対談形式(数学書の読み方)

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数学書は、物理学や化学の本と比較すると、何かが違う感じがします。

この違いは何が原因なのでしょう?

数学書の方が議論が厳密ということでしょうか?



そうですね。

とくに、関数の微分可能性を議論するか否かが大きな違いだと思います。



関数の微分可能性・・・。

そういえば、そうかも。

物理学の本では、あまり微分可能性を議論していないような・・・。



物理学では 「 力学的過程は解析的な物理法則に従う 」 という前提があります。

つまり、粒子の運動などは微分可能な関数によって記述される。

つまり、物理学に登場する関数は(基本的に)微分可能です。

ゆえに、物理学の本は(基本的に)関数に微分可能性を仮定することが多い。

ゆえに、物理学の本では、わざわざ関数の微分可能性を明記しません。

つまり、物理学の本は解析的な議論を省略することが多い。

一方、数学書は微分可能性も議論する。

ゆえに、物理系や化学系の学生が数学書を読むと戸惑う。

つまり、今までは意識していなかった微分可能性が議論に登場するので戸惑う。



微分可能性を意識すると、定理の証明が変わったりする?



そうですね。

アウトラインは同じですが、見た目には議論が異なる。

例えば、数学書では 「 C級 」 や 「 滑らかな関数 」 という表現が出ます。

級は 「 その関数の r 階導関数は連続である 」 という意味です。

滑らかな関数は 「 C級関数 」 という意味で用いられることが多い。



それにしても、定理の証明って・・・。

もっと、こう・・・直観的に分かり易く書けないものなのでしょうか?



直観的な説明を要望する人が多くいることは知っています。

しかし、初学の段階で直観的な説明を知ることは、あまり適切ではありません。



え・・・なぜ???

だって、直観的な説明があった方が、理解しやすくてよいと思うのですけど?

例えば、直観的なイメージを図で表現した方が読みやすいですよね?



いえ、本来、直観的な内容は読者自らが考えるべきだという立場もあります。

実際、読者自身が考えてもらうことによって、著者よりも自分に合ったものを描ける可能性もあるはず。

そこに、最初から図やイメージを載せてしまうとどうなるでしょう?

入門者の新しいアイディアが生まれる可能性をつぶしてしまう恐れがあります。

教科書に予備情報を載せることによって、そうした各人の独自のアイディアをつぶすべきではありません。

よって、教科書に直観的な説明を積極的に載せるべきではありません。



読者の独自のイメージを潰す可能性がある・・・。

たしかに、それはあるかもしれません。

しかし、「 直観的な理解は重要だ 」 と主張する研究者もいますよね?



私は 「 直観的な理解が不要である 」 とは言っていませんよ。

私が言いたいのは、「 直観的な理解は自分で作り上げるものだ 」 ということです。



けど、研究者同士で議論して、数式をつかわずに議論して新しいアイディアが生まれることがあるそうです。



それは、既に自分で十分に考えた後だからよいのです。

自分で十分に考えた後であれば、別の視点を得たときに新しいアイディアを生み出すことができます。

一方、最初から他人の考え方を輸入しているだけの人は、新しいアイディアを生み出すことができません。



定理の証明を読むことの利点って、何なのでしょう?



例えば、次のような利点があります。

(1) 定理の内容を把握する。

(2) 基礎力の向上



定理の内容を把握する・・・?

そんなの、読めば分かるのでは?



基本的にはそうです。

ただし、定理には 「 前提条件 」 があります。

定理を使用する場合には、この前提条件をしっかりと把握することが重要です。

しかし、これを見落とす学生は多い。

典型的なものは複素解析の 『 コーシーの積分定理 』 ですね。

これを使用するときには特異点の位置が重要です。

そのことを忘れると計算結果がおかしなことになる。

定理の証明を読まずにいると、こうしたことを忘れる。



では 「 基礎力の向上 」 というのは?



高校数学の勉強と同じですよ。

「 数学なんて解法を暗記すればいいじゃん! 」 が通じるのは最初だけ。

あるレベル以上になると、この方法では通用しなくなる。

なぜなら、この学び方では 「 個別の問題の解き方 」 だけを把握することになるからです。

しかし、実際には、多くの問題に共通する 「 汎用的な論法 」 があります。

それと同じです。

「 定理なんて証明を飛ばして内容だけ把握すればいいじゃん 」 が通じるのは最初だけ。

あるレベル以上になると、この方法では通用しなくなる。

なぜなら、この学び方では 「 個別の定理の内容 」 だけを把握することになるからです。

しかし、実際には、多くの定理に共通する 「 汎用的な論法 」 があります。

定理の証明を読まない人はこのことに気付かない。



多くの定理に共通する汎用的な論法!?

え・・・そんなのあるんですか???



そうですよ。

一見すると異なる定理に視えても、実は内容が似ているということがあります。

また、定理の 『 系 』 は、元の定理から直接的に瞬時に導かれることが多い。

このことを知っていれば、定理の系を暗記する必要もない。



えっと・・・具体的にどのような?



