対談形式(量子力学、シュレディンガー方程式、シュレディンガーの猫)

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量子力学ではシュレディンガー方程式がよく登場しますよね。

よく登場する割に、シュレディンガー方程式の意味がよく分かりません。

一体、あれは何なのでしょう?



例えば、力学では運動方程式 F=ma が基本的ですよね。

運動方程式は物体の古典状態を決定します。

一方、シュレディンガー方程式は、粒子の量子状態を決定します。



古典状態、量子状態とは?



力学の世界では、質点の位置や運動量は明確に定まります。

一方、量子論の世界では、粒子の位置や運動量は確率的にしか表せません。

そこで、古典状態と量子状態と呼び分けています。



つまり、古典状態と量子状態は、普通に状態を表しているということですね。

しかし、なぜ 「 古典状態 」 と呼ぶのでしょう?

何が 「 古い 」 のでしょう?



量子力学が誕生する前の物理学を 『 古典物理学 』 と言います。

古典状態という名称は、これに由来します。

なので、古典という言葉自体に意味はありません。



では、量子の世界では、位置や運動量が確率的に表せないというのはどういうことですか?

粒子が小さすぎるので、正確には測定できないということですか?



たしかに、測定限界という問題はあります。

ただし、ここで述べている 「 確率的にしか表せない 」 というのは、そういう意味ではありません。

これは 「 観測技術とは無関係に、確率的にしか予測できないという性質がある 」 という意味です。



うーん・・・?

それは、粒子が溶けたような状態になっているということですか?

それとも、粒子の動きが速すぎるということですか?



いえ、違います。

例えば、下図のように2つのスリットとスクリーンを用意して粒子を打ち出します。

ただし、粒子は1つずつ打ち出して実験を繰り返すとします。

複数の粒子を同時に打ち出すわけではありません。(重要)



まず、穴2を閉じて、穴1だけを空けます。

すると、粒子は下図のような確率で検出されます。



次に、穴1を閉じて、穴2だけを空けます。

すると、粒子は下図のような確率で検出されます。



では、穴1と穴2を空けるとどうなるでしょうか?



もちろん、それは下図のようになりますよね。





日常的な経験から推測すれば、そうなりますよね。

しかし、実際には、下図のようになります。





え・・・スクリーンの中央部分で検出される可能性がなぜそんなに高くなるのでしょう?

普通に考えれば、穴1や2に近い部分でのみ確率が高くなるはずでは・・・?



実は、同様の結果は 「 水面の波の振幅 」 でも得られます。



つまり、検出面の中央部分で波の振幅が大きくなる。

その理由は、波が干渉し合っているからです。

とくに、中央部分では同じ位相をもった波が合体し、波の振幅が大きくなる。



波でそうなることは分かりましたけど・・・。

なぜ、同じような分布が 『 粒子 』 で得られるのでしょう?

粒子が他の粒子と干渉したということ?



いえ、最初に述べたように、粒子は 『 1つずつ 』 打ち出されています。

なので、粒子が他の粒子と干渉することはありません。

つまり、1つの粒子が自分自身と干渉したと考える他ない。



粒子が自分自身と干渉?

つまり・・・それは粒子が溶けているということではないのですか?



粒子が溶けているわけではありません。

実際、粒子を観測するとき、粒子はつねに粒子として観測されます。



これって、穴1と穴2に入る時点で観測するとどうなるのですか?



普通に 50% の確率でそれぞれ粒子が観測されるだけです。



・・・なんと。



なので、今回の実験結果を説明するには 『 確率波(物質波) 』 という概念を用いる他ありません。

つまり、実際に視ることはできませんが、粒子は観測される前の状態では確率波として存在している。

そして、この確率波が干渉し合うことで、検出面の中央部分での存在確率が高くなる。



確認ですが、その確率波として存在している粒子をそのまま観測することはできないのですか?

絶対に不可能?



直接に観測することは不可能です。

なぜなら、観測するという行為は、粒子に光を当てて、その光の反射を調べることを意味します。

しかし、粒子が光と干渉すると、確率波が収縮して1つの粒子になります。

それと、検出面のように巨視的な系と干渉した場合も確率波は収縮します。



え・・・それって、かなり不思議な現象では?



