学問の大局

サイトのTOP→理系インデックス





参考

力を加えると変形し、その力を取り除くと元の状態に戻る性質を 『 弾性 』 という。

弾性体に外力が加えられたとき、内部では 『 歪(ひずみ)』 と 『 応力 』 が生じる。

これらの量を記述するためには 『 テンソル 』 が有用である。

図示すると、

参考

弾性体の変形を記述するときには 『 歪 』 と 『 応力 』 を用いる。

歪は弾性体の連続性を仮定することで得られる。

応力は弾性体の平衡性を仮定することで得られる。

弾性体力学における基礎方程式は 「 変位、外力(体積力、表面力)、歪、応力 」 の関係を表す式である。

その記述には 「 歪テンソル、応力テンソル、弾性定数 」 が用いられる。

また、問題に合わせて 『 対称性 』 を考慮する。

さらに、境界条件を追加して連立基礎方程式を解く。

図示すると、

上では 「 境界条件を追加して連立基礎方程式を解く 」 と述べた。

しかし、実際には 『 数値計算 』 や 『 解析力学 』 を用いる方法が実用的である。

具体的には、次の方法がある。

(*) 仮想仕事の原理、最小ポテンシャル、カスティリアノの定理、レイリー・リッツ法、有限要素法

参考

ベクトル解析や電磁気学において 『 ガウスの発散定理 』 と 『 ストークスの定理 』 は有用である。

ガウスの発散定理は 『 流束 』 と 『 div 』 によって記述される。

ストークスの定理は 『 循環 』 と 『 rot 』 によって記述される。

流束は 「 面積分 」 であり、循環は 「 線積分 」 である。

ガウスの発散定理の証明とストークスの定理の証明は似ている。

ガウスの発散定理は閉曲面を分割して証明される。

ストークスの定理は閉曲線を分割して証明される。

図示すると、

参考

マクスウェル方程式の表示法は複数ある。

具体的には次の通りである。

(1) 積分形 : 直観的に分かりやすい。

(2) 微分形 : 数学的に応用しやすい。

(3) 微分形式 : 理論的に統一的な立場で表記できる。

積分形から微分形を導くときには 『 ガウスの発散定理 』 と 『 ストークスの定理 』を用いる。

マクスウェル方程式から次のような法則を 「 直ち 」 に導ける。

(*) クーロンの法則、ガウスの法則、アンペールの法則、ファラデーの法則、電荷保存則(連続の方程式)

「 導ける 」 というよりは 「 含んでいる 」 と表現した方がよいかもしれない。

あるいは、マクスウェル方程式は(*)の一般化であると言える。

図示すると、

参考

φ(r)をスカラー場とすると、∇φはベクトル場である。

(r)をベクトル場とすると、∇×v もベクトル場である。

(r)をベクトル場とすると、∇・v はスカラー場である。

∇φ を gradφ と表すことも多い。

∇×v を rot(v) と表すことも多い。

∇・v を div(v) と表すことも多い。

図示すると、

参考

次は同値である。

(1) 静電場のマクスウェル方程式(ガウスの法則を含んでいる)

(2) クーロン電場(+重ね合わせの原理)

(3) ポアソン方程式(+静電ポテンシャル)

式で表すと、

図示すると、

例えば、電荷密度ρが与えられているとしよう。

このとき、(3)によって E が分かる。

実際、ポアソン方程式 ∇φ=−ρ/ε を解けばポテンシャルφが分かる。

さらに、静電ポテンシャルの E=−∇φ によって E が分かる。

この方法は(1)によって直接的に E を求めるよりも簡単であることが多い。

ただし、電荷の分布が空間対称性をもつ場合には(1)から直接的に導けることも多い。

例えば、電場 E が与えられているとしよう。

このとき、(3)によってφが分かる。

このことを確認してみよう。

まず、よく知られているように、∇φの線積分は始点と終点によってのみ定まる。

つまり、



よって、



基準点の位置を r とする。(つまりφ(r)=0)と、



これによってφが分かる。

参考

静電場のマクスウェル方程式から ∇φ=−ρ/ε が導かれる。

これを 『(スカラーポテンシャルに対する)ポアソン方程式 』 という。

静磁場のマクスウェル方程式から ∇=−μ が導かれる。

これを 『(ベクトルポテンシャルに対する)ポアソン方程式 』 という。

静電場のマクスウェル方程式から 『 クーロン電場 』 が導かれる。

静磁場のマクスウェル方程式から 『 ビオ・サヴァールの法則 』 が導かれる。

(スカラーポテンシャルの)ポアソン方程式を解けば、電荷密度ρから静電ポテンシャルφを導くことができる。

(ベクトルポテンシャルの)ポアソン方程式を解けば、電流密度 j からクーロンゲージ A を導くことができる。

クーロン電場は 「 電荷がつくる電場 」 を表す式である。

ビオ−サヴァールの法則は 「 電流がつくる磁場 」 を表す式である。

図示すると、