対談形式(線形代数)

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線形代数って何なのでしょう?


線形代数とは、ベクトル空間と線形写像の理論です。


ベクトル空間と線形写像とは?


ベクトル空間とは、和とスカラー倍が定義された集合のことです。

線形写像とは、線形性を満たす写像のことです。

写像とは、関数のことだと思ってよいです。


和とスカラー倍って何ですか?


和とは、足し算のことです。

スカラー倍とは、定数倍することです。


つまり、ベクトル空間は、足し算と定数倍が定義された集合・・・なのですか?


そうです。


え、でも・・・足し算と定数倍なんて、普通ですよね。

それを 「 定義する 」 というのはどういうことでしょう?



たしかに、私たちは和とスカラー倍には慣れ親しんでいますね。

けれども、和とスカラー倍が、つねに、あらゆる数学的対象に定義されているわけではありませんよね?


え・・・?

和とスカラー倍が定義されていない数学なんてありますか・・・?


例えば、こういうのはどうでしょう?

a を1つの実数とします。

を3次元のベクトルとします。

このとき、a+b という和を考えることができるでしょうか?


『 数 』 と 『 ベクトル 』 の和ですか?

それは計算できませんね・・・。


その通りです。

計算できません。

ここで、個々の具象を超えた数学的構造が視えてきます。

その数学的構造とは、和とスカラー倍が定義された集合です。

これを 『 ベクトル空間 』 と呼ぶのです。

つまり、次のように言える。

(1) 実数全体は1つのベクトル空間である。

(2) 3次元ベクトル全体は1つのベクトル空間である。

このように、実数全体と3次元ベクトル全体を区別できます。

むろん、多くの人は 「 実数とベクトルの間に和を定義することはできない 」 と知っています。

けれども、多くの人は、これを無意識的に区別しているだけです。

『 ベクトル空間 』 という言葉を用いることで、この区別を明確にしたわけです。


ということは、2次元ベクトル全体も、1つのベクトル空間になりますか?


その通りです。

その他、4次元ベクトルも、5次元ベクトルも、n次元ベクトルも、ベクトル空間となります。

これ以外にも、座標、関数、数列など、様々なベクトル空間があります。


ええ・・・?

関数や数列もベクトル空間になるのですか?


そうです。

ただし、この辺りは教科書で学んだ方がよいでしょう。

ここでは省略します。


では、線形写像というのは?


先ほども述べましたが、線形写像とは、線形性を満たす写像のことです。


線形性とは、何ですか?


線形性とは、簡単に言えば、原点を通る1次関数のことです。


原点を通る1次関数・・・って、それは中学生でも分かる内容ですよね?


その通りです。

1次関数は 『 関数 』 ですが、同じようなことを 『 写像 』 について考えるのです。

それが線形写像というわけです。


ふーむ。

これが 『 ベクトル空間 』 と 『 線形写像 』 か・・・。

この2つを合わせた理論が 『 線形代数 』 なのですね?


そうです。


線形代数の教科書を少し読んでみたのですけれど、色々なテーマがありますよね。

まず、行列とは?


行列というのは、数を縦横に並べたものです。

例えば、次のようなものが行列です。



1つ目は 『 2次行列 』 です。

2つ目は 『 3次行列 』 です。


これで何をどうするのですか?


行列に和と積を定義します。

この 『 積 』 の定義が独特で、これが色々とおもしろい性質を生み出します。

行列の積は、次のように定義します。



・・・独特ですね。

なぜこのような定義になっているのでしょう?



理由は 「 線形性を保存するから 」 です。

あるいは、線形性を保存するように定義されていると言ってもよい。

行列の積を上記のように定義すると、線形写像と行列を同一視できるのです。



むむむ・・・難しいですね。


そうですね。

いまの話は少し難しいかもしれません。

もう少し具体的な例で言うと、例えば、行列は漸化式の解法に応用されます。

そういう応用を見ると、行列の積の定義を受け入れるようになると思います。



初学の段階で理由がよく分からないのは仕方ない?


そうですね。

そもそも、風変わりでない定義とは何だ?という気もしますが。

例えば、次のように定義すればよいのでしょうか?