そうですね。

非常に不思議です。

現在(2017年)の科学でも、これに対する明確な答えは得られていません。



そうなのですか!?

ええと・・・しかし、何らかの説明はあるのでは?



確率波が収縮することの不思議を表す話として 『 シュレディンガーの猫 』 は有名ですね。



シュレディンガーの猫は聞いたことがあります!

漫画やゲームにもよく登場しますよね!?

でも、シュレディンガーの猫の話って、何かよく分からないのですが・・・。

あれって、どういうことなのでしょう?

素人にも分かるように最初から説明してもらえませんか?



箱の中に、ネコ、放射性ラジウム、放射線検出器、ハンマー、毒ガスの入った瓶を用意します。

時間が経過すると、放射性ラジウムはα粒子(放射線)を出します。

検出器がα粒子を検出すると、ハンマーが作動し、毒ガスの入った瓶を破壊します。

すると、毒ガスが箱の中を満たします。

すると、ネコが死にます。

しかし、放射性ラジウムが崩壊してα粒子が放射される現象は量子力学的現象です。

つまり、α粒子が放射される状態は確率的なものです。

むろん、この確率というのは日常的確率ではなくて、量子力学的確率です。

つまり、α粒子が 「 放射される状態 」 と 「 放射されない状態 」 の重ね合わせです。

すると、α粒子が検出される現象も確率的です。

つまり、 「 検出される状態 」 と 「 検出されない状態 」 の重ね合わせです。

すると、ハンマーが瓶を割る現象も確率的です。

すると、ネコの生死も確率的です。

むろん、これは量子力学的な確率です。

つまり、ネコは 「 生きている状態 」 と 「 死んでいる状態 」 の重ね合わせで表されます。

しかし、ネコの生死が共存するという現象は、受け入れ難い。

これはどういうことだろうか?・・・というのがシュレディンガーの猫です。



んんん・・・?

しかし、確率波は検出される時点で収縮するのでは?



そうですね。

便宜上、最初はそういう表現をしました。

しかし、本当に確率は検出される時点で収縮したのでしょうか?

もしかしたら、確率の収縮は、人間が実験結果を認識した時点で起こるのかもしれない。

つまり、本当に確率が収縮するのは、人が箱を空けて、ネコの生死を確認したときであるかもしれない。



・・・何だか、オカルトみたいな話ですね。

しかし、いくら何でもそれはおかしいのでは・・・?



そうですね。

つまり、シュレディンガーの猫は、どの段階で収縮するのかという問題を提示しています。

1930年頃、「 人間が認識する段階で収縮する 」 という主張がありました。

シュレディンガーは、その間にネコの生死を挟み込むことで、その奇妙さをうまく表現したのです。



たしかに、検出器の状態が確率的であるかもしれないというのは、まだ受け入れられますが・・・。

ネコの生死まで確率にされると、かなり受け入れ難いですね。

物理学者はこの問題をどのように考えているのですか?



現在(2017年)のところ、有力な主張は、

「 観測で識別される状態がデコヒーレントになる 」

・・・というものです。

つまり、観測で識別される状態が互いに量子論的な干渉を起こさない状態に移行する。

一方、観測結果の異なる状態が重なり合っているとすると解釈する人もいます。

これを 『 多世界解釈 』 という。

多世界解釈を支持する物理学者もいます。



多世界解釈・・・つまり、宇宙が分岐しているということ?

SFにあるパラレルワールドのような?



そうだったらおもしろいのですけれどね・・・。

そういう意味ではありません。



改めて質問ですけれど、シュレディンガー方程式とは何ですか?

この H、ψ、E は何なのでしょう?

これらは具体的にどのように表されるのでしょう?



シュレディンガー方程式は、例えば、Hφ=Eφ と表されます。

は 『 ハミルトニアン 』 と呼ばれます。

ψは 『 波動関数 』 です。

E は 『 エネルギー 』 です。

単純な場合についてハミルトニアンを具体的に表すと、



また、単純な波動関数としてψ(x)=Acoskx+Bsinkx があります。

計算すると、



上式の両辺とシュレディンガー方程式 Hψ=Eψを比較すると、





・・・。

計算過程は分かるのですが、それが何を意味するのか全く分かりません・・・。

そもそも、最後の結論が正しいという保証はどこにあるのでしょう?

