対談形式(よくある質問〜その1)

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数学書を読んでいるときに、「 明らかに〜である 」 という文章が出てきますよね。

でも、それで明らかだと思ったことがありません。

とくに、考えて分からなかったときは非常に傷つきます・・・。


日常で 『 明らか 』 は 「 考えるまでもなく当たり前のこと 」 を意味します。

なので、明らかと言われて理解できなかったら傷つくかもしれませんね。

しかし、数学書に登場する 『 明らか 』 を必ずしもそのような意味で捉える必要はありません。

これは 「 定義を追跡して落ち着いて考えれば理解できるはずですよ 」 という意味で捉えればよい。

だから、「 明らかに〜 」 という文が出てきたらじっくり考えればよいのです。

また、よく言われることですが、これは本当に 『 慣れ 』 の問題でもあります。

最初は考えても分からなかったことが、しばらくすると本当に簡単に分かってしまうこともあるのです。


数学書には 『 天下り的に書き下す 』 という表現も出ますよね。

あれはどういう意味なのでしょう?


例えば、定数 e は次のように定義されます。



けれども、定義は何でも自由に決めてよいというものではありません。

例えば、(*)の右辺が収束せず、極限値が存在しないとしたらどうでしょう?

この場合、ありもしない極現値を仮定してそれを e とおくことになります。

それは定義として正しくありません。

よって、(*)のように e を定義するためには、本来、右辺が収束することを示す必要があります。

けれども、右辺が収束するということの証明は初歩的な解析学の内容です。

そのようなものを、e が出てくる度に毎回証明を掘り起こす必要はないでしょう。

そういうときは 「 天下り的に e を(*)で定義する 」 などという。

要するに、細かい議論を省略して結論だけ述べるとき、天下り的という言葉を使用します。


『 初等的 』 という言葉もよく登場するように思います。

これは 『 簡単な 』 という意味で考えてよいのですか?


そうですね。

概ね、初等的とは 「 高校程度の知識で理解できる内容 」 というニュアンスがあると思います。

ただし、明確な意味が定まっているわけではありません。


『 一般化する 』 という言葉もよく登場するように思います。

これは・・・?


科学の世界において、一般化とは 「 理論を広い範囲に適用できるようにすること 」 を意味します。

世間でよく言われる 『 一般的 』 とは意味が全く異なるので注意ですね。

例えば、『 一般化された定理 』 とは、広い範囲に適用できる優れた定理を意味します。

これは 「 一般的に広く知られている 」 という意味ではないので注意ですね。



ふむふむ・・・。

具体的にどういうものがありますか?



集合論の 『 写像 』 は、高校で学ぶ関数の一般化(あるいは抽象化)です。



写像とは?



高校では1次関数 f(x)=3x などを学びますね。

これは、x=1 を入力すると、3 が出力されます。

むろん、x=2 を入力すると、6 が出力されます。

つまり、『 1つの実数 』 に対して 『 1つの実数 』 が対応しているわけですね。

このような関数を 『 1変数実数値関数 』 といいます。

けれども、他にも色々な対応関係を考えることができます。

例えば、f(x、y)=x+y という関数を考えることもできます。

これは、(1、1)を入力すると、2 を出力します。

むろん、(1、2)を入力すると、5 を出力します。

つまり、『 2つの実数 』 に対して 『 1つの実数 』 が対応しています。

このような関数を 『 2変数実数値関数 』 といいます。

その他、複素数に複素数を対応させることもできます。

位相空間の点を対応させることもできます。

多様体上で関数を考えることもできます。

このように色々な対応関係があります。

そこで、具体的な数学的な対象ではなくて、単なる 『 点 』 の対応関係を考えます。

これが 『 写像 』 です。

ここで得られた理論は、他のすべての分野に応用できます。


「 抽象化 」 という言葉を用いられるように思います。

何となく、抽象化してしまったらダメなんじゃないかと思うのですが・・・。


世間で言われる 「 抽象化 」 と、理論の世界での 「 抽象化 」 は意味が正反対です。

世間的には、「 話が抽象的だ 」 というと、話が曖昧で中身がないことを意味します。

一方、理論の世界で 「 抽象化 」 とは 「 本質的に重要な性質を抜き出して公理化すること 」 です。

例えば、高校数学の 『 内積 』 から本質的な性質を抜き出して 『 内積空間 』 を考えます。

これによって 『 距離 』 や 『 角度 』 という概念の本質を調べることができます。



『 代数幾何学 』 や 『 代数解析学 』 という分野があるそうですね。

それなら、『 解析幾何学 』 や 『 幾何代数学 』 という分野もあるのでしょうか?

