対談(前提知識の総まとめ)

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分野を学ぶときに必要な前提知識がないと困りますよね。

各分野で必要な前提知識を知りたいです。



そうですね。

ただし、前提知識に明確な境界があるわけではありません。

「 この分野ではこれが絶対に必要! 」 とか、

「 この分野ではこれは絶対に不要! 」 とか、

そのように明確に区分できるわけではありません。

ほとんどあらゆる分野の内容は、大雑把であれば高校レベルの知識で説明できます。

ほとんどあらゆる分野の内容は、奥深くまで探索すると、すべての分野と関連します。



ふむふむ、了解です。

まず、集合論、線形代数、代数学、微分積分、位相空間論の前提知識は?



それらの分野は基本的に前提知識は不要ですね。

強いて言うならば・・・。

多変数の微分積分を学ぶときに行列について基本的な知識をもっていることが望ましい。



むむむ・・・。

行列って、線形代数の内容ですよね。

つまり、微分積分を学ぶ前に線形代数を学んだ方がよい?



微分積分を学ぶ前に線形代数をマスターするべきだということではありません。

ただ、「 行列の積 」 や 「 行列式 」 の定義くらいは知っている方がよいという話です。



逆に、線形代数の方で微分積分学の知識が必要になることはないのでしょうか?



うーん・・・、行列の指数関数などを議論するのであれば、微分積分の知識もつかいます。

ただ、普通に線形代数と呼ぶ場合にはつかいません。

この意味で、線形代数の方が微分積分より基本的な分野であると言えます。



ふむふむ・・・。

それと、集合論や位相空間論について前提知識が不要であるというのは本当ですか?



集合論を学ぶために必要な知識は 「 とくになし 」 です。

知識面だけであれば、本当に中学生でも学べます。

カントールの定理では 『 実数の連続性 』 を知っておいた方がよいかもしれませんが・・・。

知らなくても問題はないでしょう。



ん・・・?

「 知らなくても問題ない 」 というのは?



簡単に言うと、カントールの定理とは、自然数と実数の濃度が異なることを示す定理です。

で、その証明には 『 カントールの対角線論法 』 が用いられます。

で、このカントールの対角線論法に 『 実数の連続性 』 が用いられます。

ただし、これは 『 10進法展開 』 として現れる。

つまり、「 すべての実数は小数の形で表される 」 という事実を知っていれば問題がない。

で、この部分さえ認めてしまえば、カントールの対角線論法は中学生でも分かります。

なので、対角線論法は初級者向けの本にも載っているのですが、

実は、コッソリと実数の連続性を用いていたりする。



「 すべての実数は小数の形で表される 」 が実数の連続性に基づく事実だということに驚いています。

そもそも、これは・・・どういうこと?



それを説明しようとすると、「 実数とは何か? 」 を本格的に議論しないといけません。

で、カントールの定理を証明するときにそこまで解説することは遠回りになってしまう。

加えて、10進法展開は、多くの人が常識的に受け入れている。

よって、実数の連続性を説明しなくても問題はない。

ただ、この辺りは微妙なもので・・・。

実数の連続性を知らないと、対角線論法は 「 分かるような分からないような話 」 になってしまう。

だから、次の2種類の本がある。

(1) 実数の連続性を軽く説明してから対角線論法を用いる本

(2) 実数の連続性を説明せずに対角線論法を用いる本

あるいは、「 実は10進法展開は実数の連続性に基づいているよ 」 という注意だけを述べる。



そうなのですか・・・。

あれ・・・結局、何だっけ?

集合論を学ぶときに必要な知識は・・・。



集合論を学ぶときに必要な知識は 「 とくになし 」 です。

集合論は中学生でも学べます。



あ、あああ・・・そうでした。

少し混乱してしまいました・・・。



うん・・・なので、あまり前提知識のことを詳細に説明はしたくないんですよ・・・。

必要以上に入門者を驚かすことになってしまうので・・・。



分かりました。

話半分程度に聞けばよいのですよね。



そうです。

そうしてもらえると嬉しい。



その他の数学分野はどうでしょう?

微分方程式、複素解析、ベクトル解析、フーリエ解析とか。

確率・統計、ルベーグ積分、関数解析、多様体とか。



基本的に、集合・線形代数・代数学・微分積分・位相空間論を知っていればどの分野も学べますよ。

いずれの分野も、初歩的な内容であれば、線形代数と微分積分学で十分です。

深く入ろうとすると、代数学や位相空間論が必要になります。



つまり、微分積分や線形代数をマスターした方がよい?

例えば、微分積分や線形代数の問題をズバズバ解けるようにした方がよい?



いや、問題をズバズバ解くような能力は必ずしも必要ではありません。

この辺りは実際にその世界に入れば分かることです。

最も不適切な学習は、新しい分野を一切見ずに既存の分野を極めようとする行為です。

このような学習は力の入れどころを間違えます。



ルベーグ積分を学ぶときも、そうなのですか?

何となく、微分積分をマスターしてからでないと入ってはいけない世界であるように思えるのですが・・・。



ルベーグ積分を学ぶときに通常の微分積分の知識は必須ではありません。

そもそも、積分の構成法が違いますからね。



では、物理学の方はどうでしょう?



力学、解析力学、電磁気学の前提知識は 「 ベクトル解析 」 ですね。

流体力学は 「 複素解析 」 です。

相対性理論は 「 電磁気学 」 です。

量子力学は 「 行列 」 です。

熱力学は 「 微分積分 」 です。

統計物理学は 「 統計学 」 です。

ただし、いずれも 「 知っておくほうがよい 」 程度の意味です。



ふーん・・・統計物理学と聞くと 「 統計学をマスターしておかなければ!! 」 と思ってしまいますが・・・。



統計物理学で必要な統計学の知識は 「 二項分布の正規近似 」 で十分でしょう。

むろん、これらのことは統計物理学の本に 「 補足 」 などの形で書かれていることが多いと思います。

結局、前提知識などというものは気にしなくてよいということです。



そういえば、ゲームをするときも説明文を全て読んでからプレイする人は多くないですよね。

実際にゲームをしてみて、必要になってから説明を読む人も多いはず。



なぜゲームで比喩するのか分かりませんが、まぁ、そうです。