対談形式(小中高の復習〜数学ver)

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たまには、小・中・高の内容について話してみませんか?



そうですね。



小・中・高の内容は覚えていますか?



一応、塾講師のバイトをしていたので大丈夫ですよ。



それなら安心ですね。

さて、小学校の内容と言えば・・・。



Aさんが池の周りを回ったりしますね。

小学生ながらに 「 この人は何がやりたいのだろう? 」 と少し思っていました。



あ、ああ〜〜〜・・・。

それで、A の忘れものを届けるために B が自転車で追いかけたりしますよね。



リンゴとミカンを合計15個だけ買って、やたらとミカンの個数を気にする。



5年後には父親の年齢の3分の1になりますよね。



道の間に等間隔に生えている木を数えたりする。



昔から A さんの人物像が謎です・・・。



小学校では他に何をやったかな・・・。

ああ、九々とかありましたね。



九々は・・・苦戦したなぁ・・・。

いまだに 「 9の段を言え 」 と命令されたら脚が震えます。



9の段を瞬時に計算する裏技はありますよ。



え・・・そんなの、あるのですか?



まず、両手の平を自分に向けてください。

そして、左から3番目の指を折り曲げてください。

すると、左側に2本の指、右側に7本の指が残りますね。

なので、9×3=27 です。



本当だ・・・!?

え、じゃあ、4番目の指を折り曲げると・・・。

左側に3本の指、右側に6本の指が残りますね。

9×4=36・・・!!!

合ってる・・・何で・・・?



まぁ、それは自分で考えてもらいます。

他には小学校の内容は・・・。

小数の計算か。

1.2×20.532 を計算できない人は割といたりする。



小数点をどこに付ければよいか分からなくなってしまうんですよね。

で、2.46384 とか 246.384 とか、そういう回答が・・・。



1.2 が20%増量を意味することに注意すれば分かるはずですけどね・・・。

1.2 の小数点は右から1つ目にあり、20.532 の小数点は右から3つ目にあります。

なので、演算結果には右から 1+3=4 つ目に小数点を付ける・・・という指導もありますが・・・。

「 小数点の付け方 」 を学習することで 「 小数点の付け方 」 が分からなくなったりする。

方法だけを覚えるのではなくて、意味を理解しないといけない。

だから、最初に 1.2×100=120 などで意味を理解させておきたい。



さて、次は中学校ですね。

中学校と言えば1次方程式ですね。



1次方程式ができるか否かで、その後の命運が決まりますね。

例えば、2x+5=13 などは 『 解き方 』 を知らなくても解けてしまいます。

なので、学校の先生が小テストをして 「 うむ、できているな 」 と思っていると、

実は、生徒の方は解き方を理解していなくて、分数が絡んでくると死ぬ。

例えば、(x+2)/3+1=4 を計算するときに、両辺を2倍して、(x+2)+1=12 と計算してしまう。

で、その部分だけを教えても、実は元の解き方を知らないので、状況が改善されない。



1次方程式と言えば、1次関数も重要ですね。



1次関数と言えば、「 2点を通る直線の方程式を求めよ 」 という問題が基本的ですね。

この問題に対する解法は次の2通りがあります。

(1) y=ax+b とおいて座標を代入して a と b を求める。

(2) 傾き a を求めてから b を求める。



これは(2)の方が速いですね。

(1)の方法だと連立1次方程式を解かないといけないので、少し面倒です。



そうですね。

ただし、(1)の方法は線形写像にも適用できます。

なので、(1)の方が汎用性は高いですね。



へー?

線形写像って、線形代数の内容ですよね?

中学の1次関数と同じような問題が線形代数でも出題されるのですか?



そうです。

例えば、次の線形写像を求めよ。



・・・という具合ですね。

この線形写像 f は、点(1、1)で値(2、1)をとり、点(1、−1)で値(0、3)をとる。

これを解くと、



実際、値を代入してみると成り立つことは中学生でも分かるでしょう。



1次方程式、1次関数と来ると・・・次は2次方程式ですね。



2次方程式は、自分で 『 解と係数の関係 』 を導くことができれば免許皆伝ですね。

逆に、高校生以上でこれができない場合は、いわゆる 『 受験脳 』 かもしれません。

つまり、知識を詰め込んだだけの人間で・・・。



・・・。

・・・。

・・・。(汗ダラダラ)



あ・・・いや、追い詰めるつもりはないです。

先生や親がしっかりしていないと、これらの重要性に気付くことは難しいですよね。

ただ、高校生以上なら・・・自力で導けるはず。



えええ・・・できるかな・・・。

2次方程式は、x+bx+c=0 ですよね。

ええと、αとβを解とすると、(x−α)(x−β)=0 か・・・。

これを展開すると、x−(α+β)x+αβ=0 だから・・・。

b=−(α+β)、c=αβ ですね!