あまり聞いたことがないのですが・・・。



昔は 『 解析幾何学 』 という標準的な科目はあったようです。

しかし、現在(2016年)では、あまり見かけませんね。

その解析幾何学では、2次曲線や2次曲面などを扱っていました。

つまり、放物線や楕円のことです。

これは、現在の微分積分、曲線・曲面論、幾何学の世界に散らばっていると言えるかもしれません。

幾何代数学は・・・聞いたことがありませんね。

ただ、最近は 『 幾何的群論 』 と呼ばれる分野が成長しています。



そもそも、解析学、代数学、幾何学ってどういう意味なのでしょう?

何となく意味は分かるのですが・・・。


その 「 何となく 」 でよいですよ。

別に、明確な定義があるわけではありません。

ただ、解析学は 「 極限を考える分野 」 と言えるかもしれませんね。

また、代数学は 「 代数系を考える分野 」 と言えるでしょう。



代数系とは?


代数系とは、例えば、群・環・体のことです。

これは 『 数 』 という概念を、もう少し広い立場から考えたものです。



解析学、代数学、幾何学は、それぞれ別の分野なのですか?


昔はそうだったようです。

しかし、1900年以降は、互いに密接に関連するようになりました。

とくに、1930年頃に 『 固有値問題 』 が注目されたことが大きな契機になったようです

無限次元のベクトル空間の中で解析学と代数学が混ざり、幾何的な構造が発見された。



解析学、代数学、幾何学は対等な関係ではなくて、「 解析学×代数学 → 幾何学 」 みたいな感じ?


そういう見方もあります。

また、解析学は 「 連続の世界 」 であり、代数学は 「 離散の世界 」 です。

何となく、解析学と代数学が対をなしていて、幾何学は両方に溶け込んでいるように思える。

むろん、どのように考えるかは個人の自由です。

「 正しい見方 」 があるのではなくて、自分なりの見方をもつことが重要なのだろうと思います。



「 大学では、とにかく 『 線形代数 』 が重要だ 」 という話を聞きました。

やはり、重要なのですか?



線形代数は重要ですね。

ほとんどすべての数学の分野で必要ですし、工学の世界にも応用されています。

線形代数の主なテーマは次の通りです。

(*) 連立1次方程式、行列分解、対角化、スペクトル分解、ジョルダン標準形、内積空間

連立1次方程式は、統計学などの分野で有用です。

行列分解は、最適化問題・経済学などの分野で有用です。

対角化とスペクトル分解は、関数解析などの分野と関連しています。

ジョルダン標準形は、微分方程式で有用です。

内積空間は、幾何学や関数解析の世界で有用です。

ただし、統計学、最適化問題、関数解析、幾何学は相互に関係しています。

なので、「 ○○は××に応用されている 」 ということを神経質に意識したり覚える必要はありません。

ここで述べていることは概ねの傾向です。

すべての分野は何らかの形で関連していると考えてよいでしょう。


それと、代数学という分野もあるようですが・・・。

やはり、線形代数と代数学は関連があるのですか?


線形代数の有名な定理として 『 次元定理 』 があります。

これを式で表すと、「 dimV=dim(Kerf)+dim(Imf) 」 です。

これは代数学の定理 『 準同型定理 』 と関連が深い。

また、ジョルダン標準形は、代数学の 『 単因子論 』 と関連が深い。

このように、線形代数の世界には代数学とつながる道がいくつかあります。


公式を覚えて、これをテストで使用してもよいでしょうか?

例えば、微分方程式には多くの一般解があると思います。

これを暗記して、テストで値を代入して、これを計算結果として答えに書いてもよいのでしょうか?


