対談形式(本当に存在するのか?)

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大学の微分積分学の教科書を読んでいたら、『 実数の連続性 』 という概念が出てきました。

これは何ですか?


実数の連続性は、実数の公理の1つです。

つまり、実数の連続性は、実数の性質の本質を抜き出したものです。


しかし、実数に関する議論を、そのように高度にする必要があるでしょうか?


ありますよ。

これを考えるために、次のような問題を考えてみましょう。

(*) x=2 ( x>0 ) を満たす数は存在するか?


え・・・。

存在しますよね。

√2 がそうです。


多くの人はそのように答えるでしょうね。

しかし、その答えは間違いです。


ええ!?

間違いですか???



間違いです。

「 そんなバカな 」 と考える人も多いと思うので、ぜひ慎重に考えましょう。

『 √2 』 という記号は、『 2乗すれば2になる数 』 を意味しているだけです。

だから、2 という数に 『 √ 』 を付けたところで、『 x=2 を満たす数 』 の存在を示したことにはなりません。

つまり、先の問答を分かり易く言い換えると、

「 x=2 を満たす数は存在するだろうか?」

「 存在する。x=2 を満たす数がそうだ 」

・・・などと主張しているようなものです。

これは明らかにおかしい。

別の例で言い換えると、

「 飲めば天才になる薬は存在するだろうか?」

「 存在する。飲めば天才になる薬がそうだ 」

・・・などと主張しているようなものです。



そんな・・・。

あ、でも、待ってください。

√2 は小数で書き表すことができますよね。

これで √2 の存在を示したことになるのでは?


たしかに、√2 は小数で次のように表せます。

(*) √2=1.41・・・

しかし、これでも 『 x=2 を満たす数 』 の存在を証明したことにはなりません。

そもそもこの無限小数はどのようにして得られたでしょう?

これは、次のように求められます。

2 について、1.4<2<1.5 が成り立つ。

よって、次が成り立つ。

(*) 1.4<√2<1.5

さらに、2 について、1.41<2<1.42 が成り立つ。

よって、次が成り立つ。

(*) 1.41<√2<1.42

この作業を無限に繰り返せるということです。

しかし、これでは 『 x=2 を満たす数 』 の存在を証明したことにはなりません。

分かり易く言い換えると、

「 x=2 を満たす数が存在すれば、それは 1.4 と 1.5 の間である 」

「 x=2 を満たす数が存在すれば、それは 1.41 と 1.42 の間である 」

「 これをいくらでも繰り返せる 」

「 よって、x=2 を満たす数は存在する 」

・・・などと主張しているようなものです。

これは明らかにおかしい。別の例で言い換えると、

「 何でも斬れる剣が存在すれば、それは紙を斬れる 」

「 何でも斬れる剣が存在すれば、それは岩を斬れる 」

「 これをいくらでも繰り返せる 」

「よって、何でも斬れる剣は存在する 」

・・・などと主張しているようなものです。



そ、そんな・・・。


このように、多くの人が使用している論証が、実は全く意味を成していないということがあります。

これらを回避するためには詳細な論証が必要です。

詳細な論証は世間から 「 面倒で回りくどい 」 と言われることがありますが必要なことです。

むろん、必要もないのにわざわざ難しい言い方をすることは避けるべきです。


では、√2 の存在はどのように証明されるのですか?


例えば、実数の連続性の1つである 『 区間縮小法 』 によって証明できます。

詳しいことは微分積分インデックスで扱っています。