そうです。



そういえば、『 たすき掛け 』 というものがありましたよね。

因数分解でつかうやつ。



ああ・・・私はそれ使用しないです。



そうですかー・・・。

って、ええ!?

使用しないのですか?



はい。

いつも因数分解は 『 解と係数の関係 』 だけでやっているので。



うそん・・・。



たすき掛け・・・必要ですかねぇ・・・?

最初からたすき掛けを教えると、その方法だけに意識が囚われる。

−5x+6=0 だとしたら、解と係数の関係を考えると、α+β=5 かつ αβ=6 です。

この場合、明らかに、α=2、β=3 です。

よって、(x−2)(x−3)=0 と因数分解できます。

たすき掛けなどという知識を詰め込むと、逆に本質的な 『 解と係数の関係 』 を見失うのでは?



たしかに、そうかも・・・。

・・・。

いや、待ってください。

やはり、複雑な場合にはたすき掛けが必要になるのでは?

例えば、x−19x+96=0 はどうでしょう?



素因数分解すればよいのですよ。

98=2・3・13 ですよね。

よって、αβ=2・39 または 6・13 です。

このように、素因数分解すると、候補が限られます。

後は、−(α+β) が −19 となる組合せを考えればよい。

−(6+13)=−19 なので、(x−6)(x−13)=0 です。



本当だ・・・。



因数分解は、解と係数の関係だけ教えてあげれば、多くの子供はできます。

−(α+β)x+αβ=0 と (x−α)(x−β)=0 を教えて、

「 x−5x+6=0 を因数分解せよ 」

・・・と言って時間を与えれば解いてくれる。

むろん、子供はどんどん内容を忘れてしまうので、何もかもうまくいくわけではありません。

それでも、一度だけ 『 解と係数の関係 』 からしっかりと考えるというプロセスを与えた方がよい。

そうすれば、忘れたときに 『 思い出す力 』 が付きます。

一方、最初に 『 たすき掛け 』 という便利技(?)を教えられた子供はどうなるでしょう?

この子供は、単にアルゴリズムを暗記しているだけです。

この場合、忘れると、思い出すことができません。

誰かに方法を聞くか、説明を探す他ない。

このような教えを受けた子供は、将来的に 「 数学は何の役に立つの? 」 と疑問に思うかもしれません。

たしかに、この子供の疑問は正当なものです。

実際、この子供が教えられた数学は、本当に何の役にも立たない。



ああ、これが 「 物事を深く理解する 」 ということなのですね。



そうですね。

ただ、厄介なことに、たすき掛けを教える先生の方が、生徒からの評判がよい。

「 因数分解は難しいよね。でも、便利な技がある!それはたすき掛けだ! 」

・・・という具合に。

実は、生徒たちは 『 考える力 』 を奪われているのですが、気付かない。

教科書に載っていない便利技を教えてくれる先生ということになる。

一方、解と係数からしっかりと考えるように指導している先生は、

「 たすき掛けを教えてくれなかった先生 」

・・・と評される。

世の中、こんなのばかりですよ・・・。



どこも大変ですね・・・。



塾で教えているときも、これが非常に困った。

生徒が非常に単純な2次方程式を前にして、

「 あれ・・・?たすき掛けってどうやるんだっけ? 」

・・・と聞いてくる。

もはや、生徒は自分が何をやっているのか分かっていない。

因数分解がブラックボックスになっているのでしょう。



まさに、そういう生徒に 『 解と係数の関係 』 を教えたいですね。



そうなのですが、これが難しい。

やはり、生徒の中では 「 たすき掛けという 『 便利 』 な技がある 」 ということになっている。

なので、私が解と係数の関係から教えても、あまり話に集中していない。

心の中で 「 何をゴチャゴチャと面倒なことを・・・ 」 と思っているのかもしれない。

実際には、(x−α)(x−β)=0 を展開して解と係数を比較するだけなのに。



では、一生懸命に教えても、逆に恨まれる?



うまくいく場合もあったし、うまくいかない場合もあった、という感じですね。

ああ、誤解のないようにしておきたいのですが、生徒が悪いわけではないですよ。

最初に 「 たすき掛けだ! 」 と教えられたら、多くの子供がそうなることは道理です。

自力で、「 これは解と係数の関係を考えれば分かる 」 と気付ける人はむしろ鋭い。



逆に言えば、環境の力は大きいということですよね。

恐ろしいものです。

いやぁ、因数分解でこんなに盛り上がるとは思いませんでした。



さて、中学では他に何をやりましたっけ・・・?