つまり、波動関数のエネルギー E が最後の式で示された値であるという根拠はどこに?



その根拠は実験事実に依存します。

あるいは、「 なぜ成り立つか? 」 ではなくて 「 とにかく自然はそのようにできている 」 ということです。



いやいや、納得できませんよ!?

まるで、最初から答えを押し付けられているような理不尽な感じがします。



いや、これは答えを押しつけているわけではありませんよ。

そもそも、同様の話は力学にもあったはずです。

実際、なぜ運動方程式 F=ma が成り立つのか説明できますか?



運動方程式が成り立つ理由ですか・・・?

えっと、それは 「 当然 」 では?



当然?本当に?



え・・・?え・・・?えっと・・・。

力 F を加えると・・・、物体が加速する・・・。

当然です・・・よね?



たしかに、力を加えると加速していますね。

しかし、例えば、「 力を加え続けている間は等速度運動する 」 とならないのはなぜ?

あるいは、力を加えることを中断したときに物体が静止してもよいではありませんか。

なぜ、力を加えることをやめても、物体は動き続けるのでしょう?



ううう・・・?

それは、力を加えることは止めた途端に物体が止まったらおかしいからですよね?



それは、

「 運動方程式が成り立つのは当然だ。なぜなら、運動方程式が成り立たないとおかしいからだ 」

・・・などと述べているようなものですよ。

何も説明になっていません。

それと、よく知られているように、相対性理論には 「 光速度不変性 」 があります。

つまり、光は通常の力学には収まらない性質をもっています。

このような状況で、運動方程式が成り立つことは当然であると言えるでしょうか?

しかし、現在(2017年)の科学で、力学や運動方程式は正しいとされていますよね?

その根拠は?



その根拠は・・・実験で確認されているから・・・です。



そのセリフは、私が上で述べたことと同じです。

シュレディンガー方程式の正当性は、実験事実によって保障されています。



本当だ・・・。

あれ・・・なぜ、こんなことに?



まず、何か理論を立てるとき、最初の出発点となる事柄があるはずです。

これは出発点なのですから、他の理論から導くことはできません。

よって、これは 『 実験的に確認された事実 』 を採用する他ありません。

しかし、一般の人に、

「 実験で確認されているから正しい 」

・・・と説明すると、

「 なぜすべて試したわけでもないのに、そんなことが断言できるんだ!科学者は頭が固い! 」

・・・という反論が返ってくることがあります。

その理由は、世間的には 「 実験で確認された 」 ということが軽視されるからです。

むろん、1つの実験だけでは、間違いが出ることもあります。

しかし、多く再現性が確認され、十分に検証された結果は信用できるものです。

世間的には、十分に実験されていることが知られていないので、このような誤解が生まれる。



つまり、私が知らないだけで、シュレディンガー方程式の正当性を確認した実験が多くある?



そうです。

力学では、実験によって運動方程式の正当性を確認し、運動方程式を認め、そこから理論を構築しました。

一方、量子力学では、シュレディンガー方程式を認めて、そこから理論を出発します。

なので、

「 シュレディンガー方程式が成り立つのはなぜか? 」

・・・という疑問には意味がありません。

むろん、疑問をもってはいけないということではありません。

ただ、この辺りのことに心を引っ張られると、理解力が下がる可能性があるので注意したい。

まずは 「 何から何が導かれるのか 」 ということに注目した方がよいでしょう。



具体的に、シュレディンガー方程式の正当性を示す実験とは?



例えば、シュレディンガー方程式から 『 原子軌道 』 を導出できます。

つまり、1s軌道、2s軌道、2p軌道、3d軌道などです。

その他、MOS界面、量子細線、コンダクタンスなど、色々あります。



なるほど、その辺りは納得しました。

では、シュレディンガー方程式はどのように発見されたのでしょう?

例えば、運動方程式は 「 斜めに設置したレールの上で物体を転がす 」 などの方法で確認できますよね。

ガリレオなどが加速度などを検証していたと思います。

だから、運動方程式が発見された経緯は、何となく分かります。

しかし、シュレディンガー方程式は?



