対談形式(前提知識の総まとめ)

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どの分野を学ぶときに、どの知識が必要なのか気になります。

1つ1つ質問してもよいですか?



よいですよ。

ただし、前提知識に明確な境界があるわけではありません。

「 この分野ではこれが絶対に必要! 」 とか、

「 この分野ではこれは絶対に不要! 」 とか、

そのように明確に区分できるわけではありません。

ほとんどあらゆる分野の内容は、大雑把であれば 『 高校レベル 』 の知識で説明できます。

ほとんどあらゆる分野の内容は、奥深くまで探索すると、すべての分野と関連します。

例えば、確率論は小学生でも学ぶことができますよね。

サイコロ1つあれば、かなり色々なおもしろい話ができる。

ただし、確率論を深く学ぶと、ルベーグ積分論、関数解析、フーリエ解析が関連します。

さらに、情報幾何学という分野を含めれば、多様体論など幾何学の内容も関連します。

これらのことを踏まえた上で、各分野の前提知識を大雑把に説明することはできます。



では、まず、集合論の前提知識は?



集合論を学ぶために必要な知識は 「 とくになし 」 です。

知識面だけであれば、本当に中学生でも学べます。

まぁ、カントールの定理では 『 実数の連続性 』 を知っておいた方がよいかもしれませんが・・・。

知らなくても大きな問題はないでしょう。



・・・ん?

「 知らなくても問題ない 」 というのは?



既に述べましたが、あくまで大雑把な話であることに注意してくださいね。

簡単に言うと、カントールの定理とは、自然数と実数の濃度が異なることを示す定理です。

で、その証明には 『 カントールの対角線論法 』 が用いられます。

で、このカントールの対角線論法に 『 実数の連続性 』 が用いられます。

ただし、これは 『 10進法展開 』 として現れる。

つまり、「 すべての実数は小数の形で表される 」 という事実を知っていれば問題がない。

で、この部分さえ認めてしまえば、カントールの対角線論法は中学生でも分かります。

なので、対角線論法は初級者向けの本にも載っているのですが、

実は、コッソリと実数の連続性を用いていたりする。



「 すべての実数は小数の形で表される 」 が実数の連続性に基づく事実だということに驚いています。

そもそも、これは・・・どういうこと?



