対談形式(ルベーグ積分)

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まず、そもそもルベーグ積分とは?


関数の定義域を分割して構成する積分を 『 リーマン積分 』 と言います。

一方、ルベーグ積分は、関数の値域を分割して構成されます。


リーマン積分というのは、通常の積分のことですよね。



そうです。

リーマン積分は、高校数学でよく知られている積分のことです。

ただし、高校の場合には、上限・下限を用いずに積分を定義します。

一方、大学では、上限・下限を用いてリーマン積分を定義します。



リーマン積分とルベーグ積分は、別物なのですか?

例えば、同じ関数を積分すると、異なる値になる?


計算結果は同じです。

ただし、リーマン積分不能な関数であっても、ルベーグ積分で計算できる場合があります。



そもそも、リーマン積分不能な関数が存在するのですか!?

それはどのような関数ですか?


とくに有名なものは 『 ディリクレ関数 』 ですね。

ルベーグ積分の話では定番です。

ディリクレ関数とは、次のようなものです。



太字の は有理数全体を意味します。


ええと・・・つまり、ディリクレ関数とは・・・。

有理数に 1 を対応させて、無理数に 0 を対応させる関数ということですね。



そうです。



うーん?

けど、これって、積分をしたら 1 になるのでは?

無理数では 0 となりますが、これは積分値に影響しないように思えます。



たしかに、有限個の点上での値は、積分計算には影響しません。

しかし、無理数は有限個ではありません。

よくある誤解ですが、無理数は数直線上にポツポツと点在しているわけではありません。

実際には、数直線上には無理数がギッシリと詰まっているのです。

なので、無理数上での値が、積分に影響しないとするのは早計ですね。


むむむ・・・。

しかし、ディリクレ関数は、ずいぶんと特殊な関数ですね?

作為的というか・・・人為的というか・・・。

自然界ではこのような関数は登場しないのでは?



例えば、ディリクレ関数は次のように表記できます。



一見すると、先ほどのディリクレ関数と別物に視えるかもしれませんが、これは同一です。

実際、x を有理数とすると、ある M∈ が存在して、m≧M ⇒(cosπm!)=1 です。

また、x を無理数とすると、任意の m に対して m!x は整数ではありません。

よって、limn→∞(cosπm!x)2n=0 です。

つまり、ディリクレ関数は、3角関数の極限として、割と普通に登場するのです。

「 ディリクレ関数は特殊だから切り捨ててしまえ 」 という考え方は早計でしょう。



なるほど・・・。

ところで、いま思ったのですが、ディリクレ関数の定義って、逆にしたらダメなのでしょうか?

つまり、有理数に 0 を対応させて、無理数に 1 を対応させたらダメ?



うーん・・・。

別に、ダメというわけではありませんが、普通は有理数に 1 を対応させますね。

要するに、ディリクレ関数は 「 の特性関数 」 です。

『 集合 A の特性関数 』 とは、集合 A 上で 1、その補集合で 0 をとる関数です。

特性関数は数学の様々な分野で登場する基本的な道具です。



ところで、なぜルベーグ積分が必要なのでしょう?

リーマン積分不能な関数を積分できることは分かりましたが・・・他にもメリットがあるのでしょうか?



ルベーグ積分には様々なメリットがあります。

例えば、解析学では次のような関係が重要です。

(*1) 積分と級数の交換 : 1≦n≦∞∫fdx=∫1≦n≦∞dx

(*2) 極限と積分の交換 : limn→∞∫fdx=∫limn→∞dx

(*3) 積分と積分の交換 : ∫∫fdxdy=∫∫fdydx

上記の関係は、リーマン積分に関して成り立ちます。

ただし、リーマン積分の場合には少し強い条件が付きます。

リーマン積分の場合、(*1)では 「 S1≦k≦n が一様収束する 」 という条件が必要です。

また、(*2)では 「 f が一様収束する 」 という条件が必要です。

また、(*3)では 「 f が連続である 」 という条件が必要です。

一方、ルベーグ積分では、このような条件がなくても(*1)〜(*3)の操作を実行できます。

つまり、ルベーグ積分を用いると、リーマン積分では複雑な議論が一気に簡略化されます。

ちなみに、(*1)は、リーマン積分と同様に 『 項別積分 』 と呼ばれます。

また、(*2)に相当する定理を 『 ルベーグの収束定理 』 と言います。

また、(*3)に相当する定理を 『 フビニの定理 』 と言います。



ルベーグ積分では議論が複雑になるものだと思っていました。

むしろ・・・逆なのでしょうか?



