対談形式(力学)

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そもそも、力学と解析力学は何が違うのでしょう?



本質的には同じです。

ただし、力学は視覚的に議論する部分が多い。

例えば、重力の矢印を描いたり、抗力の矢印を描いたりします。

言い換えると、力学は直観的な側面がある。

一方、解析力学では、力学を代数的に記述します。

ただし、解析力学の世界を深く探索すると、現代的な幾何に出会います。

現代的な幾何とは 『 多様体 』 のことです。



へー・・・。

解析力学では、力学を代数的に記述するのですか・・・。

なぜ、そのようなことをするのでしょう?



自然界の法則は 『 変分原理 』 に従っています。

つまり、変分原理を表示する微分方程式の解を調べることが重要です。

例えば、アインシュタインの相対性理論は 『 アインシュタイン-ヒルベルト汎関数 』 の変分原理に従います。

また、ゲージ理論は 『 ヤン-ミルズ汎関数 』 の変分原理に従います。

また、中学の理科で有名な 『 光の屈折 』 なども変分原理によって説明できます。

また、力学も変分原理によって説明できます。

解析力学では、運動方程式を 『 ラグランジュ方程式 』 に書き直します。

実は、ラグランジュ方程式よりも対称性が高い式として 『 ハミルトン方程式 』 があります。

この書き換えによって、ニュートンの力学から、量子力学への移行が可能になりました。



解析力学は難しそうですね・・・。

力学は他の物理学に比べると学びやすい印象があるかも。



では、問題です。

よく知られているように、「 運動量変化=力積 」 ですね。

むろん、これを式で表すと、



ところで、これは 「 数学的な書き換え 」 でしょうか?

それとも、これは 「 ニュートンの法則に基づく物理法則 」 でしょうか?



・・・。

・・・。

ええと、答えは・・・ニュートンの法則に基づく物理法則・・・?



本当にそうでしょうか?

速度 v(t) の微分は、加速度 α(t) ですよね。

よって、先ほどの式は、次のように数学的な書き換えによって導かれます。





本当だ・・・。

そうか、「 運動量変化=力積 」 は単なる数学的な書き換えだったのですね。



本当にそうでしょうか?



ええええ・・・!?

いや、だって、いま、数学的な書き換えで示されましたよね!?



ところが、力学の教科書には次のように書かれています。

(*) ニュートンの第2法則 : F=mα(t)

この F=mα(t) は、F=d(mv)/dt を意味しますよね。

よって、両辺を積分すると、





えええ・・・、今度はニュートンの第2法則から 「 運動量変化=力積 」 が導かれた・・・!?

分からなくなってきた・・・。

どういうことなのでしょう?



実は、ニュートンの第2法則に対して2通りの解釈を付けることができます。

それが今回の混乱の原因です。

既に述べたように、ニュートンの法則を表す式は F=mα(t) です。

これは 『 運動方程式 』 と呼ばれるもので、高校の物理学においても基本的です。

これについては次のように2通りの解釈ができます。

(*1) F=mα(t)を数学的な定義と見る。

(*2) 力 F を既知として F=mα(t) を物理法則(因果法則)と見る。



うーん・・・(*1)の見方には違和感をもちます。

F=mα(t)を数学的な定義と見ることができるのでしょうか?

だって、m と α は物理的な量なのでは・・・?



たしかに、m と α は物理的な量です。

しかし、これを完全に数学的な量と見なせます。

まず、αは速度の微分で、速度は位置の微分です。

位置とは座標のことですから、これは完全に数学的な概念です。

一方、質量も同様です。

これは各物体に割り当てられる固有の量と見なすことができます。

以上により、mとαは数学的ですから、F=mα(t)も数学的な定義です。

座標の点に、固有の値 m を割り当てたものを 『 質点 』 と呼びます。

いま、質点 m が座標上を移動しているとします。

いや、この場合、言い方を変えましょう。

質量という言葉を忘れて、座標上に、固有値 m が割り当てられた点が移動しているとします。

もはや、これは物理でも何でもありません。

単なる数学の話です。

さて、この点は、時刻 t=t から t=t まで移動したとします。

むろん、時刻という言葉が物理と混ざって分かりにくいと感じるならば、t は単なる変数だと思ってください。

よって、(既に上にも書きましたが)次のように計算できます。



これは完全に数学的です。

ここで、mv を 『 運動量 』 と呼び、∫Fdt を 『 力積 』 と呼ぶ。

こうして、「 運動量変化=力積 」 が数学的に導かれた。

導かれたというより、単なる書き換えですね。



たしかに・・・数学ですね。

では、もう1つの解釈は?

(*2)では、「 力 F を既知として F=mα(t) を物理法則(因果法則)と見る 」 でしたね。

しかし、力を既知とするとは、どういうことでしょう?