それを説明しようとすると、「 実数とは何か? 」 を本格的に議論しないといけません。

で、カントールの定理を証明するときにそこまで解説することは遠回りになってしまう。

加えて、10進法展開は、多くの人が常識的に受け入れている。

よって、実数の連続性を説明しなくても問題はない。

ただ、この辺りは微妙なもので・・・。

実数の連続性を知らないと、対角線論法は 「 分かるような分からないような話 」 になってしまう。

だから、次の2種類の本がある。

(1) 実数の連続性を軽く説明してから対角線論法を用いる本

(2) 実数の連続性を説明せずに対角線論法を用いる本

あるいは、「 実は10進法展開は実数の連続性に基づいているよ 」 という注意だけを述べる。



ええと、話をまとめると・・・。

○ カントールの定理には対角線論法が用いられる。

○ 対角線論法は中学生でも理解できる。

○ しかし、実は、そこには 『 実数の連続性 』 や 『 10進法展開 』が用いられている。

○ 対角線論法をしっかりと理解するためには実数の連続性に対する理解が必要。



そうですね。

それらをまとめると、私の最初の言葉 「 知らなくても大きな問題はない 」 になります。

ただ、この辺りは誤解が生じやすいので厄介ですね。

これは 「 学ばなくてもよい 」 とか、「 この知識が無駄である 」 という意味ではないのですが・・・。

どうしても、そういう間違った意味で解釈されてしまうことが多い。

しかし、

「 実数の連続性をマスターしていなければ学ぶ資格なし! 」

・・・などというと、これまた大きな誤解が生じる。

これだと、大層な準備をしなければ学ぶことができないかのように錯覚してしまう。



『 一面 』 で視ると 「 知らなくても大きな問題はない知識 」 が、

『 全体 』 で視ると 「 必要不可欠な知識 」 となる。

機械の部品のようなものでしょうか。

その部品1つ 『 だけ 』 をいくら観察しても、その有用性は視えてこない。

色々な機械に組み込まれることを知って、初めてその有用性が視えてくる。



そうです。

よく 「 勉強が何の役に立つの? 」 という疑問が提示されますよね。

ここまでの議論が1つの答えとなるかもしれません。

例えば、

「 地球の自転と公転 」

「 1次方程式の解法 」

「 酸化還元反応 」

・・・などなど、1つ1つの部品は知らなくても人生で大きな問題が生じることはない。

しかし、全体のつながりを視ると、人生において必要不可欠です。

また、

「 なぜ専門書はこんなに小難しく説明するのか、もっと簡単に説明できるだろう 」

・・・と怒る人もいます。

しかし、専門書はわざと物事を難しくしているわけではありません。

全体を視ずに一面だけを視て 「 こんな知識は不要だ 」 と断定してしまうことは早計です。

以下、前提知識を説明するときも、この辺りの誤解はないようにお願いします。



では、微分積分の前提知識は?



微分積分を学ぶために必要な知識は 「 とくになし 」 です。

そもそも、基本的な内容は教科書に書かれていますからね。



では、位相空間論の前提知識は?



集合と写像について知っていることが望ましいですね。

ただし、その辺りの基礎は位相空間論の教科書に書かれていることが多いです。



では、線形代数の前提知識は?



線形代数を学ぶために必要な知識は 「 とくになし 」 です。

そもそも、基本的な内容は教科書に書かれていますからね。



では、代数学の前提知識は?



集合・写像について慣れていることが望ましいですね。

例えば、代数学では 『 同値類 』 が重要になります。

同値類という概念は集合の知識だけで理解できるので、事前に慣れていると安心できる。

また、代数学で最重要な定理として 『 準同型定理 』 があります。

これは写像に慣れていないと、その証明が理解できなくなります。

ただし、集合・写像について基本的な知識は代数学の本に書かれています。



では、ルベーグ積分の前提知識は?



とくに、上限・下限、数列の極限(εN論法)、無限級数の定義を理解していることが重要です。

加えて、微分積分学や一様収束などの知識があることが望ましい。



無限級数って・・・。

ああ、収束と発散の判定とか色々な問題がありましたね。

それと、ダランベールの判定法とかいうのがありましたっけ。

やはり、無限級数の問題をズバズバ解けないといけないのでしょうか?



いや、そういう知識はいらないです。

それよりも、無限級数や数列の極限(εN論法)の定義をしっかりと理解していることが重要です。

例えば、ルベーグ積分論では次のような式変形が多く登場します。

(*) 1≦n≦∞∫f(x)dx=∫1≦n≦∞(x)dx

これは 『 項別積分 』 と呼ばれます。( ただし、通常の微分積分学にも項別積分はある )

簡単に言うと、極限と積分を交換する理論です。

数列や無限級数を理解していないと、なぜこれらの交換が可能なのか分からなくなります。



へ〜〜〜・・・。

何だか、その式変形は 『 当然 』 のように思えてしまいますが・・・。



それこそが罠です。

理解していない人が視ると 『 当然 』 に視えてしまう。

だから、厳密な理論の重要性を理解できない人が多い。

そういう人は、

「 工学にはεδ論法はいらない! 」 とか、

「 教科書は簡単に分かることをワザと回りくどく書いている! 」 とか、

そういうことを言う。

むろん、高校卒業したばかりの人がそう感じてしまうことは仕方ないかもしれません。

しかし、大学生になったら、ぜひここは考え直してほしい。



もう1つ質問です。

通常の微分積分学にも 『 項別積分 』 はありますよね?

そして、ルベーグ積分論にも 『 項別積分 』 はある。

ということは・・・、通常の微分積分学の項別積分をマスターしないとルベーグ積分は学べない?



いえ、そういうわけではありません。

通常の微分積分学の項別積分を知らなくても、ルベーグ積分を学ぶことはできますよ。

なぜなら、ルベーグ積分は、通常の積分とは別の方法で積分を構成するからです。

式としては同じだけれど、出発点が異なる。



なるほど・・・。

疑問なのですが、そういう知識はどこから得るのですか?

「 何がどこで必要か 」 ということはどのようにして分かるのでしょう?



