対談形式(集合論)

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集合論とは何ですか?


集合を扱う分野ですよ。



集合って・・・えっと、普通の、集合ですか?

それとも、数学的に何か特別な意味があるとか?


とりあえず、日常的によく用いられる集合という意味で考えてよいですよ。

ただし、数学的に明確に定まった集合を考えます。

例えば、実数全体を1つの集合として考えることができます。

つまり、この集合には、1、2、3、√2、1/2 など、実数が属しているわけですね。


へー、実数全体の他にも集合を考えたりするのですか?


色々な集合を考えます。

例えば、有理数全体を考えたりします。

実数全体や有理数全体は無限集合ですが、有限集合を考えることもあります。

例えば、{ 1、2、3 } という集合を考えることもできます。

そもそも、数でなくてもよいのです。


けど、それで・・・何をやるのでしょう?


例えば、集合と集合の対応関係を考えたりします。

これを 『 写像 』 と言います。

写像は、中学・高校数学で知られている関数の一般化です。

中学・高校では実数に対して実数を対応させる関数を考えていました。

けれども、これ以外にも色々な対応関係があります。


そんなに色々な対応関係って、ありますかね?


いくらでもありますよ。

中学・高校の関数は、1つの実数に対して1つの実数を対応させる写像でした。

けれども、2つの実数の組に対して、1つの実数を対応させる関数もあります。

これは 『 2変数実数値関数 』 と呼ばれます。

例えば、f(x、y)=x+y と定義してみましょう。

(x、y)=(1、1)を入力すると、f(x、y)=2 となります。

このように、2つの実数の組(1、1)に対し、1つの実数 2 が対応しているわけですね。

ちなみに、図示すると、次のようになります。



なるほど。


その他、1変数3次元ベクトル値関数もありますね。

例えば、f(t)=(t、2t、t)と定義しましょう。

t=1を入力すると、f(t)=(1、2、1)となります。


むむ・・・?

これって、つまり、どういう関数なのでしょう?


これは 『 空間曲線 』 ですね。

1変数3次元ベクトル値関数は空間曲線です。

上で定義した f(t)=(t、2t、t)を図示すると、次のようになります。



力学に応用できそうですね。


そうですね、実際、つかいます。

1変数ベクトル値関数は、質点の運動を表すことができます。

速度ベクトルを計算するのも簡単です。

各成分毎に微分すればよいのですからね。

実際に計算してみると、f’(t)=(1、2、2t)です。

つまり、時刻 t=1 において、この質点の速度は(1、2、2)です。


ここまでに登場したのは 『 2変数実数値関数 』 と 『 1変数3次元ベクトル値関数 』 ですよね。

他にもあるのですか?

というか、何となく想像がつくような・・・。


そうですね。

ここでは話を単純にするために、2変数とか、3次元で考えました。

一般に理論を展開するのであれば、『 m 変数 n 次元ベクトル値関数 』 の方がやりやすい。


それも、写像の仲間というわけですね。

他にもあったりします?


いくらでもありますよ。

例えば、線形代数では 『 線形写像 』 が登場します。

ルベーグ積分論では 『 測度 』 が登場します。

複素解析では 『 複素関数 』 が登場します。

代数学では 『 演算 』 が登場します。

これらはいずれも写像です。


・・・ということは、写像という概念はかなり重要?


数学において最も重要な概念であると言ってよいでしょう。

写像に関する基礎知識があれば、他分野の数学に対する学習効率が向上します。


ふーむ、すると、まずは集合論から勉強した方がよい?


まぁ、写像に関する基礎知識は、微積、線形、代数の書物に書かれていることが多いです。

なので、集合論というタイトルの本を手に入れることが必須というわけではありません。


あれ?

でも、手元の微分積分の本に写像に関する記述はなかったような・・・?


初級者向けの微分積分学の書物では、多変数の話を 『 2変数 』 に限定していることがあります。

その場合、写像は使用しません。

一方、多変数の話になると 『 逆像 』 や 『 逆写像 』 という概念を使用します。


ところで、多変数の微分積分は、重要なのでしょうか?

現実の世界は3次元なので、2変数関数だけで十分なように思えるのですが・・・。


多変数の微分積分はあらゆる分野で普通に使用します。

物理学、化学、社会科学、何でもです。

「 現実の世界は3次元だから2変数の微分積分で十分 」 というのも間違いです。

たしかに、目に見える関数は2変数関数までです。

しかし、現実には、2変数よりも多くのパラメータが必要になることは普通にあります。

あくまで感覚的な比喩ですが、例えば、商品の売れ行きを調べたいとします。

このとき、商品の売れ行きを左右する変数は、品質、値段、地域、・・・などです。

2変数より多くのパラメータを必要とすることなど、現実の問題では普通のことです。

なので、多変数の微分積分法は重要です。


あと、集合論の本をいくつか見て思ったのですけれど、本によって書き方が少し違うような・・・?