もちろん、よいです。

ただし、その公式の導出を問われている場合は、0点になる可能性があります。


定理の証明はすべて読まなければならないのでしょうか?

正しいということが分かっているのであれば、定理の証明は読まなくてもよいのでは?

例えば、テレビを観るときに、テレビの構造を理解する必要はありません。


まず、学科によるかもしれませんね。

理論系では、証明を理解することが重視されます。

実験系では、計算が重視されるかもしれません。

ただし、これは 『 0か1かの問題 』 ではありません。

理論系でも計算は重要ですし、実験系でも証明を読むことは重要です。

証明を読むことの利点は、次の2つです。

(1) 数学的な考え方を鍛えることができる。

(2) 定理に対する理解を深めることができる。

とくに、実験系では 「 定理なんて使えればいいじゃん♪ 」 という人が多いかもしれません。

しかし、これは定理の条件を甘く考えている可能性があります。

定理を使うときには、それが条件に合っているかどうかを確認する必要があります。

つまり、定理を使用するためには、ある程度の知識が必要なのです。

この意味で、定理は 『 誰でも使えるテレビ 』 とは意味が異なります。

例えば、特異点のある領域を囲む形でコーシーの積分定理を使用することは間違いです。

しかし、証明を理解することを怠ると、なぜ使用できないのか意味が分からなくなります。

それと、証明を読むことは、理論を理解するトレーニングになります。

証明には、理論を理解するために必要な 『 基礎 』 が詰まっています。


『 特殊 』 とか 『 一般 』 という言葉を聞くことがあるのですが、あれは何ですか?


特殊というのは、内容が具体的であることを意味します。

一般というのは、内容が普遍的であることを意味します。

例えば、写像が一般で、関数は特殊です。

例えば、関数は一般で、f(x)=2x+1は特殊です。


状況によって意味が変わるのですね。


そうですね。

明確な基準があるわけではありません。


そういえば、

「 一般化から特殊を学ぶべきか、特殊から一般を学ぶべきか 」

・・・という話をよく聞きます。


「 特殊から一般 」 VS 「 一般から特殊 」 というのは、よくある議論ですね。

ただし、これは状況によって変化します。

「 どちらか一方がつねに正しいのだ 」 とする主張には、私は賛同しません。

例えば、いきなり多様体論を学ぶことは少し難しい。

なので、まずは曲面論から学ぶのがよいかもしれません。

「 曲面論→多様体論 」 は 「 特殊から一般 」 ですね。

一方、ベクトル空間や位相空間を、具体例から議論することは明らかに分かりにくい。

まずは最初にベクトル空間の公理や開集合の公理を知るべきでしょう。

これは 「 一般から特殊 」 ですね。



どちらの順番で議論してもよいのですね。

他にもそういう例はあるのですか?


はい、いくらでもありますよ。

例えば、フーリエ解析では、理論的には 「 超関数→フーリエ変換→フーリエ級数 」 が効率的です。

しかし、いきなり超関数から議論すると難しい。

なので、実際には 「 フーリエ級数→フーリエ変換→超関数 」 で議論する書物が多いですね。



「 一般論は抽象的で分かりにくい 」 と聞いたことがあるのですが、違うのですか?


非常によくある誤解です。

よく、

「 数学者は自分たちと頭の構造が違っていて、一般論から話すから分かりにくい 」

「 一般論は抽象的で分かりにくい 」

・・・という話を聞きますが、これは間違いです。

一般論から入った方が分かりやすいものは多くあります。

むろん、数学者がこのように主張しても説得力は少ないかもしれません。

しかし、私は数学科ではなくて、化学科の出身です。

また、数学が得意というわけではありません。( だからこそ化学科に入った )

そのような私の立場からしても、抽象論の方が分かり易いと感じる場面は多くある。

むろん、高度な抽象論は難しいですが、それは別の話です。



教科書は直観で分かることをわざと回りくどく説明しているように思えます。


いえ、そうではありません。

たしかに、いくつかの定理は、直観的に明らかな場合があります。

しかし、高度な議論になると、人間のために用意された言葉だけでは説明できない場面に遭遇します。

だから、直観で分かる簡単な議論である内に、議論を厳密にして練習しているのです。