ああ、判別式ですね。

判別式の意味は分かりますか?



D>0 ならば解は2つ以上。

D=0 ならば解は1つ。

D<0 ならば解はなし。



そうですね。

なぜそのようになっているのか分かりますか?



ええと・・・D>0 の場合は、グラフが y=0 と2点で交わるからですよね。



うーん、そうですけれど・・・。

そもそも、判別式は、解の公式の √ の中身ですよね?

つまり、x=(−b±√D)/2a が解の公式です。

D>0 の場合、解として x=(−b+√D)/2a と x=(−b−√D)/2a が考えられます。

なので、解が2つですね。

むろん、D=0 の場合は、x=−b/2a が唯1つの解となります。



なるほど・・・判別式の正負で丸暗記していました・・・。



理論を理解すれば、暗記は最小限で済みます。

なので、なるべく理論を理解しておきたいですね。



よーし!

そろそろ、高校の内容に入りましょう!



高校と言えば、微分積分、複素平面、ベクトル・・・初等整数論か。

現在(2016年)のところ、初等整数論は高校数学に溶け込んでいる形かもしれません。

明確に1つの分野としては扱われていない印象があります。



微分積分の印象は強いですが・・・。

あまり微分積分で苦戦した記憶はないかも?



おそらく、二極化していますね。

微分積分が分からない場合、理系分野ではどうにもならない。

微分と積分が逆の関係にあることなどに気付けば、何も難しくはないはず。



あー、でも、どうなんだろう・・・?

「 微分と積分を理解しているか?」 と問われたら自信がないです。

よく考えたら、計算方法を知っているだけで内容を理解していません。



どうしても計算に重点が置かれてしまうので、そういう生徒が増えてしまうことは必然ですね。

微分が傾きであることも知っているし、積分が面積であることも知っているし、

微分の計算もできるし、積分の計算もできるけど、その意味を明確には理解していない。

しかし、微分と積分を深く理解することはそれなりに大変です。

だからこそ、大学では微分と積分を詳細に議論します。

なので、微分と積分に対して 「 モヤモヤ 」 を感じるとしても、仕方ないかもしれない。

少なくとも、それが生徒の責任であるとは言い切れない。

むろん、微分と積分が分からなくてよいという意味ではないです。

高校の教科書が間違っているわけではないし、十分に理論を説明しています。



大学の内容を学べば、微分と積分を深く理解できる?



理解を深めることができます。

おそらく、「 微分・積分が分からない 」 というモヤモヤの根源にあるのは 『 極限 』 です。

極限がはっきりと理解できていないから、微分と積分もモヤモヤする。

で、大学の数学ではεδ論法によって極限を厳密に扱うことができる。

こうして、微分と積分に対する理解が深まるということです。

ただ、現在(2016年)のところ、工学系ではεδ論法を省かれることが多い。



微分積分と関連して重要なのは 『 三角関数 』 でしたね。

これがまた・・・公式が多くて大変ですよね。



ん・・・?

三角関数の公式は3つしかなかったような・・・?



何を言っているんですか!?

三角関数の加法定理、倍角公式、3倍角公式、半角公式・・・。

あの地獄の日々を忘れたというのですか!?



何そのテンション・・・。

いや、3角関数の公式は、すべて加法定理から導かれますよね。

だから、加法定理さえ覚えてしまえばよい。



うそん・・・。

いや、でも、加法定理を暗記するのも難しいですよね。



1分で覚えられますよ。

実際に、加法定理を書き下すと、



まず、(1) は 「 咲いたコスモス、コスモス咲いた 」 と覚えます。

また、(2) は 「 コスコスシンシン 」 と覚えます。

また、(3) は 「 1枚タンタン分のタンプラタン 」 と覚えます。



・・・何ですか、それ。



語呂ですよ。

これを過小評価してはいけません。

もう覚えたでしょう?

1枚タンタン分のタンプラタン。



1枚タンタン分のタンプラタン。

・・・あれ?

たしかに・・・印象に残るかも。



でしょ?

これで教科書を引っくり返して、白紙の紙を与えて、

「 加法定理を書いてみて 」

・・・と言えば、多くの生徒は紙に書けます。

1回目は失敗するかもしれませんが、2回目はかなりうまくいくはず。


けど、sin と cos が混乱するかも・・・?

