対談形式(多様体)

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多様体とは?



多様体とは、曲面の一般化です。

あるいは 「 曲がった座標系をもつ空間 」 です。

よく知られているように、ユークリッド空間は直交座標です。

多様体はこれを一般化したものです。

あるいは 「 座標に依存しない式で図形を記述する方法 」 です。



これで何をやるのでしょう?



例えば、多様体上で微分と積分を構築できます。

つまり、これは通常の微分積分の一般化です。



曲面上に微分積分学を構築する・・・?

ええと・・・?



S を 内の曲面とする。

f:S→ を S 上の関数とする。

このとき、f 偏微分することはできません。


え・・・?

普通に偏微分すればよいのでは?



いえ、通常の方法では偏微分できません。

たしかに、いま、f(x、x、x) と表すことができます。

これにより、f が x、x、x などによって偏微分できると錯覚します。

しかし、そもそも、f の定義域 S は曲面です。

この場合、例えば、x 軸と S の交点は、ただの点です。

よって、x軸に沿って f を偏微分することはできません。

一方、f の定義域が、 の開集合であれば偏微分可能です。

簡単に言えば、 の開集合とは、 内にある厚みのある部分集合です。



ああ、そうか・・・。

たしかに、曲面上の関数は、偏微分できませんね・・・。



では、曲面 S にパラメータが付いているとしたらどうでしょう?

つまり、ある写像φ:D→ ( D は の開集合 ) が存在して、φ(D)=S と表せる。

このとき、f*φ:D→ は通常の2変数関数ですよね。

つまり、普通に偏微分 ∂(f*φ)/∂u や ∂(f*φ)/∂v を考えることができる。



なるほど。

f:S→ の背後にφを見出して、そのφの定義域の変数で偏微分するのですね。

ところで、曲面のパラメータという概念は初めて知ったのですが・・・。

これは曲線のパラメータと同じように考えてよいのですよね?



そうですね。

C⊂ を平面内の曲線とします。

ある写像 Γ:[a、b]→ が存在して、Γ[a、b]=C と表せるとする。

このとき、Γ を 『 C のパラメータ表示 』 と言います。

曲線のパラメータは1次元的で、曲面のパラメータは2次元的です。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

通常、曲線では|Γ’|≠0 を仮定します。

このとき、この曲線を 『 正則曲線 』 と言います。

簡単に言えば、これは曲線が静止しないことを意味します。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

通常、曲面では ∂φ/∂u と ∂φ/∂v の1次独立性を仮定します。

さらに、φが単射であることを仮定します。

このとき、この曲面を 『 正則曲面 』 と言います。

簡単に言えば、これは曲面が2次元的な広がりをもつことを保証します。



そういえば、グラフ曲面という概念がありましたよね?



グラフ曲面は、正則曲面のパラメータが、曲面 S の真下にある場合ですね。



つまり、グラフ曲面は z=f(x、y) と表せる。

明らかに、グラフ曲面は正則曲面です。

実際、明らかに、f は単射です。

また、明らかに、∂f/∂x と ∂f/∂y は1次独立です。



なるほど。

『 正則曲面 』 と 『 グラフ曲面 』 の違いを理解しました。

何だか、これでかなり色々な議論ができそうですね。



そうですね。

しかし、これだけでは、扱える曲面の種類が少ないのです。

例えば、S={(x、y、z)∈|x+y+z=a } と定義します。

つまり、S 内の球面です。

実は、S は正則曲面でもないし、グラフ曲面でもない。



たしかに、明らかに、S はグラフ曲面ではないですよね。

しかし、正則曲面ではないと言えるでしょうか?

実際、球面は次のように表されることで有名ですよね。

(*) x=acosvcosu、y=acosvsinu、z=asinv

これの定義域は (u、v) 平面なので、正則曲面の定義を満たしていると思うのですが・・・?



残念ながら、ギリギリ正則曲面ではありません。

既に定義したように、正則曲面は単射である必要があります。

まず、定義域を D={ (u、v)∈|−π≦u<π、−π/2<v<π/2 } としてみましょう。

このとき、S の北極と南極を除けば 『 S の点 』 と 『 D の点 』 は、1対1で対応しています。

しかし、北極と南極が除外されているので、これでは S を表示できたことになりません。

次に、定義域を D={ (u、v)∈|−π≦u≦π、−π/2≦v≦π/2 } としてみましょう。

すると、今度は北極や南極で値が重複するので、単射ではなくなってしまいます。



そんな・・・。

球のように基本的な図形でさえも、正則曲面では表示できない・・・。

あ、でも、単射性を仮定しなければよいのでは・・・?



残念ながら、単射性は非常に重要な性質なので、これを外すわけにはいきません。



なぜ単射性が重要なのでしょう?