しかし、これは 『 数の積 』 を並べているだけなので、何も意味はありません。


ところで、行列式とは?


例えば、次のような行列を考えます。



この行列式は detA=a−a です。

detA の代わりに|A|と表すことも多いです。


一体、これで何をどうするのですか?


例えば、次のような連立1次方程式を考えます。



これを解くと、



この分母と分子は、行列式と同じ形をしていますよね。

とくに、連立1次方程式の係数を並べた行列を 『 係数行列 』 と呼びます。

さらに、右辺の定数項を含めたものを 『 拡大係数行列 』 と呼びます。

(*)の分母は、係数行列の行列式です。

(*)の分子は、拡大係数行列の部分行列の行列式です。


本当ですね・・・何がどういうわけでこうなったのでしょう?


その辺りは準備が必要なので、詳しくは教科書を参照です。

ただ、連立1次方程式を解くときに、式の両辺について和とスカラー倍を考えますよね。

この操作をそのまま行列に移し替えることができるのです。

これは 『 行列の基本変形 』 です。

このように、連立1次方程式と行列は深く関連しています。

ちなみに、上記の関係は3変数の連立1次方程式についても成り立ちます。

つまり、連立1次方程式の解は、行列式で記述できる。

これは 『 クラメルの公式 』 と呼ばれます。


ところで、余因子展開とは?


余因子展開とは、行列式を展開する方法のことです。

n 次行列式を余因子展開すると、(n−1)次行列式の和になります。


へー、つまり、行列式を分解して、次数を1つ下げる?


そうです。


ところで、rank とは?


よく知られていると思いますが、変数と1次方程式の個数は同じですよね。

例えば、変数が2つなら、2つの式からなる連立1次方程式が必要です。

例えば、変数が3つなら、3つの式からなる連立1次方程式が必要です。

そうしないと解が定まらない。


そうですね。

でも、時々、式を見つけるのに失敗しちゃって、連立1次方程式が解けないことがあります。

1次方程式を揃えたのに、解が定まらなかったりします。


つまり、それは、余分な1次方程式が含まれていたということですね。

rank は 「 ある連立1次方程式が余分な式を含んでいるか否か 」 を意味します。

rank が、行列の次数よりも小さいと、行列式の値は 0 になります。


ところで、掃き出し法とは?

これは 『 ガウスの消去法 』 とも呼ばれるようですね。


掃き出し法は、連立1次方程式を計算する技巧のことです。

連立1次方程式の計算を、行列に置き換えて行います。


ふーん?

しかし、それって・・・意味ありますかね?

連立1次方程式なんて、普通に計算すればよいのでは?


たしかに、これだけだと掃き出し法の意味が伝わりづらいですね。

初級者向けの本だと、連立1次方程式の計算を行列に置き換えるだけで終わってしまう場合があります。


つまり、さらに深い意味があると?


はい。

掃き出し法の理論をしっかりと学ぶと、連立1次方程式の一般解が得られます。

一般解というのは、解のすべてを表す式です。

とくに、連立1次方程式の解が、任意定数をもつ場合も含めて表せます。

この辺りは 『 数値解析(線形計算)』 への入口です。


ほへー。

連立1次方程式の一般解か。

そもそも、考えたことがなかったです・・・。

いつも、何か計算して、解が出たーとか、出なかったーとか、そんな感じです。



掃き出し法の理論を学べば、

「 解ける連立1次方程式と、解けない連立1次方程式の違いは何か? 」

・・・ということが分かります。


ところで、1次独立、1次従属とは?


1次独立というのは、ベクトルがバラバラな向きを向いているということです。

1次従属というのは、ベクトルが本質的には同じ向きを向いているということです。



うーん、どういうことでしょう?


例えば、平面座標を考えましょう。

平面上で2つの位置ベクトル a=(1、0) と b=(0、1) を考えます。

つまり、a は、原点(0、0)から(1、0)へ向かうベクトルです。

また、b は、原点(0、0)から(0、1)へ向かうベクトルです。

いま、平面上のすべての位置ベクトルは a と b で表せます。


それは高校数学でもやりましたね。

例えば、c=(2、3)ならば、c=2a+3b ですね?