「 咲いた 」 から出発するのか 「 コスモス 」 から出発するのか。



そうですね。

ただ、sin の加法定理は、sin から出発するし、cos の加法定理は、cos から出発します。

なので、混同する危険性はありません。

加えて、「 咲いた〜咲いた〜チューリップの花が〜♪ 」 という歌もあります。

後は、sin の公式は + で、cos の公式は − であることに注意すればよい。

まぁ、大学以降の内容になると、語呂で覚えるということはなくなりますけれどね。



では、倍角公式、3倍角公式、半角公式が導かれるというのは・・・?



加法定理において、β=αとするだけで倍角公式が出ます。

例えば、sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ から sin2α=2sinαcosβを得る。

他の公式も、簡単に導けます。



本当だ・・・。

それならそうと、最初から言ってくれればいいのに・・・!?



教科書に証明として書いてあります。



・・・。

・・・。

本当だ・・・。



学校の授業でも説明している・・・はずなのです。

ただ、これを忘れて全ての公式を丸暗記しようとして挫折する生徒もいると思われます。

これらの公式をすべて暗記することは私も無理です。



あ・・・そういえば。

昔に、東大で 「 加法定理を証明せよ 」 という入試問題が出たそうですね。



1999年の問題ですね。

正確には 「 一般角θに対して sinθ と cosθ の定義を述べよ 」 という問題です。

三角関数を自分で定義するところから始まるのがすごいところ。

これは当時の新聞に取り上げられて世間から注目を浴びたようですね。



世間から注目を浴びた・・・?

少し疑問なのですけれど、そのくらいの問題なら、他の大学でも出せたのでは?

それとも、東大が出したからこそ注目を浴びた?



それもあるでしょうね。

「 東大がこんな問題を出しちゃうの!? 」 という驚き。

ただ、この類の問題を出題することは難しいのです。

というのは、解答が複数考えられるので、採点方式を確立することが極めて難しい。

一応、採点側としては、大学レベルの内容での解答にも対応する必要があります。

例えば、無限級数から出発して exp の加法定理を証明して、テイラー展開につなげる方法も考慮します。



えええ・・・?

いくら何でも、そんな解答を出す受験生はいますかねぇ・・・?



東大・京大となると、大学を卒業してから受ける人もいますので。

理科系の合格者が1500人で、受験者が3倍なので約4500人。

中にはそういう解答もあり得る。



では、複素平面に進みましょう。

そういえば、いまだに複素数という概念に慣れません。



例えば、2−3=?という式を考えてみましょう。

割と多くの小学1年生は、この式を見ると 「 計算できない 」 と答えるでしょう。

2個のリンゴから3個のリンゴを取り去ることはできないからです。

しかし、これで議論をストップさせてしまってはつまらない。

そこで、負の数というものを考えるのです。

リンゴが 『 −1個 』 などという状態はありえないけれども、負の数というものを考えると非常に便利です。

このことは中学生の多くが理解しています。

一方、複素数も全く同じ発想です。

例えば、判別式が負になる方程式を考えましょう。

実数の世界ならば、この方程式の解はありません。

けれども、「 計算できない。終わり。ここから先は一切議論しません 」 というのではつまらない。

それよりは、複素数というものを考えてみて、それで解を表してみます。

すると何か新しい知見が得られるかもしれません。

実際、複素数によって留数定理などが得られ、これが 『 実数 』 の積分計算にさえ効果を発揮します。

複素数が特別な数であるというわけではありません。


複素数が実数の積分計算にも効果を発揮するというのは、どういうことですか?


例えば、次のような積分を考えてみます。



実数の微積分だけの知識で次の問題を解くとなると、これはなかなか面倒です。

ところが、複素解析の 『 留数定理 』 を用いれば、統一的な手法で簡単に解くことができます。

このとき、

「 上の積分の中には実数しかないのに、なぜ複素数の概念を用いるのだろう?」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれません。

実は、実数の世界だけで考えるよりも、複素数の世界を経由して考えた方が近道になることがあります。



実数だけで考えるよりも、複素数で考えた方が自由度が高いです。

だから、実数だけでは通ることができなかった道を通ることができます。



恥ずかしながら、私はいまだに 『 数 』 というものが何なのかよく分からないです。


いや、恥ずかしがる必要はありません。

それは当然の疑問だと思います。

中学・高校では、例えば、次のような疑問をもつ人がいるかもしれません。

(*1) 点の面積は0なのに、点が集まってできた図形はなぜ面積をもつのか?

(*2) 0.999・・・と 1 は同じ数か?

(*3) limn→∞1/n=0 は、1/n が 0 になることを意味するのか?

(*4) なぜ、数を 0 で割ってはいけないのか?