議論は高度になりますが、結果はシンプルになります。



なぜリーマン積分では、極限と積分の交換で 『 一様収束性 』 が必要なのでしょう?



リーマン積分の欠点は、

「 リーマン可積分な関数列の極限がリーマン可積分とは限らない 」

・・・ということです。

例えば、limn→∞=f とします。

このとき、各 f がリーマン可積分であっても、f がリーマン可積分であるとは限らない。

では、どのような状況であれば、f もリーマン可積分となるのでしょうか?

その答えこそが 『 一様収束性 』 なのです。

よく知られているように、連続関数はリーマン可積分です。

連続関数列の一様収束の極限が連続関数になることが、この定理の本質です。

つまり、limn→∞=f が一様収束であれば、f もリーマン可積分です。

つまり、∫fdx と表すことができる。

つまり、∫limn→∞dx と表すことができる。

つまり、limn→∞∫f=∫limn→∞dx の右辺が存在する。

limn→∞ が可積分でなければ、そもそも上式の右辺の積分が存在しませんからね。

以上の理由により、微分積分学や複素解析学では一様収束性が重要です。



「 ルベーグ積分は難しい。数学科の人でも苦戦する 」 という話を聞いたことがあるのですが・・・。

実際はどうなのでしょう?



議論のレベルに依存します。

とくに、次のように分類できます。

(*1) 最初からユークリッド空間上で議論する。

(*2) 一般の集合上で議論する。

(*3) 完備化などを含めて詳細に議論する。

とくに、(*1)が簡単です。



ところで、ルベーグ積分論の主な内容はどのようになっているのでしょう?



概ね次の通りです。

(*1) ルベーグの収束定理

(*2) 微分積分学の基本定理

(*3) フビニの定理

(*4) ラドン・ニコディムの定理

いずれも、解析学において超重要定理です。

例えば、ラドン・ニコディムの定理は関数解析や確率論などにも応用されていますね。

ちなみに、ルベーグの収束定理は分岐点になっていて、これより後は概ね独立しています。

つまり、(*1)の後は、(*2)〜(*4)のどれを選んでもよい。

この意味で、ルベーグの収束定理はルベーグ積分論において最も重要な定理です。

ちなみに、もう少し詳しく言うと、ルベーグの収束定理の前身として 『 単調収束定理 』 があります。

また、ルベーグの積分定理の系として 『 有界収束定理 』 があります。

また、ルベーグの収束定理は 『 優収束定理 』 と呼ばれることもあります。



ん・・・?

『 微分積分学の基本定理 』 というのは・・・リーマン積分にもありましたよね?



そうですね。

それのルベーグ積分バージョンです。

その辺りは、リーマン積分との関連も強い。

この辺りを学ぶと、ルベーグ積分だけではなくて、リーマン積分にも詳しくなる。

とくに、次のことが知られています。

(*1) 「 f はリーマン可積分である 」 ⇔ 「 f はほとんど至るところ連続 」

次のように言い換えても意味は同じです。

(*2) 「 f はリーマン可積分である 」 ⇔ 「 f は a.e.連続 」

(*3) 「 f はリーマン可積分である 」 ⇔ 「 f の不連続点は零集合である 」



つまり・・・ルベーグ積分を学ぶと、リーマン積分の裏側が分かる?



そんな感じです。

それと、ルベーグ積分論は測度論に基づいています。

で、測度論を学ぶと 『 面積 』 や 『 長さ 』 の概念を精密化できます。



面積や長さの精密化って・・・。

面積や長さに曖昧な部分ってありましたっけ?



ありますよ。

実際、世間的には次のような疑問が提示されることが多い。

「 点の長さは 0 なのに、点が集まってできた線分が長さをもつのはなぜか? 」

「 点の面積は 0 なのに、点が集まってできた図形が面積をもつのはなぜか? 」



あ、ああ〜〜〜・・・。

たしかに、0 がいくら集まっても 0 のはずだから、線分が長さをもつことは不思議ですね。

これが測度論によって解決されるのですか?