その通りです。

これは、a と b が1次独立だから可能なのです。

では、a と b を次のように定義したらどうでしょう?

(*1) a=(1、0)

(*2) b=(2、0)


あ・・・。

それだと、c=(2、3) を表すことはできませんね。


そうです。

なぜなら、a と b が同じ向きを向いている・・・つまり、1次従属だからです。

同様のことが、3次元ベクトルについても議論できます。

ただし、3次元ベクトルになると、もう少し話が広がる。


ところで、基底とは?


基底とは、1次独立な生成系のことですね。

生成系とは、ベクトル空間の任意の元を、1次結合で再現できる集合のことです。

例えば、2次元平面では、2つの1次独立なベクトルが取れました。

これは基底です。

実際、2次元平面上の任意のベクトルを、この2つのベクトルの1次結合で表せます。


ところで、基底変換行列とは?


既に書いたように、平面上の点は基底で表せます。

つまり、基底とは、本質的に座標と同じです。

そして、平面上の基底は、(1、0)と(0、1)以外にも、いくらでも存在します。

例えば、(1、0)と(0、−1)でもよい。

基底として、色々なベクトルを選べるわけです。

では、基底と基底の間に何か関係はあるのでしょうか?

実は、あるのです。

それが 『 基底変換行列 』 です。


ところで、固有値とは?


A を行列とします。

v をベクトルとします。

ある実数λが存在して、Ax=λA となるとします。

このとき、λを A の固有値と言います。


ところで、対角化とは?


A を行列とします。

ある行列 P が存在して、B=P−1AP が対角行列になるとします。

対角行列とは、次の形をした行列のことです。



このように、B が対角行列となるとき、「 行列 A は対角化可能である 」 といいます。


へー、それって、どのような行列でも対角化できるのですか?


いえ、すべての行列が対角化できるわけではありません。

だから、どのような行列ならば対角化可能なのか気になるところですよね。

それを線形代数で学ぶわけです。

行列の対角化は、工学、物理学など、様々な分野で重要です。


では、具体的に、どのような条件ならば対角化可能なのでしょう?


次は同値です。

(*1) 行列 A が対角化可能である。

(*2) 「 A の固有値の代数的重複度 」=「 A の固有値の幾何学的重複度 」

代数的重複度とは、固有多項式の重複度のことです。

幾何的重複度とは、固有空間の次元のことです。

固有値・対角化の証明は省略します。

要するに、行列を対角化するときに、各ステップがなぜ成り立つのかを考えることが重要です。


なるほど、なるほど。

・・・ふう。

・・・って、結局、何がどうなっているのでしたっけ?

色々と頭に詰め込みすぎて混乱気味です・・・。


線形代数の主なテーマは 『 連立1次方程式の理論 』 と 『 固有値・対角化の理論 』 です。

連立1次方程式の理論では、行列、行列式、rank、掃き出し法が重要です。

固有値・対角化の理論では、ベクトル空間、1次独立、1次従属、基底変換行列が重要です。



2つの大きな流れがあるのですね。


そうですね。

もう1つ、別の見方もできます。

行列式の理論では次の同値性が示されます。

(*) A は正則行列である。

(*) |A|≠0

rankの理論では次の同値性が示されます。

(*) A は正則行列である。

(*) rankA=n

ベクトル空間の理論では次の同値性が示されます。

(*) A は正則行列である。

(*) A の列ベクトルは1次独立である。

(*) A の行ベクトルは1次独立である。



つまり、線形代数とは、正則行列の同値条件を議論する分野?


そうですね。

そういう見方もできそうです。

同じように、複素解析は、正則関数の同値条件を議論する分野であると言えるかもしれません。

このように、大局的な視点をもつことは重要かもしれませんね。

「 結局、これってこういうことじゃん 」 という具合に。

その他



ところで、表現行列とは?



f:V→W を線形写像とします。

V と W の基底を決めます。

すると、自然に1つの行列が定まります。(定義は省略します)

これを 『 f の表現行列 』 と言います。

線形写像とその表現行列は1対1で対応しています。

つまり、表現行列は、線形写像を行列で表現したものです。



そう言えば、表現論と呼ばれる分野がありますよね。

もしかして、表現行列は表現論と関連がありますか?