力を既知とするというのは、ニュートンの第1法則に基づきます。

ニュートンの第1法則とは、

「 宇宙には慣性座標系系が存在する 」

・・・という主張です。

慣性座標系とは、慣性の法則が成り立つ座標系を意味します。

慣性の法則とは 「 物体に力が作用しなければ、物体の速度は変化しない 」 という法則です。

ここで 「 物体に力が作用しなければ 」 と述べていることに注目しましょう。

逆に言えば、これは力の存在を主張していることになります。



なるほど。

しかし、ニュートンの第1法則は、そのような内容だったでしょうか?

たしか、ニュートンの第1法則は、慣性の法則と同じ内容だったと思うのですが・・・?



慣性の法則をそのままニュートンの第1法則として採用している参考書も普通にあります。

ただ、第2法則によれば、F=mα(t)ですよね。

ここで、F=0 とすると、α=0 となって、第1法則が無意味ということになります。

なので、第1法則は慣性座標系の存在を主張しているのだと述べた方が正確です。



なるほど。

すると、先ほどの第2法則の解釈、

「 力 F を既知として F=mα(t) を物理法則(因果法則)と見る 」

・・・が納得できそうです。

これは 「 力 F が作用すると、質量 m の物体は、加速度αで動く 」 ということを意味するのですね。

『 力 F が作用する 』 → 『 物体が動く 』 という因果法則を意味する。

たしかに、これは力を数学的な定義として解釈する見方とは異なりますね。



そうですね。

では、次のテーマに進みましょう。

「 運動エネルギー変化=仕事 」 は知っていますか?

ただし、これは1次元の運動で、ポテンシャルは考えないとします。



仕事は、力×距離ですよね。

つまり、





そうですね。

先ほどの 「 運動量変化=力積 」 と並べて書くと、



ところで、(*1)では F(t) となっていますが、(*2)では F(x) となっています。

なぜ、力 F のパラメータが異なるのでしょう?



・・・あれ!?

たしかに、パラメータが異なりますね。

ど、どういうことだろう・・・?

えっと・・・(*2)では、力が時間に依存しない場合を考えているのでしたっけ・・・?

だから、F(t) を F(x) に置き換えてよい?



それは間違いです。

そもそも、F(t) と F(x) は、別の関数です。

F(x)はベクトル場を意味しています。

例えば、万有引力などですね。

これは各位置に 「 力 」 というベクトルが設置されていると考えられます。

むろん、これは時間に依存しません。

ただし、物体が移動すると、物体に作用する力は変化します。

例えば、距離が近くなるほど万有引力は大きくなります。

そして、物体の位置 x は、時間に依存して変化するので x=x(t) です。

つまり、F(x) は F(x(t)) と見なせます。



そういえば、力学で 『 慣性系 』 がありますよね。

あの類の内容が苦手です・・・。



おそらく、多くの入門者が戸惑うところですね。

「 運動方程式、運動量、運動エネルギー・・・よし、力学が分かってきたぞ 」

・・・と思ったら、慣性系が登場して分からなくなる。



そうなんですよねぇ・・・。

慣性系がスパッと分かるようになる説明はないものでしょうか?



よくある説明は、電車の吊革ですよね。

電車が動くとき、吊革が揺れるが、吊革に力が作用しているわけではない。

つまり、あれは慣性力であって、実在する力ではない。

しかし、電車の中にいる人にとって、あれが実在する力であるか否かは分からない。



う〜ん・・・けど、その説明はおかしくないですか?

とくに、

「 電車の中にいる人にとって、あれが実在する力であるか否かは分からない 」

・・・という部分の説明に納得できません。

実際、

「 おお、そうだったのか!電車の吊革が揺れるのは、何か力が作用しているものだと思ってた! 」

・・・などという人に出会ったことがありません。

電車の中にいる人でも、吊革の揺れが力の作用によるものではないことは知っていますよね。



なるほど。

では、電車の窓をすべて消して、ただの壁だけにしてみましょう。

すると、外の風景が見えないので、吊革に力が作用しているのか否かが分かりません。



あー・・・。

・・・。

・・・ん?

いや、それでも、吊革に力が作用していないと分かりますよね。

実際、電車が揺れてますよ。



なるほど。

では、麻酔で視覚以外の感覚を取り去って、全身を完全に固定しましょう。



すごく危ない実験みたいになってきた!?



しかし、ここまで来ると、吊革に力が作用しているのか否か分かりませんよね。

例えば、

「 吊革に鉄が埋め込まれていて、それを磁石で動かしたのだ 」

・・・と言われたら、判別が付きません。



なるほど・・・。



あー・・・。

要するに、物理学において 『 観測者 』 は、視覚以外はもたないのです。

言い換えれば、ゴーストのようなものです。

しかし、おそらく、割と多くの人は自分の経験と照らし合わせて慣性系を考えてしまう。

自分の経験と照らし合わせると、五感をすべて活用してしまいます。

すると、先生が、

「 電車内部の人にとっては吊革がなぜ揺れたのか分からない 」

・・・と解説すると、

「 いや、分かるよね? 」

・・・というように混乱する。



しかし、五感をつかえば、電車内にいても分かりますよね・・・?

なぜ「分かる」のでしょう?