集合論の書物は主に次の2通りに分けられます。

(*1) 命題論理、述語論理を扱う書物。

(*2) 最初は命題論理・述語論理を扱わず、後から精密化する書物。

ただし、いずれも本質的には同じです。

写像に関する内容まで読み進めれば、結局はどちらも同じ内容であることに気付くでしょう。


ええと・・・どちらか一方がよい、というわけではないのですね?


そうですね。

命題論理と述語論理は、細かい議論では役に立つこともあります。

しかし、最初から命題論理と述語論理の違いを意識することは、初学者にとっては辛いものです。

大きな利益があるわけではないし、必要以上に議論を複雑にしてしまいます。

なので、私の場合は初学者向けとしては(*2)のパターンを好みます。


ところで、巾集合とは?


巾(べき)集合というのは、集合に含まれる部分集合全体のことです。

つまり、集合の集合です。



ところで、直積とは?


例えば、平面座標の点として(1、2)や(3、5)を考えますよね?

これは実数の組を考えているわけです。

つまり、実数全体 の直積として を考えているわけです。

(1、2)や(3、5)は に属していると考えることができます。

同様に、 を考えることもできます。

つまり、(2、3、5)とか、(a、・・・、a)とか。


ところで、射影とは?

高校のときに 『 ベクトルの正射影 』 というものを考えたことがありますが、それと関係が?


射影と正射影は微妙に意味が異なります。

正射影について、詳しいことはベクトル解析や関数解析で述べます。

なので、ここでは射影について説明しましょう。

例えば、 の元として(2、3、5)を考えます。

これの第1成分に関する射影は(2、0、0)です。

また、第2成分に関する射影は(0、3、0)です。

また、第3成分に関する射影は(0、0、5)です。



ああー・・・、座標を抜き出すということですか?


そうです。

むろん、射影も写像です。

とくに、(a、0、0)を実数 a と見なせば、射影は実数値関数ですね。


ほへー、関数なんて、高校の段階で分かったつもりだったのですけれど・・・。

考えれば考えるほど、色々な見方がありますね。


ちなみに、グラフは直積集合と見なせます。


え・・・?

『 関数 』 と 『 グラフ 』 は同じ意味なのでは・・・?


区別できますよ。

f:A→B を写像としましょう。

G(f)={ (x、f(x))∈A×B|x∈A } と定義します。

このとき、G(f)を 『 f のグラフ 』 と言います。

つまり、グラフは集合です。


あー・・・。

関数は対応関係で、グラフは集合ということですね。


そうです。


ところで、同値類とは?


同値類というのは、2つの対象がある意味で同一視できるという関係を一般化したものです。

具体的には、次のような同値関係があります。

(*1) 図形の相似関係

(*2) 整数の合同関係 ( ある数で割った余りが同じである )


図形の相似関係は分かるのですけど、整数の合同関係はどういうことですか?


例えば、整数を 3 で割ってみましょう。

このとき、すべての整数は次の3通りに分類されますよね。

(*1) 余りが 0 になる数

(*2) 余りが 1 になる数

(*3) 余りが 2 になる数

つまり、整数全体を3つに分類できる。

しかも、重複しない。

このように、数学的対象を分類していくと、非常に興味深い発見があります。


ところで、濃度とは?


濃度は 『 個数 』 という概念を、無限にも拡張したものです。


個数を・・・無限に拡張?

うーん、それって、新しい概念なのでしょうか?

個数って、一応、無限にも当てはまりますよね?

例えば、無限個と言ったりしますよね。


そうですね。

けれども、それは漠然と 『 無限個 』 と呼んでいるだけです。

実は、濃度という概念を用いると、無限個にも種類があることが分かります。

例えば、実数全体と自然数全体は、どちらも無限です。

しかし、実数の方がより大きな無限なのです。

これが 『 カントールの定理 』 です。

また、その証明法として 『 カントールの対角線論法 』 は有名ですね。



あ・・・カントールの対角線論法は聞いたことあるかも。

有名ですよね。



そうですね。

厳密性を除けば、一般向けの本に証明を書くことも可能でしょう。

ただし、厳密には、カントールの対角線論法は 『 10進法展開 』 に基づいています。

で、10進法展開は 『 実数の連続性 』 の一部です。



ん・・・?

ということは、集合論を学ぶ前に 『 実数の連続性 』 を学ぶ必要がある?



