対談形式(定義、公理、命題、定理とは?)

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理工図書を読んでいると、定義、命題、定理、公理、要請という用語が出てきますよね。

しかし、これらの意味がいまいち分かりません。

まず、定義とは?


定義とは、議論を円滑に行うための取り決めです。

定義は授業や参考書によって異なる場合があります。

例えば、重要な定数 e について考えてみましょう。

実は、授業・参考書の種類によって e の定義は少し異なります。

例えば、ある教科書を見ると、e は次式で定義されています。



ところが、別の教科書を見ると、次式で定義されていることもあります。



どちらかの定義が間違っていて、どちらかの定義が正しいというわけではありません。

実は、(1)から(2)が導かれます。

だから、(1)を e の定義として採用してもよいし、(2)を採用してもよい。

どちらの定義を採用するかということは、本の目的によって変わります。


では、命題とは?


命題とは、次の(1)または(2)を意味します。

(1) 真偽が判定できる主張

(2) ある体系の中で真であると証明された主張

ふつう、教科書に書かれている 『 命題 』 は(2)を意味します。

しかし、論理学の話をしているときには、(1)を意味することが多い。

例えば、(1)の意味で、1=2 という命題を考えることができます。

この命題は偽です。


では、定理とは?


定理とは、証明された命題の中でも特に重要な命題です。

ただし、命題と定理の区別は明確ではありません。

同じ内容の主張であっても、命題と呼ぶか、定理と呼ぶかは教科書によって異なります。

ちなみに、おそらく成り立つだろう主張を 『 予想 』 と言います。

現在(2016年)に最も有名な数学の予想は 『 リーマン予想 』 です。


ええと、「 成り立つか否かは分からないけれど、おそらく成り立つだろう 」 ということですね?



そうです。

100年前に、数学者リーマンが予想したのですが、まだ証明されていません。


では、補題とは?


補題とは、目的の定理を証明するための準備となる命題のことです。

つまり、補題は 「 その後に重要な定理が登場する 」 というメッセージです。

これは読者に論理構造を分かりやすく伝える効果があります。

ただし、命題・定理・補題の区別は明確ではありません。


では、公理とは?


公理とは、議論を始めるための出発点となる主張です。

数学の定理は、他の定理から証明されることによって成り立っていますよね。

では、その定理の元を追跡するとどうなるのでしょうか?

必ず、それ以上は元を辿ることができない、出発点となる定理が存在するはずです。

それを公理と呼びます。


では、要請とは?


要請は 『 公理 』 と概ね同じ意味で用いられます。

とくに、物理学で用いられる傾向があります。

例えば、力学ではニュートンの3法則などが要請されます。

力学の角運動量保存則はニュートンの法則から導かれます。

色々な法則が雑然とあるのではなくて、他の法則は要請から導かれる。

同様のことは、電磁気学、熱力学、量子力学にもあります。

電磁気学では、マクスウェルの方程式を要請として採用できます。

熱力学では、エントロピー増大則などを要請として採用できます。

ただし、要請の取り方は一意とは限りません。

また、物理の理論をしっかりと組み立てることは難しい。

なので、初級者向けの物理の参考書では細部が曖昧になっていることも多い。

むしろ、完全に要請から理論を組み立てている参考書は少ない。

この意味で、物理の参考書で分からない部分があったとしても、読者の責任ではないことが多い。

例えば、電磁気学の参考書に掲載されている線積分の解説は簡略化されていることが多い。

むろん、理解できなくてもよいという意味ではありません。