関数=近似(近似)です。

つまり、合成関数の微分=微分(微分)です。

つまり、高校で知られているように、外側で微分して、内側を微分すると、合成関数の微分となります。

例えば、(sin2x)’=(cos2x)・(2x)’=2cos2x です。



合成関数の微分法が一瞬で!?

あれ・・・?

でも、私がもっている参考書の証明法はそれとは違ったような・・・?



初級者向けの参考書では扱わないことが多いですね。

そのような参考書では dy/dx で示されることが多い。

微分を誤差項で表す方法の方が分かりやすいし、近似の理解にもつながるのですが・・・。

誤差項による説明は 「 厳密で分かりにくい 」 と誤解されてしまうことが多いです。

おそらく、高校で学習した微分のイメージが頭に付いているのでしょう。

だから、誤差項で表すという手法が異質なものに視えてしまうのかもしれません。



具体的に、工学や物理では、どのような場面で近似を用いるのでしょう?



例えば、バネにつながれた物体を考えます。

よく知られているように、物体に作用する力は F=kx ( k はバネ定数 )です。

ここで、物体を Δx だけ動かすために必要な仕事 W は、y=kx の x から x+Δx までの積分値です。

ただし、Δx が十分に小さければ、その値を近似して W≒kxΔx としてよい。





なるほど。

たしかに、その類の近似は、物理学や工学の本によく登場しますね。

つまり、W=kxΔx+2−1k(Δx) で (Δx) の項を無視するということですね。



そうですね。



他に応用はありますか?



例えば、球面の微小部分を平面で近似できます。

これも幾何学や物理学で基本的ですね。



あ・・・そうか。

これは微分で述べたこと内容の2次元バージョンですね。



そうですね。

球面の一部は、どんなに微小であっても形が変わらないはずです。

それなのに、なぜ微小にすると近似できることになるのか?

どこまで微小にすれば平面で近似できたことになるのか?

むろん、これらの解答は上で述べた通りです。