強く関連していますよ。

表現論を学びたいのであれば、表現行列に関する理解は必須ですね。



ところで、『 行列のトレース 』 とは?



A=(aij) を n 次行列とします。

trA=a11+・・・+ann と定義します。

これを 『 A のトレース 』 と言います。

つまり、トレースとは、行列の対角成分の総和です。



ふむふむ。

しかし・・・これは何なのでしょう?

線形代数の教科書に trA は登場するのですが、議論にはほとんど絡んできませんよね。

演習問題とかで少し登場するだけで、何となく 「 とりあえず載っている 」 という感じです。

トーレスという概念はどのような分野に応用されるのでしょう?



例えば、表現論で有用です。

表現論の世界では 『 指標 』 という概念に出会います。

表現論の指標は、表現行列のトレースです。



ところで、スペクトル分解とは?


スペクトル分解とは、線形変換を正射影の和で表すことを意味します。

しかも、その係数が線形変換の固有値になる。

つまり、φを線形変換とすると、φ=λ+・・・+λ ( λは固有値、p は正射影 )

これがスペクトル分解です。

他にも、次のように表現できますね。

(*1) スペクトル分解とは、線形変換を比例拡大の和で表すこと 」 を意味します。

(*2) スペクトル分解とは、固有値問題の言い換えである。



ふむふむ、スペクトル分解は、線形変換を分解することなのか・・・。

そういえば、ベクトルに対して同様の議論をしたことがあるような・・・?


そうですね。

以下の議論はいずれも類似しています。

(*1) ベクトル空間で、基底を用いてベクトルを v=x+・・・+x と分解する。

(*2) 内積空間で、正規直交基底を用いて、ベクトルを v=x+・・・+x と分解する。

(*3) 正射影を用いて、線形変換をφ=λ+・・・+λ と分解する。

むろん、(*3)がスペクトル分解です。



ところで、スペクトル分解の 『 スペクトル 』 とは、どういう意味ですか?


固有値全体という意味です。

固有値を重複なく綺麗に分類することがスペクトル分解であり、これが固有値問題を解くということです。


ところで、対称行列の対角化とは?

他にも、エルミート行列や正規行列の対角化に関する議論があるようですが・・・。

しかし、行列の対角化に関する議論にはかなり苦戦したので・・・少し恐いです。


それほど難しい議論ではありませんよ。

むしろ、行列の対角化(の同値条件)に関する議論よりも簡単です。


え・・・そうなのですか?


対称行列は必ず対角化できます。

同値条件を議論する必要がありません。

なので議論は簡単です。

ちなみに、議論は次の2通りあります。

(*1) 三角化定理によって示す。

(*2) スペクトル分解によって示す。



へー・・・スペクトル分解で示す方法とはどのようなものだろう・・・?


それほど難しい議論ではありません。

スペクトル分解によってベクトル空間を固有空間の直和として表せます。

これによって正規直交基底を構成し、その表現行列を考えるのです。



ところで、双1次形式とは?

他にも、2次形式とか、多重線形写像とか、色々あるようですね。


f:V×・・・×V→W は、各変数に関して線形であるとします。

つまり、f(v、・・・、v)は、各 v、・・・、v に関して線形であるとします。

このとき、f を 『 p重線形写像 』 と言います。

とくに、f:V×V→W の場合、f を 『 双線形写像 』 と言います。

とくに、f:V×V→K の場合を 『 双1次形式 』 と言います。

これは 『 内積 』 の一般化です。

とくに、f(x、y)=f(y、x)が成り立つ場合、f を 『 対称双1次形式 』 と言います。

一方、f(x、y)=−f(x、y)が成り立つ場合、f を 『 交代双1次形式 』 と言います。

同様に、『 エルミート形式 』 などを考えることができます。

また、双1次形式の定義域を対角集合上に制限したものを 『 2次形式 』 と言います。

対角集合とは、△={(x、x)|x∈V } です。

2次形式は、高校数学で知られる 『 楕円の方程式 』 の一般化です。



うひゃー、色々ありますね。



そうですね。

ただ、いずれも線形写像の理論が基礎となっています。

同様の議論を繰り返すだけなので、その意味では新しい概念ではありません。



ところで、ジョルダン標準形とは?