そうですね。

面積もよくよく考えると不思議に思います。

1つの点の面積は 0 ですよね。

でも、点が集まってできた図形は面積をもちます。

しかし、0 がいくつ集まっても 0 のはずです。

これらの疑問に答えはあるのですか?


ありますよ。

(*1)の問題は、ルベーグ積分によって1つの説明が与えられます。

(*2)や(*3)の問題は、微分積分学(実数の連続性やεN論法)によって説明されます。

(*4)の問題は、代数学によって説明されます。


そうだったのですか・・・。

それを知っていれば、高校の数学をもう少し素直に学べた気がします。


そういう学生は多いかもしれませんね。

例えば、極限に納得がいっていないと、微分・積分にも納得がいかないことになります。

こうなると、数学全体に対して 「 何となく納得いかない感じ 」 を抱えることになります。

数に納得がいっていない場合は、中学の段階からこの気持ちを引きずることになります。

これは辛いですよね。

私の場合、数学を教えているときには、なるべく質問に答えるようにはしていました。

しかし、完全に納得がいくところまで説明するのは困難です。

そういうときには、

「 大学でこういう分野があるから、詳しくはそこで学ぶとよいだろう 」

・・・と教えます。

そして、

「 いまあなたが完全に納得できないのは、あなたの責任ではありませんよ 」

・・・と教えます。

疑問を解決することも重要ですが、問題を上手に棚上げすることも重要です。

それに、「 その答えは代数学にある 」 とスパッと説明した方が将来につながるかもしれません。

「 代数学ってどんなものだろう?」 と興味が湧いてくるのではないかと思います。


では、ベクトルに進みましょう。



ベクトルと言えば次の2つが重要ですね。

(1) ベクトル a と b の終点を通る直線を記述できる。

(2) 内積を理解している。



最初、ベクトルから直線を記述するときは混乱しました。



と b の終点をつなぐ直線は次のように記述されますね。

(*) sa+tb ( s+t=1 )



あ、それは次のように書いた方が分かりやすいですよね。

(**) sa+(1−s)b

これなら1つの式で記述できます。

というより、こちらで書くべきなのでは?



うーん。

どちらがよいとは言い切れません。

たしかに、sa+(1−s)b の方が表記としてはシンプルです。

しかし、背景には 『 凸結合 』 があります。

その立場から視ると、sa+tb ( s+t=1 ) の方が統一感がある。



え・・・凸結合とは?



まず、条件を追加して次を考えます。

(*1) sa+tb ( s+t=1、s≧0、t≧0 )

これは 『 a と b の終点をつなぐ線分 』 です。

一方、a、a、a というベクトルを考えます。

そして、次のような図形を考えます。

(*2) s+s+s ( s+s+s=1、s、s、s≧0 )

これは a、a、a を頂点とする三角形の面を意味します。

さらに、これを一般化して、

(*3) s+・・・+s ( s+・・・+s=1、s、・・・、s≧0 )

これを 『 凸結合 』 という。

これは 『 最適化問題 』 や 『 位相幾何 』 と呼ばれる分野で登場する概念です。



なんと・・・背景にそのような概念があったのですね。



さて、もう1つの重要な概念は内積ですね。

内積の定義は分かりますか?



ええと・・・a・b=|| a ||・|| b ||cosθ ですね。

や b はベクトルですが、a・b はスカラーですよね。

で、|| b ||cosθ は、b を a に正射影したベクトルの大きさを意味する。

図示すると、





そうですね。

=(a、a)、b=(b、b) としてみましょう。

すると、a・b=a+a です。

この辺りは高校生でも知っていますね。

大学では、これを一般化して n 次元にします。

つまり、a・b=a+・・・+a です。

また、高校では 『 正射影 』 は内積を計算するときに出てくる副次的なものでした。

しかし、大学では正射影が独立に大きな意味をもつようになります。

例えば、ベクトルを面に正射影する。



これは 『 幾何学 』 や 『 関数解析 』 で重要です。



ふー・・・。

微分積分、複素平面、ベクトル・・・。

これで高校数学は一通り終わったかな?



あと、『 必要条件 』 と 『 十分条件 』 がありますね。



・・・。

ソレ、ニガテデス。



意味が分かれば簡単だと思いますけどね・・・。

「 A⇒B 」 を考えてみましょう。

これは 「 A が満たされていれば、B が成り立つ 」 という意味ですね

つまり、A という条件さえあれば B が成り立つ。

A があれば十分なわけですね。

だから、A は 『 B の十分条件 』 です。

一方、B が成り立つためには A が必要ですね。

だから、B は 『 A の必要条件 』 です。

しかし、それでも混乱する人は多いようです。

なので、このサイトではこれらの言葉はあまり用いないようにしています。