不要です。

『 10進法展開 』 というのは、すべての数は小数の形で表せるということです。( 無限小数を含む )

とりあえずこのことを認めておけば、カントールの対角線論法を理解するときに困ることはありません。

なので、実数の連続性を省いている本と、扱っている本の2種類があります。

その他



ところで、直積、濃度、選択公理って、内容を言えるだけでよいのでしょうか?

例えば、選択公理とツォルンの補題は同値性であるようですね。

これの証明も読まないといけませんよね?

とくに、ツォルンの補題は、位相空間論、代数学の群論、ベクトル空間にも応用されると聞きました。


むろん、余力があって、関心があるのであれば、その辺りを探索してもいいと思います。

ただし、選択公理とツォルンの補題の同値性の証明は難しい。

無理に理解する必要はありません。

これはよく言われることです。

選択公理とツォルンの補題の内容だけを理解して、

「 へぇ、証明はよく分からないけど、この2つは同値なんだなぁ 」

・・・くらいに思っていれば十分です。

ツォルンの補題は、位相空間論の 『 チコノフの定理 』 の証明に用いられます。

チコノフの定理は 「 直積空間と各位相空間のコンパクト性が同値である 」 という内容です。

ただ、チコノフの証明を読まなくても、位相空間論で困ることはありません。

なので、ツォルンの補題を無理にマスターする必要はありません。



ふむふむ。

ツォルンの補題がベクトル空間に応用されるというのはどうでしょう?

ベクトル空間は線形代数の話なので気になるのですが・・・。


たしかに、ツォルンの補題によってベクトル空間の基底の存在が示されます。

ただし、これは無限次元のベクトル空間の話です。


あれ、無限次元のベクトル空間って、線形代数ではやらないのですか?


普通、線形代数で調べるのは有限次元のベクトル空間ですね。

無限次元のベクトル空間は関数解析の世界で登場します。

ちなみに、関数解析の 『 ハーン・バナッハの定理 』 の証明に、ツォルンの補題が応用されます。

ただし、それであっても、ツォルンの補題の内容を把握していれば十分です。

選択公理⇔ツォルンの補題の証明に関する知識が必要というわけではありません。


なるほど、分かりました。

選択公理⇔ツォルンの補題の証明は難しいから読まなくてもよい。



はい。

数学(科学)の世界にはそういうものも登場します。

片端からすべてをマスターしていくことは大幅な効率低下となります。

なので、「 とりあえず結果を認めて、証明を読まず、道具としてつかう 」 という手段も重要です。

例えば、線形代数では 『 代数学の基本定理 』 を用いる場面があります。

しかし、これの証明は面倒です。

なので、線形代数の書物では代数学の基本定理の証明を省くことが普通です。

ちなみに、代数学の基本定理に関する証明は、複素解析や代数学の書物に登場します。


ところで、公理的集合論という分野があるそうですね。

数理論理学の一分野だとか、数学基礎論の一分野だとか、そういうことらしいのですけれど。


そうですね。

それに対し、大学1、2年で 『 集合論 』 と言われているものは、素朴集合論ですね。

素朴集合論というと、ここまでに述べてきた内容(写像など)を意味することが多いです。


公理的集合論を学ぶと、素朴集合論に詳しくなったりします?


それはないですね。



え・・・、そうなんですか?

どちらも 『 集合論 』 と呼ばれているのに?


よくある誤解です。

素朴集合論と公理的集合論は別分野です。


え、別分野なんですか?

同じ名前なのに?


素朴集合論は、集合の存在を素朴に認めて議論する分野です。

公理的集合論は、集合をそのものを研究対象としています。

『 この意味 』 で、この2つは別分野です。

ただし、素朴集合論に部分的に公理的な議論を入れることはできます。


数理論理学や数学基礎論で論理力や基礎力が鍛えられることはないのですか?


ないです。

少なくとも、リメディアル教育の意味での 『 基礎 』 が鍛えられるという意味であれば、間違いです。



ん・・・?

リメディアル教育とは?



リメディアル教育とは、補習講義のことです。

例えば、高校数学の復習や大学数学の初歩を意味します。

また、高校数学の復習や大学数学の初歩をまとめて 『 基礎数学 』 と呼ぶことがあります。

『 基礎数学 』 と 『 数学基礎論 』 は全く別分野です。

数学基礎論(数理論理学)は、数学の論理そのものを研究対象としています。

メタ的な立場から論理を研究するということです。

なので、数学基礎論(数理論理学)で論理的思考や基礎力が鍛えられるわけではありません。

むしろ、最低限の論理を理解している人でないと理解できない。

集合論、位相空間論、微分積分、線形代数、代数学の方が論理を鍛えるでしょう。

『 これらをできない人 』 が、数理論理学や数学基礎論を探索しても、得るものはありません。