すべての行列が対角化できるわけではないということは知っていますよね?

そこで、なるべく対角行列に近い形にしたいとする発想が生まれます。

それが 『 ジョルダン標準形 』 です。

ジョルダン標準形は、対角化できない行列に対する次善の策というわけですね。

ジョルダン標準形は、微分方程式などへの応用があります。


ところで、一般逆行列とは?


よく知られている 『 逆行列 』 は正方行列に対してのみ定義されますよね。

それをさらに一般化して、正方行列でない行列に対しても逆行列を定義するのです。

一般逆行列は 『 行列分解 』 というテーマで用いられます。


ところで、行列分解とは?


名前の通り、行列を分解します。

例えば、正方行列を 「 交代行列+対称行列 」 の形に分解できることは有名ですね。

他にも様々な分解方法があります。

あまりにも多いので、もはや行列分解が1つの分野ですね。

行列分解は、数値解析、統計学、経済学、工学など、様々な分野に応用されています。


ところで、テンソルとは?


テンソルとは、行列とベクトルの一般化です。

行列は平面に並んだ数を意味していましたよね?

これを立体的に並べたものがテンソルです。

ただし、さらに議論を一般化することもできます。

テンソルは、幾何学・物理学の世界で重要です。

例えば、アインシュタインの相対性理論で有名な重力の方程式はテンソルによって記述されます。


ところで、接空間とは?

この辺りは線形代数というよりも、幾何学に近いようですが・・・。


曲面を想像してください。

曲面上に、2つの曲線が描かれているとします。

曲面上の点 P において、2つの曲線が交差しているとします。

この点 P において、曲線の接ベクトルを考えてください。

曲線の接ベクトルとは、その曲線を微分したもので、速度ベクトルのことです。

厳密な定義は省略しますが、微分積分学を知っている人ならば、意味は分かるでしょう。

1変数ベクトル値関数の微分です。

さて、いま、2つの速度ベクトルがありますね。

そして、この2つのベクトルは異なる方向を向いている。

つまり、この2つのベクトルは1次独立(線形独立)です。

よって、この2つのベクトルを基底とするベクトル空間を考えることができます。

このベクトル空間とは、接平面のことです。

このように接平面が定義できました。

これは微分幾何学の基本です。

ちなみに、微分幾何学の世界では、さらに n 次元の接平面を考えたりします。

n 次元の接平面は 『 接空間 』 と呼ばれます。

この辺りの話をさらに抽象化させたものが 『 多様体 』 です。

微分幾何や多様体論は、微分方程式や物理学と深く関連します。


ところで、線形代数は、本によって内容が異なって見えることが多いように思えます。


線形代数の本は、数学の中では内容は統一されている方だと思いますけれどね。

ただ、線形代数の定理は、ほとんどすべてに2通り以上の証明を与えることが可能です。

例えば、行列の計算を、行列式の理論で導くこともできるし、ベクトル空間で導くこともできます。

例えば、行列式を一般化して外積代数を考えることもできます。

例えば、次元定理を示すときに、準同型定理から導く場合もあれば、直接的に示す場合もあります。

例えば、ジョルダン標準形を示す場合、単因子論を用いる方法もあれば、用いない方法もあります。

なので、書物によって異なって見える場合があるかもしれませんね。

ただし、書物によって議論の道筋が異なることは、どの分野についても言えることです。

また、一見すると異なって見えても、本質的な内容は同じです。

高校では、教科書の内容は、ほとんど一意に定まっていました。

しかし、大学以降では、話をどこまで一般化するかによって議論の道筋が変わります。

高校と大学のギャップで苦しむ人は多いのは、この辺りに原因があるかもしれませんね。