シュレディンガー方程式を導くことはできますよ。

まず・・・。



ちょ、ちょっと待ってください。

シュレディンガー方程式を導くことができるのですか!?

「 シュレディンガー方程式は基本法則だから認めるしかない 」 という話はどうなったのですか???



あー・・・。

とりあえず、落ち着いてください。

「 導出 」 といっても、ほとんど 「 言い換え 」 のようなものなので。

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まず、1つ目の導出法を紹介します。

いま、両端を固定した弦の振動を考えます。

ここで、張力に対して(力学の)運動方程式を立てます。

すると、波動方程式 utt(x、t)=vxx(x、t) が得られます。

ここに、ド・ブロイ波 λ=h/p を代入します。

すると、シュレディンガー方程式が得られます。

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まず、2つ目の導出法を紹介します。

いま、量子状態を記述する式 ψ(x、y) があるとします。

つまり、ψ(x、t)は波動関数です。

ここに 「 瞬間的因果律 」 と 「 線形性 」 を要請します。

すると、シュレディンガー方程式が得られます。

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以上の内容をまとめると、

(*1) 弦の振動+ド・ブロイ波 → シュレディンガー方程式

(*2) 瞬間的因果律+線形性→シュレディンガー方程式

むろん、シュレディンガー方程式の導出はこれだけではありません。

他にも、シュレディンガー方程式とほとんど同値な条件がいくつかあります。


ド・ブロイ波とは?



確率波の波長です。

注目すべきは、ド・ブロイ波の式 λ=h/p において p は 『 粒子の性質 』 であるということです。

つまり、運動量の大きい粒子であれば、確率波長は小さくなる。

一方、運動量の小さい粒子であれば、確率波長は大きくなる。

例えば、巨視的なボールであれば、確率波はほとんど 0 です。

一方、電子などの粒子であれば、確率波が大きくなる。

つまり、ド・ブロイ波の式は、波動性と粒子性をつなぐ式です。

ただし、弦の振動にド・ブロイ波を代入することの正当性は示していません。

なので、シュレディンガー方程式を導出したと言うよりも、単なる言い換えに近い。

むろん、興味深いことではありますけれど。

ちなみに、具体的な計算は対談には収まらないので、知りたい人は本編を参照です。



なるほど。

では、瞬間的因果律とは?



瞬間的因果律とは、ψ(t)に対してψ(t+Δt) が定まるという法則です。

つまり、

「 粒子の状態を記述する方程式があるとすれば、それは瞬間的因果律を満たすはずだ 」

・・・と考えるのです。

そこで、瞬間的因果律を要請(仮定)することで、方程式が満たすべき条件を考えます。

すると、シュレディンガー方程式が現れる。

ちなみに、具体的な計算は対談には収まらないので、知りたい人は本編を参照です。



ふーん・・・?

何だか、順番が逆なような気がします。

導きたいものを最初に仮定して、導きたいものを導く・・・???



これは特殊な方法ではありませんよ。

同様の議論は、数学・科学で広く用いられています。

例えば、高校数学やルベーグ積分論などです。



え・・・高校数学にそのような議論って、ありましたっけ?



同じとは言いませんが、同様のことはしています。

例えば、f(x) が最大値をとる点を求めたいとします。

このとき、

「 その点では df(x)/dx=0 となるはずだ 」

・・・と考えて問題を解きますよね。

むろん、これだけでは、その点で最大値となるのか最小値となるのか区別できません。

なので、その辺りのことを議論する必要はあります。

それと、そもそも、最大値・最小値が存在しない可能性もあります。

それでも、df(x)/dx=0 を試してみる価値はあります。

それと同じことです。



これって、物理学者シュレディンガー本人は、シュレディンガー方程式をどのように考えていたのですか?



シュレディンガー本人の思想そのものを、私は知りません。

ただ、シュレディンガー本人も、シュレディンガー方程式を完全に理解していたわけではないと思いますよ。

そして、これは当然のことです。

例えば、ニュートンは万有引力を発見しました。

しかし、ニュートンが万有引力を理解していたわけではありません。

実際、現在(2017年)でさえ、万有引力が解明されているわけではありませんからね。

万有引力の起源を解くカギとなるヒッグス粒子は発見されましたが、まだ分からないことは多い。