どのようにして?



まず、面積とは 「 図形に非負値を割り当てることである 」 と言えます。

同様に、長さとは 「 1次元の集合に非負値を割り当てることである 」 と言えます。

これは Pow() から [0、∞] への写像です。( Pow() は の巾集合です )

仮に、この写像を M:Pow()→[0、∞] と表す。

むろん、Pow() から [0、∞] への写像であれば何でもよいというわけではありません。

例えば、少なくとも、M は次の性質を満たすべきです。

(M1) 0≦M(A)≦∞ ( とくに、A=φ ならば M(A)=0 である )

(M2) A、A、・・・が互いに素ならば、M(1≦n≦∞)=1≦n≦∞M(A) である。

(M3) M[a、b)=b−a

しかし、残念ながら、Pow() 上で(M1)〜(M3)を満たす写像は存在しません。



え・・・存在しないのですか。

では、どうするのですか?



ただし、定義域を制限すれば存在します。

そのために、まず、外測度を定義する。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

U⊂ を開集合とする。

U を互いに素な開区間 (p、q)、(p、q)、・・・ の和集合として表す。(★)

次のように定義する。

(*1) μ(U)=(q−p)+(q−p)+・・・

また、一般の集合 A⊂ に対して次のように定義する。

(*2) μ(A)=inf{ μ(U)|A⊂U、U は開集合 }

このとき、μ を 『 外測度 』 という。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★)について補足

開集合は開区間の和集合である。

開区間 (a、b)、(c、d) が共通部分をもつ場合、(a、d) は1つの開区間である。

このように、共通部分をもつ開区間をつなぎ合わせる。

すると、開集合は互いに素な開区間の和集合となる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

つまり、外測度とは 「 図形の過大評価の下限 」 です。

ここでは 『 長さ 』 について考えていますが、面積に対しても同様の議論ができます。

この外測度は、性質(M1)と(M3)を満たします。

しかし、残念ながら、(M2)は満たしません。

実際、M(1≦n≦∞)≦1≦n≦∞M(A) になってしまう。(証明省略)



へ〜・・・、何でだろう?



簡単に説明しましょう。

まず、A を一般の集合とする。

さらに、任意の集合 B に対し、B∩A と B−A を考える。

これは A によって集合 B を分割するということです。



すると、任意の集合 B に対し、μ(B)≦μ(B∩A)+μ(B−A)です。

このことは下図によって確認できます。



これは外測度の欠点です。

実際、A の面積が測れるためには、μ(B)=μ(B∩A)+μ(B−A) である必要があります。

図形を分割する前後で面積が変化しては困ります。



何か新しく条件を追加する必要がありますね。



そこで、逆向きの不等式を条件として追加します。

つまり、次を仮定します。

(*1) μ(B)≧μ(B∩A)+μ(B−A)

既に述べたように、μ(B)≦μ(B∩A)+μ(B−A)は自動的に成り立つ。

つまり、(*1)は次と同じ意味です。

(*2) μ(B)=μ(B∩A)+μ(B−A)

これは 「 集合 A が測れること 」 を意味します。

そこで、条件(*2)を満たす集合 A を 『 μ の可測集合 』 という。

また、μ の可測集合全体を (μ) と表す。

μ:(μ)→[0、∞] を μ(A)=μ(A) で定義する。

このとき、μ を 『 測度 』 という。

つまり、測度は、外測度の定義域を可測集合全体 (μ) に制限したものです。

あるいは、測度とは、外測度の定義域を 「 測れる図形 」 だけに制限したものです。

そして、この μ は (M1)〜(M3) をすべて満たす。(証明省略)

つまり、測度μは面積や長さの一般化です。

以上が測度論の基礎です。



これが A を測れるということ・・・。

あー、あれですね。

A はクッキーの型抜きのようなものでしょうか。

クッキーの型抜きは、金属製で、星やハートの形をしています。

これを生地に押し込んで型を抜き取る。

型抜きの面積は境界がハッキリしているので、面積が分かります。

生地の面積は曖昧なので、測れるとは限らない。


そういう見方もあるかもしれません。



ところで、これは、最初の疑問の答えになっているのでしょうか?