汎用的な論法・・・。

例えば、実は、次の2つは同じ考え方です。

(1) 位相空間論の開集合の基底

(2) 線形代数のベクトル空間の基底

( ただし、開集合の基底を 『 開基 』 と呼ぶことも多い )

あと、複素解析の定理は数が多いですが、基本的にコーシーの定理からすぐに導ける。



えーと・・・、定義が同じということですか?

それなら見れば分かるのでは・・・。



いえ、一見しただけでは見抜けないと思いますよ。

実際に証明や議論を読むことで意味を理解できる。



位相空間論と線形代数なんて別の分野だと思っていたのですが・・・。

共通する考え方があるとは・・・意外です。



直観的には、基底は 「 必要最低限の部品 」 を意味します。

ここから残りを再現できる。

ちなみに、同様の考え方は群論にもあります。

これらのキーワードは 「 基底、生成系、部分空間 」 などです。

証明をしっかり読んで議論を理解していくと、これらの話が1つにつながる。

これは特別なことではなくて、普通に証明を読むことで自然と理解されることです。



え・・・それって、かなり・・・かな〜り重要な話なのでは?



極めて重要ですよ。

残念ながら、

「 証明を読まずに直観的に理解できる方法があるはずだ 」

・・・と考える人も多い。

この人たちが 『 真の直観 』 に気付くことはできないでしょうね。

むしろ、証明を読まないことが迷宮から抜け出せない原因なのですけれど・・・。



ところで・・・。

たまに 「 まえがき 」 と 「 本編 」 の内容が一致していない本がありますよね。

例えば、まえがきには、

「 本書は初年次の大学生を対象として予備知識を仮定せず平易な解説を心がけた 」

・・・と書いてあるんです。

けど、本編を読むと、ルベーグ積分とか多様体とかどんどん登場する。

あれは詐欺では・・・。



あー・・・。

たしかに、たま〜に、そういう本はあります。

ただ、そのような本は一部の本ですよ。

それと、別に著者は嘘をついているわけではないです。



ええ〜!?

いやいや・・・どう考えても大学1年では理解できないと思いますけれど・・・。

だって、明らかに途中の議論が跳んでいるし・・・。



いや、その場合、著者は途中の議論ではなくて全体を視てほしいんですよ。

途中の議論を省略しているからこそ、定理の流れが視え易いでしょう。

つまり、

「 初級者は途中の議論を気にせずに読めば一気に深い所まで潜れるよ 」

・・・ということです。

そして、

「 上級者の人は途中の議論を自分で考えてみてね 」

・・・ということです。

この意味で、途中の議論を省略した本は 「 初級者向け 」 かつ 「 上級者向け 」 です。



そういうことだったのですか・・・。

以前にネット上で、

「 この本、「初年次にも分かる」とか書いてるけど、全然分からない!騙しやがったな!!! 」

・・・という怒りのコメントを見たことがあるのですけど。



この辺りのことは入門者には伝わりづらいので、誤解されることは多いですね。

それと、あくまで、途中過程を豪快に省略する類の本は一部だけです。

理工図書がそのように書かれているわけではありません。



一部だけ・・・本当に?



とくに、ネット上では一部の意見が大きく反映されやすい。

例えば、副読本の著者が 「 教科書は分かりにくい 」 という話を積極的に広めています。

教科書の信用を失墜させると副読本が売れてその人たちの利益になるので。



教科書の途中過程を埋める感覚って、どのようにしたら身に付くのでしょう。



先ほども述べたように、それは定理の証明を読むことですよ。



あ・・・そうか。

え〜と、定理の証明を読んでいけば、すべて分かるようになる?

ルベーグ積分とか、多様体とか、ヒルベルト空間とか、こういうものが分かるようになる?



そうです。

残念ながら、このことは学生に伝わりづらい。

「 定理の証明ではなくて、もっと直観的な意味を教えてほしい 」

・・・と考えてしまう。

これらの学生が数学書を理解できない理由は 「 直観的な説明がないから 」 ではありません。

「 定理の証明を読んでいないから 」 です。



簡易的な証明を載せるとか、そういう方法は?



簡易的な証明が載っているとして、途中過程の細部を知りたくなった場合は?



その場合は・・・もっと、詳細な証明を読むとか。



それはキリがありませんよね。

「 簡易的な証明 」 とか 「 直観的な説明 」 とか、パッケージ化されたものを欲してもキリがない。

そのような学習をしている人は 『 解説してくれる人 』 がいなくなったら何もできない。

ゆえに、「 普通の証明 」 から 『 自分が必要とする情報 』 を抜き出す技術が大切です。



あ、そうか。

そもそも、数学書の証明を片端から綿密に読む必要はない?



そうです。

数学書は自由に読んでよいのです。



そういえば、ゲームも同じですよね。

全クエストを攻略してもよいし、ゲームクリアに必要なクエストだけを攻略してもよい。



あー、うん、まぁ、そうですね・・・。