対談形式(常微分方程式)

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まず、常微分方程式とは?



方程式の中に微分が含まれたものを 『 常微分方程式 』 と呼びます。

例えば、y’=−ky です。

ただし、y は t の関数です。

なので、より正確には、y’(t)=−ky(t) です。

また、その解は C=e−kt で表されます。

実際、これを微分方程式に代入すると、方程式が成り立つことを確認できます。



なるほど。

すると、常微分方程式の参考書には、色々な微分方程式の解法が書かれている?



初級者向けの参考書の場合は、それが主ですね。

ただし、それ以外にも 「 解の存在と一意性 」 などがあります。

中級レベルの参考書では、この辺りを詳しく議論することが多い。



「 解の存在と一意性 」 ・・・?

え・・・でも、解が存在することや、解が一意であることは、当然では?



いえ、当然ではありません。

また、現実の問題に登場する多くの微分方程式は解けない場合が多い。

しかし、初級者向けの参考書では解析的に解ける微分方程式のみを扱うことが多い。

なので、入門者は 「 すべての微分方程式は解けるものである 」 と思い込む。

また、解の安定性や定性的理論は 『 制御系 』 や 『 非線形振動 』 に対して有用です。

制御系と非線形振動は、機械工学・建築などで有用です。



えええ・・・?

解けない微分方程式が多いのですか?

しかし、解けないとはどういうことですか?

解き方が分かっていないということですか?



解き方が分かっていない場合もあれば、原理的に解けない場合もあります。

例えば、非線形の境界問題で厳密解を得ることはほとんどない。



そんな・・・。

では、どうすればよいのでしょう?

大雑把な範囲で解く・・・とか?



その通りです。

つまり、実際には 『 近似解 』 を求めることが多い。

とくに、『 ピカールの逐次近似法 』 が有名です。

他には 『 摂動法 』 や 『 特異摂動法 』 があります。

近似解を求めるときには 『 巾級数 』 や 『 関数項級数 』 の理論が有用です。

つまり、テイラー級数、フーリエ級数、項別微分などです。



ところで、解の存在と一意性は、具体的にどのような内容なのでしょう?

ある仮定の下で、解の存在と一意性が保証されるということですか?



そうです。

例えば、y’=f(x、y) という1階微分方程式を考えます。

このとき、f がリプシッツ連続ならば、解の存在と一意性が保証されます。



それにしても・・・本当に、解が一意ではない微分方程式が存在するのですか?

だって、微分方程式は、式によって完全に定められていますよね。

で、それを数学的に論理的に解きますよね。

なのに、解が一意でないことがある・・・。

何だか、不思議な感じがします。



解が一意ではない微分方程式は普通にありますよ。

例えば、(y’)−4y=0 は解けますか?



ええと・・・。

(y’)−4y=0

(y’)=4y

y’=±2√y

(1/√y)dy=±2dx

∫(1/√y)dy=∫±2dx

2√y=±2x+C

√y=±x+C

y=(x−C)

・・・うーん、解は1つに視えますけど・・・?



解が一意であるか否かを議論する前に、確認しなければならないことがあります。

いま、(y’)−4y=0 の一般解は y=(x−C) ですね。

一方、明らかに、y=0 は (y’)−4y=0 の一般解です。

しかし、y=0 は y=(x−C) に含まれていません。



あ・・・そうか。

計算の中で、1/√y と変形したから、y=0 を場合分けしないといけないのか・・・。

・・・あれ?

でも、こういう場合分けをしなくても、これは一般解に含まれるのではありませんでしたっけ?



それは1階線形微分方程式の変数分離形で有名な話ですね。

しかし、今回の (y’)−4y=0 は、そもそも線形微分方程式ではありません。

念のため、1階線形微分方程式の変数分離形について復習しましょう。

例えば、y’=y を考えます。

y’=y

(1/y)dy=dx

∫(1/y)dy=∫dx

log|y|=x+A

y=±e

y=Ce

上の計算では 1/y と書きましたので、ここでは暗黙に y=0 の場合を除外しています。

しかし、y=0 は、y=Ce に含まれています。

実際、C=0 とすると、y=0 です。

y=0 の場合を除外したのに、なぜ y=0 が一般解に含まれているのか?

そのトリックは、計算の途中で ±e を C とおいたことにあります。

冷静に考えると、±e は 0 という値をとりません。

しかし、C は 0 という値をとる。

つまり、y=0 を除外した分が、ここで払い戻されているのです。

ちなみに、C=0 は A→−∞ に相当します。

つまり、線形微分方程式の変数分離形では、分母が 0 になる場合を分けて考える必要はない。

なぜなら、分母が 0 となる場合の解は、一般解の極限として表せるからです。



ええと・・・整理します。

(y’)−4y=0 の一般解は、y=(x−C) です。

しかし、解 y=0 は、y=(x−C) には含まれていない。

一方、y’=y の一般解は、y=Ce ( =±e ) です。

こちらは、解 y=0 が、y=Ce ( =±e ) に含まれている。

実際、A→−∞ ( あるいは C=0 ) の場合が y=0 に相当する。

・・・。

・・・。

・・・ん?

なぜ、解 y=0 が一般解に含まれるときと、含まれないときがあるのでしょう?



よいことに気付きましたね。

それについては、解曲線を描いて考えてみるとよいと思います。



えーと・・・。

まず、(y’)−4y=0 の一般解は、y=(x−C) ですね。

これを図示すると・・・、



一方、y’=y の一般解は、y=Ce ( =±e ) ですね。

これを図示すると・・・、



うーん・・・?



もはや、答えは出ていますよ。

図から分かるように、y=(x+3) や y=(x−1) は、(y’)−4y=0 の解です。

また、y=0 も、(y’)−4y=0 の解です。

そして、これらの解は、互いに接しています。(重要!)

よって、例えば、次のようなものも、(y’)−4y=0 の解です。



つまり、特殊解をつなぎ合せたものも解となる。

つまり、解は一意ではありません。

一方、y’=y の解曲線は、互いに離れています。

また、y=0 が A→−∞ の極限として表されることも明らかです。

つまり、y’=y は解の存在と一意性を満たしています。

実際、線形微分方程式はリプシッツ条件を自動的に満たします。