つまり、

「 点の長さは 0 なのに、点が集まってできた線分が長さをもつのはなぜか? 」

「 点の面積は 0 なのに、点が集まってできた図形が面積をもつのはなぜか? 」

・・・という疑問の答えになっている?



なっています。

実は、次が成り立ちます。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(1) 一点集合は外測度 0 である。

(2) 有限集合は外測度 0 である。

(3) 可算集合は外測度 0 である。( よって、とくに、 は外測度 0 である )

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

a、b∈ ( a<b ) に対し、次が成り立つ。

(*) μ(a、b)=μ[a、b]=μ(a、b]=μ[a、b)=b−a

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

( むろん、これは 『 測度 』 に対しても成り立ちます )

つまり、測度は点に対して 0 を割り当て、線分に対して長さを割り当てます。

そのような自然な写像が存在することを示したことになります。



そういえば、最初、(M3)では半開区間 [a、b) を考えていましたね。

なぜでしょう?

どうせなら、閉区間などから出発した方が親しみやすいような?



半開区間の方が便利です。

なぜなら、半開区間は半開区間の分割として表せるからです。

実際、[a、b)=[a、x)∪[x、x)∪・・・∪[x、b) と表せます。

各区間が共通部分をもたないことが重要です。

このような技は、開区間や閉区間ではできません。



ふ〜む・・・。

概ね理解できましたが、何だか不思議な感じもします。

証明を読めばもう少し納得できるかな・・・?



もう少し自然な考え方もありますよ。

まず、平面上の集合に網目をかけます。

重なりのあるマス目の合計は 『 面積の過大評価 』 です。

はみ出しのないマス目の合計は 『 面積の過小評価 』 です。



色々な分割を考えれば、過大評価や過小評価も変化します。

過大評価全体の下限を 『 外面積 』 と呼びます。

過小評価全体の上限を 『 内面積 』 と呼びます。

外面積と内面積が一致するとき 「 集合は面積確定である 」 と言います。

また、この値を 『 面積 』 と定めます。



ああ、それは分かりやすいですね。



この方法を定式化すると、次のようになります。

A を集合とする。

μ(A)=sup{ μ(F)|F⊂A であり、F は閉集合 } と定義する。

このとき、μ を 『 内測度 』 という。

A⊂ を可測集合とする。(※これは最初に定義した意味での可測集合)

このとき、μ(A)=μ(A) が成り立ちます。



ところで、測度論は本によって内容が異なって視えることがあるのですが・・・?



そうですね。

測度論の方法は主に次の2通りです。

(1) ユークリッド空間から出発して議論する。

(2) 一般の集合から出発して議論する。

ここでは(1)を 『 初等論 』 と呼び、(2)を 『 抽象論 』 と呼ぶことにします。

ここまで述べていたのは初等論ですね。

一方、抽象論もある。

いずれも本質的な内容は同じですが、抽象論の方が少し高度ですね。

例えば、ユークリッド空間の場合、

「 開集合は半開区間の可算個の直和として表せる 」

・・・という定理が最初からある。

しかし、一般の集合から出発すると、そもそも開集合や半開区間という概念がない。

なので、σ加法族、半加法族などの概念を用意します。

ただ、初学者がこれを視ると、唐突に抽象的な概念が登場して戸惑うわけですね。

ただし、実際には、初等論で得られる性質を先に公理として要請しているだけです。

なので、本質的には同じです。



えーと・・・。

じゃあ、抽象論から出発した場合でも、その理論をユークリッド空間に適用すれば議論が合流する?



そうです。



ところで、σ加法族とは?



σ加法族とは、補集合と可算無限和集合について閉じている集合族のことです。

ただし、ここから可算無限共通部分について閉じていることが導かれます。

また、有限和集合、有限共通部分について閉じていることも導かれます。

さらに、差集合についても閉じていることが分かります。

つまり、σ加法族はすべてに閉じています。

σ加法族はかなり大きい集合です。



そういえば、位相空間論の開集合族も同様でしたね。

開集合族の場合、有限共通部分と無限和集合について閉じていましたよね。



一方、σ加法族は、和集合、共通部分、補集合、差集合すべてについて閉じている。

とくに、和集合や共通部分は有限でも可算でもよい。

つまり、σ加法族はかなり大きな集合です。



このσ加法族をどうするのですか?