それは実際に自分でやってみないと分からないでしょうね。

「 方法 」 を探すのではなくて、まずは 「 行動 」 が重要です。

このページでは 「 前提知識 」 について説明していますが、

あくまでただの指針であることに注意してください。

実際には、自分で行動しないと意味がない。

行動が伴っていない状態で他人から前提知識のリストを渡されても、すぐに忘れてしまいます。

それでも、「 何かのキッカケになればよいな 」 という想いで作られているのがこのページです。

なので、この先の内容も参考程度に留めてもらえれば幸いです。



では、関数解析の前提知識は?



関数解析の前提知識は、線形代数と位相空間論ですね。

さらにより深く学ぶ場合には、ルベーグ積分の知識が必要です。



では、フーリエ解析の前提知識は?



フーリエ解析の前提知識は、微分積分学ですね。

例えば、一様収束や項別積分などの知識が必要です。

深く学ぶためにはルベーグ積分や関数解析に関する知識が必要です。



では、偏微分方程式の前提知識は?



やはり、常微分方程式の知識は必要ですね。

深く学ぶためには、関数解析やフーリエ解析の知識が必要です。



では、確率論の前提知識は?



確率論の前提知識は微分積分学です。

統計学をやるのであれば、線形代数も重要ですね。

確率論を深く学ぶためにはルベーグ積分・関数解析に関する知識も必要です。



では、複素解析の前提知識は?



複素解析の前提知識は微分積分学です。

例えば、偏微分、1変数の積分、無限級数などです。

加えて、項別積分、一様収束などに詳しいとよいですね。



では、常微分方程式・力学系の前提知識は?



常微分方程式の前提知識は微分積分学です。

常微分方程式を深く学ぶためには、線形代数・フーリエ解析・複素解析に関する知識が必要です。

ちなみに、深く進むと、『 複素係数常微分方程式 』 という世界があります。

力学系の前提知識は、常微分方程式です。

深く学ぶと、位相幾何と関連することもあります。



では、位相幾何学の前提知識は?



位相幾何学の前提知識は、位相空間論と代数学です。

例えば、写像の連続性や準同型定理について知っているとよい。



では、ベクトル解析、微分幾何学、多様体論の前提知識は?



ベクトル解析、微分幾何学、多様体論の前提知識は、多変数の微分積分学ですね。

多変数ベクトル値関数や多変数の微分法に慣れていることが必要です。



では、表現論の前提知識は?



表現論の前提知識は代数学と線形代数です。

例えば、線形代数の表現行列などが重要です。



では、力学・解析力学・流体力学の前提知識は?



力学・解析力学の前提知識は、微分積分学です。

とくに、バネの振動なども扱う場合は、常微分方程式が必要ですね。

大学の力学では 『 3次元 』 を扱うので、運動方程式を 『 ベクトル 』 で記述します。

なので、ベクトルの外積、ベクトルの内積の計算が必要です。

加えて、行列の計算に慣れていると安心できます。

深く学ぶと、テンソルや多様体論なども関連してきます。

例えば、応力を説明するときにテンソルが有用です。

流体力学の前提知識は、複素解析・偏微分方程式です。

例えば、流体力学ではポテンシャル論が重要で、そこに複素解析や偏微分方程式が関連します。



では、電磁気学・相対性理論の前提知識は?



電磁気学の前提知識はベクトル解析です。

また、電磁気学ではポテンシャル論が重要で、そこにベクトル解析が関連します。

深く学ぶと、力学と電磁気学が合体して相対性理論になります。

で、相対性理論もそうですが、広く幾何学の知識が有用になります。



では、量子力学・場の理論の前提知識は?



量子力学の前提知識は、線形代数です。

深く学ぶと、関数解析やルベーグ積分論なども必要になります。

あるいは、表現論などが重要になります。

その他、場の量子論などもそうですが、代数学の理論が深く関連します。



では、熱力学・統計物理学の前提知識は?



熱力学の前提知識は微分積分です。

統計物理学の前提知識も微分積分です。

ある程度は熱力学や量子力学に慣れている方がよい。

統計物理学の奥地に進むのであれば、確率論なども必要ですね。



へー?

統計物理学の前提知識は微分積分なのですか?