あー・・・。

それは 「 自分は電車に乗っている 」 という知識にアクセスしているからですよね。

つまり、

「 いま体が揺れたな 」

「 そういえば、自分は電車に乗っているんだったな 」

「そうか、電車が動いたんだな 」

・・・と瞬時に思考する。

脳がほとんど自動的に処理してしまうので逆に分かりづらい。



あ、そうか。

ということは・・・まとめると、

(1) 五感で揺れを感じとる。

(2) 知識にアクセスする。

(3) 電車が動いたことを理解する。



そうですね。

(1)または(2)のどちらかを遮断しましょう。

そうすれば、電車の吊革が揺れた理由が分からなくなります。

めでたいことです。



っていうか、知識にアクセスしなければ麻酔をつかう必要もないじゃないですか!?



そうですね。

その方が話はシンプルでした。

しかし、この話はおもしろいので、あえて残します。



ところで、慣性力って、具体的には何があるのでしょう?

私の中には 『 電車の吊革 』 しかないです・・・。



慣性力としては 『 遠心力 』 や 『 コリオリの力 』 が有名ですね。

つまり、これらの力は実在しません。



え・・・いやいやいや!?

遠心力は実在しますよね???



実在しませんよ。



えええ!?

いや、だって、バケツをもってグルグルと振り回すと、バケツが遠くに引っ張られる感じがしますけど!?



だから、それは慣性力なんですってば。



・・・。

あれー???

慣性力・・・分かったつもりだったのに・・・。



それが慣性力の恐いところですよね。

「 分かった! 」 と思ったら、後々で 「 やはり分かっていなかった 」 となる。



しかし・・・遠心力が実在する力でないというのは、どうにも納得できませんよ???



では、下図のような状況を考えてみましょう。

つまり、バケツに糸を付けて振り回している状況です。

いま、バケツは、南に速度 v で進行しています。

この瞬間に、バケツに付いた糸を切るとします。

すると、バケツは、どこに飛んでいくでしょう?

東?南?東南?





バケツは・・・東南に飛んでいく?



なぜ?



えっと・・・、遠心力が作用しているから?



いや、糸はもう切られているのですよ?

この瞬間、バケツには何も干渉していません。

つまり、バケツには何も力が作用していません。

そして、糸が切られる瞬間に、バケツは南方向に進行しています。

よって、慣性の法則により、バケツは南方向に進行し続けます。

ただし、慣性座標系から視ると、バケツは遠くへ飛んでいくように視える。

実際、バケツをもっている人から見ると、バケツは遠くへ飛んでいくように視えます。



そ・・・そっか、そうですね。

ああ、もう!

慣性力、分かったつもりだったのに・・・!



今回の問題は、その人が慣性系を理解しているか否かを確認する最良の問題と思っています。

ちなみに、「 南 」 という答えが返ってきた場合は、

「 でも、遠心力が東の方向に作用しているよね?だから、バケツは東南に飛んでいくのでは? 」

・・・と質問揺さぶりを掛けます。

この質問にしっかりと答えられるならば、その人は慣性系を割と理解していると言えるでしょう。



よーし!

これで完全に理解できました!



では、問題です。

既に確認したように、遠心力は実在しません。

では、なぜバケツをもっている人は力を入れる必要があるのでしょう?



え・・・?



バケツを振り回してる人は、力を入れて、バケツを握りしめていますよね?

遠心力が実在しないならば、その人は何の力と引っ張り合いしているのでしょう?



・・・。

・・・。

・・・どうしよう。

やっぱり、分からなくなってきた。



簡単に言うと、バケツが中心に向かって加速しているということです。

外の座標系(慣性系)から見れば、人はバケツを引っ張ることでバケツをつねに加速させているのです。

なので、人が力を入れることは当然ですね。

つまり、F=ma です。( F はバケツを引っ張る力 )

これは 『 加速度運動 』 ですね。

何も問題はありません。

一方、バケツを持っている人(回転座標系)の立場では、遠心力 F が存在します。

なので、F=F です。

これは 『 力のつり合い 』 ですね。



あ、あああ・・・なるほど。

すると、先ほどの質問、

「 遠心力が実在しないならば、その人は何の力と引っ張り合いしているのでしょう? 」

・・・の答えは・・・。

ええと、

「 加速度運動だから何も問題はない 」

これでよいのですか?



正解です。

つまり、実は、先ほどの質問は、わざと回転座標系と慣性系を混同させた質問だったわけです。

この部分をしっかり指摘できれば、その人は遠心力をよく理解していることになります。



しかし、回転運動は加速度運動なのですか?

そこがよく分からないのですけれど。



回転運動では、バケツの方向がつねに変化しています。

つまり、バケツの速度はつねに変化しています。

速度が変化しているのですから、これは加速度運動です。

むろん、回転運動の運動方程式から遠心力を算出できます。

ここでは計算は省略します。

ただ、回転運動は、動径方向で見ると静止しています。

なので、「 回転運動が加速度運動である 」 に対して違和感をもつ人が多いでしょうね。

ちなみに、動径方向とは、人からバケツへ向かう直線のことです。