を X のσ加法族とする。

μ:→[0、∞] を写像とする。

次が成り立つとする。

(1) μ(φ)=0

(2) A ( n∈ ) は互いに素である ⇒μ(1≦n≦∞)=1≦n≦∞μ(A

このとき、(、μ)を 『 X 上の測度 』 という。

とくに、(2)を 『 σ加法性 』 という。

「 A が互いに素である 」 とは、A が互いに共通部分をもたないという意味です。

が互いに素であるとき、∪1≦n≦∞1≦n≦∞ と表してよいとします。



あれ?

測度は先ほども登場しましたが・・・今回は定義が異なりますね?



本質的に同じです。

実際、可測集合全体はσ加法族です。(重要!)

また、面積の過大評価として定義された測度はσ加法性をもつ。(重要!)

いずれにしても、「 測度はσ加法族上で定義されていて、σ加法性をもつ 」 です。(重要!)

このことが分かれば、

「 あ、抽象論は初等的な議論で得られる性質を先に公理として要請しているだけだな 」

・・・ということが分かります。



可測集合や測度が土台となって積分が構成されるのですよね。

どのように積分を構成するのですか?


積分は、次の手順で構成されます。

(*1) 単関数の積分を定義する。

(*2) 非負値可測関数の積分を定義する。

(*3) 一般の可測関数の積分を定義する。

一見すると長く見えるかもしれませんが、類似の議論を繰り返すだけです。

それぞれ、1つ前の積分の性質が、次の積分に遺伝する感じです。

とくに、(*1)の定義は 『 σ加法族 』 と 『 測度 』 を土台にしています。



積分の構成はそれほど難しくないということですね。



そうです。

むろん、議論はいくらでも深くなるのですが、基本は難しくない。

むしろ、測度論より楽です。

だから、ルベーグ積分の本では、先に積分を構成している本もあります。



ん・・・?

測度論を議論してからでないと、積分は議論できないのでは?

実際、積分は測度から構成されますよね?



そうですね。

ただし、それなら、測度が存在すると仮定して、積分を議論すればよいのです。

つまり、最初から 「 そういう測度がある 」 と仮定して議論すればよい。

ちなみに、ルベーグ積分インデックスでも、測度の章と積分の章はほとんど独立しています。

むろん、測度論を理解することは重要なのですが、あまりガチガチに順番を守らなくてもよい。



具体的に、測度から構成される積分とは、どのようなものですか?


それを説明する前に、まずは可測関数について説明します。

f:X→[−∞、∞] が次の条件を満たすとします。

(*) 任意の a∈ に対し、{ f<a }∈ である。

ただし、{ f<a } は { x∈X|f(x)<a } の略記です。

つまり、f−1[−∞、a) と考えてもよい。

このとき、f を 『 可測関数 』 と言います。

実は、この条件だけで、次の性質が成り立ちます。

(*) { f≦a }、{ f>a }、{a<f≦b}、・・・∈



つまり、可測関数とは 「 値域の区間の逆像がσ加法族に属する関数 」 ですね。



そうです。

そして、積分について、次が成り立ちます。



つまり、積分とは 「 値域を分割して、その逆像の測度をとって、階段関数の極限をとったもの 」 です。



リーマン積分の場合と逆ですね。

リーマン積分では、『 定義域 』 を分割して階段関数を考えていましたね。

ところが、ルベーグ積分では 『 値域 』 を分割する。


そうですね。

リーマン積分では、最初から定義域を画一的に分割しました。

そのせいで、あまり融通が利かなかった。

一方、ルベーグ積分では、値域の分割の逆像を考える。

つまり、定義域の分割は区間とは限らない。

もっと広く、σ加法族に属していればよい。



これによって、定義域を柔軟に分割できる。

だから、ルベーグ積分は、リーマン積分よりも広い関数を扱うことができる。



なるほど・・・ん?

質問があります。

可測関数の定義では 「 任意の a∈ に対し、{ f<a }∈ 」 と書かれていますね。

しかし、上図では { a≦f≦b }∈ になっているようです。

なぜ、このような違いがあるのでしょう?