これは、『 曲面 S の点 』 と 『 D⊂ の点 』 が1対1で対応することを意味します。

直観的には、これは曲面上に座標が描かれているような状態になります。



で、私たちは、曲面(あるいは多様体)上で議論をする・・・例えば、微分積分を構築したいのですよね。

なので、ここを崩すわけにはいかないのです。



なるほど。

やはり、ここまでの議論では S を数学的な曲面として扱うことはできない・・・。

そこで、多様体が必要になるのですね。



そうです。

多様体の定義を書く前に 『 チャート 』 と呼ばれる概念を準備します。

X を位相空間とする。

U を X の開集合とする。

D を の開集合とする。

φ:U→D を同相写像とする。

このとき、対 (U、φ) を 『 m 次元チャート(局所座標系) 』 という。



つまり、チャートは、パラメータの向きを逆にした概念ですね。



そうです。

次に多様体を定義します。

M をハウスドルフ空間とする。

M は m 次元チャートによって被覆されるとする。

つまり、チャートの族 {(Uα、φα)}λ∈J が存在して、M=∪α∈Jλ となるとする。

任意の α、β∈J ( ただし Uα∩Uβ≠φ) に対し、座標変換φβ*φα−1 は C 級であるとする。

( むろん、φβ*φα−1:φα(Uα∩Uβ)→φβ(Uα∩Uβ) である )

このとき、M を 『 m 次元多様体 』 という。



ハウスドルフ空間とは?



X を位相空間とする。

任意の2点 x、y∈X に対し、ある開集合 U、V が存在して、次を満たすとする。

(*) x∈U、y∈V、U∩V=φ

このとき、X を 『 ハウスドルフ空間 』 と言います。

つまり、ハウスドルフ空間とは、任意の2点を開集合によって分離できる位相空間です。

ただし、ハウスドルフ空間は単なる舞台です。

なので、ハウスドルフ空間に関する知識がなくても気にする必要はありません。



簡単に言うと、ハウスドルフ空間とは、座標のないユークリッド空間みたいな?



そうです。

ただし、多様体では、チャートが入っていますよね。

既に述べたように、チャートとは 『 M の開集合 』 から D⊂ への同相写像です。

つまり、『 M の点 』 と 『 D⊂ の点 』 は1対1で対応している。

つまり、M に m 次元座標が描かれている。

ただし、座標の入り方は複数あります。

2つのチャート(U、φ)、(V、ψ)が存在して、U∩V≠φであるとします。



φ:U→D による像 φ(U∩V) は D の開集合です。

ψ:V→D による像 ψ(U∩V) は D の開集合です。

p∈U∩V とおく。

いま、φ(p)=(x、・・・、x) と表せる。

また、ψ(p)=(y、・・・、y) と表せる。

よって、(y、・・・、y)=ψ*φ−1(x、・・・、x) である。

つまり、ψ*φ−1 は座標変換です。

で、多様体の定義では、これが C級です。



つまり・・・多様体は曲面を貼り合わせたようなものでしょうか。

で、各繋ぎ目には座標変換があって、整合性がとれている。



そうですね。



すると、先ほどの S も多様体に含まれるのですね。

しかし・・・どうやって示すのでしょう?



難しくはないのですが、少し手間がかかりますね。

ここでは m 次元球面 Sm+1 が多様体であることを示します。

={(x、・・・、x)|x+・・・+x=1 } です。

明らかに、Sm+1 の部分空間としてハウスドルフ空間です。



・・・部分空間としてハウスドルフ空間???



位相空間論を知らない人は気にしなくてよいです。

ただ、ここでも簡単に説明しておきますね。

X を位相空間とする。

A を X の部分集合とする。

このとき、X の開集合 O に対し、A∩O を 『 A の開集合 』 という。



つまり、V を S の開集合とすると、ある開集合 O⊂m+1 が存在して、V=S∩O と表せる。



そうです。

つまり、S の開集合は曲面内に含まれます。



いま、X はハウスドルフ空間ですよね。

よって、X に属する任意の2点は、X の開集合によって分離できる。

よって、S に属する任意の2点を、S の開集合で分離できる。

たしかに、Sm+1 の部分空間としてハウスドルフ空間ですね。



次に、S を被覆するチャートの存在を示します。

次のように定義する。



いま、U は S の開集合{(x、・・・、x、・・・、x)∈|x>0 } の共通部分である。

よって、U は S の開集合である。

同様に、U は S の開集合である。

明らかに、2(m+1)個の開集合 U、U、・・・、U、U によって被覆される。

次のように定義する。



は 「 x を取り除く 」 という意味です。

明らかに、φ:U→φ(U) は同相写像です。

つまり、開集合を保存する。



つまり、(U、φ) は m 次元チャートである。

むろん、(U、φ) は m 次元チャートである。

以上により、S が 2(m+1)個のチャートによって被覆されていることが分かります。



後は・・・座標変換について示す必要がありますね。



そうですね。

ここでは、φm+1 と φ に注目しましょう。

いま、



また、



よって、



よって、φm+1*φ は C 級です。



ん・・・?

最後の結論がよく分からないです。

ああ・・・でも、微分積分学でやったような・・・?

う〜ん、勉強不足ですいません・・・。



最後の部分は、微分積分学の基本的な知識が必要ですね。

分からない場合は、余裕があるときに、微分積分を復習して理解すれば十分です。

ただ、これは微分の意味を考えれば、直観的にも明らかです。

要するに、尖っていなければよいのですよ。

そう考えると、φm+1*φ が C 級であることは当然です。



なるほど。

以上で、S が多様体であることが示されたのですね。

他にも多様体はあるのでしょうか?



色々ありますよ。

例えば、『 トーラス 』 や 『 メビウスの帯 』 や 『 クラインの壺 』 などがあります。