対談形式(行列式、ヒルベルト空間などを直観的に説明する。ただし・・・)

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行列式、フーリエ級数、ヒルベルト空間を直観的に説明することってできないのでしょうか?

そもそも、教科書に直観的な説明を載せるべきでは?



う〜ん・・・。

直観的な説明を要望する人が多くいることは知っています。

しかし、初学の段階で直観的な説明を知ることは、あまり適切ではありません。



え・・・なぜ???

だって、直観的な説明があった方が、理解しやすくてよいと思うのですけど?

例えば、直観的なイメージを図で表現した方が読みやすいですよね?



いえ、本来、直観的な内容は読者自らが考えるべきだという立場もあります。

実際、読者自身が考えてもらうことによって、著者よりも自分に合ったものを描ける可能性もあるはず。

そこに、最初から図やイメージを載せてしまうとどうなるでしょう?

入門者の新しいアイディアが生まれる可能性をつぶしてしまう恐れがあります。

教科書に予備情報を載せることによって、そうした各人の独自のアイディアをつぶすべきではありません。

よって、教科書に直観的な説明を積極的に載せるべきではありません。



読者の独自のイメージを潰す可能性がある・・・。

たしかに、それはあるかもしれません。

しかし、「 直観的な理解は重要だ 」 と主張する研究者もいますよね?



私は 「 直観的な理解が不要である 」 とは言っていませんよ。

私が言いたいのは、「 直観的な理解は自分で作り上げるものだ 」 ということです。



けど、研究者同士で議論して、数式をつかわずに議論して新しいアイディアが生まれることがあるそうです。



それは、既に自分で十分に考えた後だからよいのです。

自分で十分に考えた後であれば、別の視点を得たときに新しいアイディアを生み出すことができます。

一方、最初から他人の考え方を輸入しているだけの人は、新しいアイディアを生み出すことができません。



なるほど・・・。

逆に言えば、十分に考えた後であれば、よいわけですね?



まぁ、そうですね。



私は十分に考えたので、直観的なイメージを教えてください!



そういうことをいう人に限って、十分に考えていないんですよねぇ・・・。



うええ!?

いやいや、本当ですよ?

定義や定理は一通り読んだつもりなのですが・・・。

どうにも突破口が開けないというか、何というか・・・。



ふむ・・・では、具体的に、テーマは何にしますか?



ええと・・・。

行列式、フーリエ級数、ヒルベルト空間です。



行列式の何が分からないのですか?



うーん・・・。

結局、行列式というのは、何なのでしょう?

つまり・・・えーと・・・行列式で何をやりたいのか、何をやっているのか・・・。

どうにもそれが視えてこないのです。



例えば、このような考え方はどうでしょう。

簡単に言えば、行列式とは、行列を多項式に変換するということですね。

どのように変換するかというと、行列の成分に符合を付けて、積と和を用いてつなぐ。

大雑把に言えば、あれは、成分の位置情報を記録していると言えるかもしれません。



成分の位置情報・・・なるほど!

たしかに、そういう見方はできますね。

しかし、位置を完全に記録しているわけではありませんよね?

実際、異なる行列であっても、同じ行列式をもつことがあります。



そうですね。

ただし、位置情報が完全に消えるわけではありません。

例えば、ある行を定数倍して、他の行に加えても、行列式の値は変化しません。

つまり、この2つの行列は、同じ行列式をもちます。

つまり、行列式の世界では、この2つの行列を区別できなくなる。

つまり、この2つの行列は、行列式の世界で同一視できる。

つまり、この2つの行列は、行列式の世界で同じグループに属する。

つまり、ある意味で、行列を分類できる。

あるいは、行列式は、行列の位置情報を一部だけ記録し、折りたたんでいる。

折りたたんでしまうと復元はできないのですが、ある程度の位置情報は残っている。



そういえば、とくに、行列式が 0 になるか否かが重要でしたね。



そうですね。

行列式が 0 にならない行列を 『 正則行列 』 と言います。

よく知られているように、正則行列は逆行列をもちます。

これは行列式が 0 にならないグループに注目しているということですね。



ふむふむ・・・次から、線形代数を学ぶときのモチベーションが少し上がるかも。

では、次に、フーリエ級数やフーリエ変換はどうでしょう?



例えば、このような考え方はどうでしょう。

まず、フーリエ級数は次のように表されますね。



むろん、S[f](x)は f のフーリエ級数です。

いま、周期 2L の関数 f(x) が与えられたとします。

このとき、(*2)によって c が定まります。

一方、複素数 c が与えられたとします。

このとき、(*1)によって S[f](x) が定まります。

f(x) と S[f](x) が一致するとは限りませんが、ここでは一致するとします。

すると、f(x) と c が相互に変換されていることが分かります。

ここでは周期関数 f に注目しました。

これを非周期関数まで広げたものがフーリエ変換です。



なるほど・・・。

そういえば、行列式のときは、位置情報を折りたたんでいましたよね。

今回は何を折りたたんでいるのだろう・・・?