それはσ加法族の定義を考えれば分かります。

例えば、{ a≦f<b }={ f<b }−{ f<a } ですよね。

むろん、{ f<b }、{ f<a }∈ です。

さらに、既に述べたように、σ加法族は差集合についても閉じています。

よって、{ a≦f<b }∈ ですね。

同様に、{ a<f<b }、{ a≦f≦b }∈ などが示されます。



あ、あ〜〜〜・・・。

σ加法族の性質が、ここに関連してくるのですね。



そうですね。



さてと・・・。

いよいよ、最初に目的としていたルベーグの収束定理ですね。

ルベーグの収束定理は、極限と積分を交換できるということでしたね。

けれど、教科書の証明を読むと、随分と複雑そうに視えます。



ルベーグの収束定理の証明は、それまでの内容の集大成になっています。

しかし、大局的な視点に立てば、ルベーグの収束定理の証明は簡単です。

ルベーグの収束定理が示されるまでの流れをまとめると、

(*1) 単調収束定理

(*2) ファトゥの補題

(*3) ルベーグの収束定理

単調収束定理はルベーグの収束定理の前身のようなものです。



ファトゥの補題とは?



次の内容です。

(*) f は A 上で非負な可測関数 ⇒∫limn→∞μ≦limn→∞μである。




ああー、何となく分かってきました。

内側の limn→∞ を外に出すと、≦になる。

けど、それでどのようにルベーグの収束定理を示すのでしょう?

何となく、limn→∞ と ≦ だけでは足りないよう気がします。

つまり・・・こう・・・・、limn→∞ みたいなものが必要なような・・・・。



上限と下限の式で、limn→∞=−limn→∞(−a)があります。

なので、ファトゥの補題を −f に対して適用すればよいのです。

追加事項



ところで、ボレル集合とは?



ボレル集合とは、開集合や閉集合の和集合・共通部分全体のことです。

例えば、閉集合や開集合はボレル集合ですし、開集合の共通部分の和集合もボレル集合です。

で、重要なことは、これらがすべて可測集合に含まれるということです。

つまり、開集合や閉区間などはすべて可測です。

むろん、半開区間も可測です。



では、ボレル集合族とは?



抽象論の測度論ではσ加法族を定義しましたよね?

しかし、具体的に、σ加法族を定義していません。

実際、「 σ加法性をもつ集合をσ加法族と呼ぶ! 」 と定義しただけでした。

具体的には、σ加法族 として 『 ボレル集合族 』 があります。

のボレル集合族とは、Θ)={ (a、b]:a、b∈、a<b } を含む最小のσ加法族です。

具体的には、Θ) を含むσ加法族全体の共通部分をとればよい。

実際、σ加法族の共通部分は再びσ加法族となります。

にボレル集合を入れると、連続関数 f: はボレル可測です。

実は、それだけではなくて、右連続(あるいは左連続)関数全体もボレル可測です。



σ加法族としてはボレル集合族以外にも考えられますよね?

なぜボレル集合族なのでしょう?



ボレル集合族は 「 基本的な集合を含む最小のσ加法族 」 と言えるからですね。

大きすぎず、小さすぎず、丁度よい大きさのσ加法族です。

なので、ボレル集合族は重要です。



えーと、混乱してきた。

まとめると・・・。

ユークリッド空間上で可測集合を定義した場合、そこには 『 ボレル集合 』 が含まれる。

一方、抽象論から出発した場合、そのσ加法族として 『 ボレル集合族 』 を採用できる。



そうです。



ところで、『 カラテオドリの外測度 』 とは?



普通に外測度のことだと思ってよいです。

ただし、最初に定義した外測度よりも抽象化した立場から定義されたものを意味します。



ところで、ルベーグの収束定理はどのような場面で用いられるのでしょう?



もはや、解析学の世界ではどこにでも用いられる感じですね。

ただ、とくに、フーリエ解析の理論は、かなり多くの場面で収束定理に依存していると言えるでしょう。

むろん、リーマン積分で議論する場合は、一様収束が有用になります。



フビニの定理は、具体的にどのように応用されるのでしょう?



例えば、合成積(たたみ込み積分)の存在証明に用いられます。



あれ?

合成積(たたみ込み積分)って、リーマン積分のフーリエ解析にもあったような・・・?



基本的に、ルベーグ積分に相当する定理はリーマン積分にもありますよ。

ただ、条件が異なるということです。