何となく、統計学や熱力学が第一に必要に思えるのですが・・・。



断言はしませんが、確率統計は必要ないですよ。

簡単に言うと、統計物理学では 『 相空間 』 の代表点の集合を議論します。

なので、力学の質点を議論する場合と同様に、微分積分が重要になります。

ちなみに、相空間は 「 位相空間 」 とも呼ばれますが、位相空間論とは別物です。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ちなみに、力学では直交座標上の質点の軌跡を議論します。

なので、力学では 『 微分 』 が重要です。

一方、統計物理学では相空間上の代表点の集合の面積(体積)を議論します。

なので、統計物理学では 『 積分 』 が重要です。

ただし、重積分を厳密に理解しておく必要はなくて、概ねの基本を知っていれば十分です。



うーん・・・。

しかし、統計物理学の教科書を開くと、最初に統計学の基礎が書かれているものもありますけれど?

例えば、この本とか・・・。



どれどれ・・・。

ポアソン分布、一様分布、ガウス分布、中心極限定理、フーリエ変換、・・・。

うーん・・・。

少なくとも、この本の場合は 『 参考 』 のために書かれているだけですよ

実際、本編の内容にはほとんど関連していないでしょう。

だから、統計物理学の本を少しめくって、

「 うわ、中心極限定理とかフーリエ変換とか書いてある。自分にはまだ早い 」

・・・などとして本を閉じるのは早計ですよ。



なんと・・・そうなんですね。

ところで、フーリエ変換って、フーリエ解析の内容ですよね。

なのに、なぜ統計物理学の確率・統計の項目に書かれているのでしょう?



フーリエ変換の基礎として、次の事実があります。

(*) ガウス関数はフーリエ変換に対して不変である。

これさえ知っていればよい。



ふむふむ・・・。

しかし、統計物理学を学ぶときに熱力学の知識が必要ないというのは本当ですか?

統計物理学の本を開くと、熱力学の式が色々と登場しますよね?

例えば、S=−(∂F/∂T)V、N などです。

このような式が 「 熱力学より成り立つ 」 という一言で次々と登場しています。

私はこの式が成り立つ理由なんて知りませんよ?

それなのに、熱力学を知らなくてもよいのですか?



問題ありませんよ。

統計物理学では S=−(∂F/∂T)V、N は 『 定義 』 だと思えばよいのです。

で、定義の正当性は熱力学で議論される。

このように、熱力学と統計物理学の議論は 『 隔離 』 できます。



S=−(∂F/∂T)V、N を定義と見なす・・・。

しかし、それはワケも分からず式を追っていることになりますよね。

それはよくないことなのでは?



そんなことはありませんよ。

例えば、多くの学生は力学で万有引力の問題を解きます。

しかし、学生は万有引力を知っているわけではないでしょう?

実際、万有引力が何であるか答えられますか?



え・・・。

ええと、距離の2乗に反比例する力ですよね?



それは万有引力の法則ですよね。

万有引力を知っているわけではない。

なぜ万有引力というものが存在するのか?

なぜ万有引力は 『 磁力 』 に比べて圧倒的に弱いのか?

説明できますか?



そ、それは・・・分かりません。



そうでしょう?

学生は万有引力を知っているわけではなくて、F=−GMm/r という式を知っているだけです。

S=−(∂F/∂T)V、N を知っているだけの状態と何が異なるのでしょう?



なるほど・・・。



かつて、同じような話はニュートンの時代にもありました。

ニュートンが著作の中で力学の理論(万有引力の法則など)をまとめると、次のような批判が出ました。

「 万有引力の原因が書かれていないではないか 」

これに対し、ニュートンは著作第2版の中で次のように述べました。

「 たしかに、私は重力の原因を解明していない 」

さらに、次のように述べました。

「 しかし、法則を応用し、物体の運動を解き明かせれば十分である 」

たしかに、万有引力の原因は現在(2017年)の科学でも解明されていません。

謎を解くカギであるヒッグス粒子は発見されましたが、それでもすべてを解明したわけではありません。

ニュートンは問題を上手に棚上げしたからこそ、力学の理論を創始することができたのです。



ふ〜、色々ありますね。

何だか、ゴチャゴチャしてきました。



既に述べましたが、どの分野も何らかの形で互いに関連していることが多いです。

なので、あまり気にし過ぎると逆効果です。

ここで述べていることは大雑把な指針であることに注意してください。

また、大抵の分野は集合、線形、代数、微積、位相を知っていれば学ぶことができます。

基本的に、この5科目があれば何でもできる。