・・・。

・・・。

・・・。

・・・あ。

関数の 「 連続的な値 」 かな?



そうですね。

f(x) の連続的な関数値が折りたたまれて離散化しています。

実際、c は離散的な値ですからね。

これは、光を分光器に通すと離散的なスペクトルが現れる様子に似ていますね。

また、今回は、c から f(x) を復元できる。

ただし、既に注意したように、必ず f(x) を復元できるわけではありません。

なぜなら、f(x) と S[f](x) が一致するとは限らないからです。



ふーむ・・・なぜ、f(x)を復元できる場合と復元できない場合があるのでしょう?



それを詳細に調べることがフーリエ解析の1つの目標ですね。

ちなみに、復元できる場合とそうでない場合の違いは何だと思います?

難しくはないと思いますよ。



うーん?

・・・。

・・・。

・・・。

・・・あ。

そうか、f を積分したときに f の情報が少し潰れてしまうのかな。

とくに、f の形状が荒々しいと情報が潰れてしまいそう。



そうですね。

逆に言えば、滑らかな関数であれば、情報を復元できます。



ふむふむ・・・。

しかし、離散スペクトルが何を意味するのか少し分かりづらいかも?



ここでは複素フーリエ級数について考えましたが、これを書き換えて実フーリエ級数にすると、



複素フーリエ係数 c は、この a や b と同じです。

高校数学で知られているように、上式は次のように変形できます。



よく知られているように、バネにつながれた物体の振動は Asinωx の形で表されます。

むろん、A はバネの振幅を意味します。

バネ定数を k とすると、系のエネルギーは (1/2)kA です。

つまり、系のエネルギーは A で表されます。

なので、列 A、A、A、・・・ を 『 f の ( 離散的 ) エネルギースペクトル 』 という。

今回、f(x) は複数個の振動の重ね合わせであり、A は各変動成分の大きさを意味します。



なぜ、A ではなくて、A を考えるのでしょう?



例えば、A=−100 と A=1 の場合、エネルギーが大きいのは前者です。

しかし、正負が反転していると比較しにくいので、A を考えます。



なるほど、A は、有用な情報を抜き出していますね。



ただし、列 A のみから元の振動を復元することはできません。

完全に復元するためには、位相差 θ の情報が必要です。

逆に言えば、位相差などの余分な情報を捨てることに意味がある。



では、次に、ヒルベルト空間について。

なぜ、ヒルベルト空間はあのような定義になっているのでしょう?

つまり、完備性というものが何なのかよく分かりません。



定義では、完備性は 「 コーシー列が収束する空間 」 を意味します。

直観的には、完備性は 「 隙間が埋まっている 」 を意味します。



なぜ、コーシー列の収束が、空間の隙間を埋めることになるのでしょう?



コーシー列は、各項の距離がいくらでも小さくなることを意味します。

つまり、極限があるか否かということについては何も主張していません。

例えば、−{0} を考えます。

つまり、原点だけが抜けている数直線です。

ここで、数列 a=(1/2) を考えます。

明らかに、a はコーシー列です。

しかし、a は収束しません。

逆に言えば、コーシー列が収束することは、隙間が埋まることを意味します。



隙間が埋まっていることは重要なのですか?



既に述べたように、コーシー列は極限について何も主張していません。

つまり、コーシー列の収束が保証されていれば、直接に極限について議論しなくても収束を結論できる。

つまり、「 各項の差がいくらでも小さくなること 」 を示すだけで極限の存在を保障できる。

なので、完備性は有用です。



これって・・・。

完備空間では 「 極限の情報 」 が 「 各項の距離 」 の中に含まれているということですね。



そうですね。



それにしても、これらの事柄を、具体的にどのように応用するのでしょう?



例えば、フーリエ級数では S[f](x)=−∞≦n≦∞inπx/L と表しましたね。

これは、 S[f](x)=−N≦n≦Ninπx/L の極限と見なせます。

そこで、 S[f](x) : N=1、2、3、・・・を関数空間の点列と見なします。

すると、S[f](x)の極限が存在するか否かという問題は、S[f](x)の存在を意味します。

よって、関数空間が完備であれば、極限の存在を議論しやすくなる。



結局、行列式、フーリエ級数、ヒルベルト空間は 『 情報の折りたたみ・変換 』 で理解できるのですね。

この視点は便利かも。



他には、ベクトル空間の基底についても同じような見方ができますね。

よく知られているように、ベクトル空間の任意の元は、基底によって復元できます。

言い換えれば、ベクトル空間の基底とは、余計な情報を省いた集合であると言えます。