学問の大局

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参考

ニュートンの第2法則は局所的な運動方程式である。

ゆえに、この運動方程式は座標系に依存する。

しかし、現実に問題を解く場合には、座標系を変換することも必要となる。

ただし、その操作は複雑になることもある。

そこで、座標系に依存しない大域的な運動方程式も必要となる。

大域的な運動方程式として 『 仮想仕事式 』 がある。

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仮想仕事式の導出法として次がある。

(1) オイラー-ラグランジュ運動方程式から導く。

(2) ニュートンの第2法則から導く。

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(1)について。

ニュートンの第2法則の拡張として 『 オイラー運動方程式 』 がある。

これによって解析的な議論が可能となる。

オイラー運動方程式の拡張として 『 オイラー-ラグランジュ運動方程式 』 がある。

これによって座標系に依存しない議論が可能となる。

ここで、仮想仕事を 「 系全体に付くエネルギー汎関数(ポテンシャル場)」 として定義する。

さらに、これを微分して停留値を求める。( このような議論を 『 変分法 』 という )

これによって仮想仕事式を得ることができる。

つまり、この方法では、最初から大域的である。

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(2)について。

仮想仕事を 「 力と変位の内積 」 として定義する。

これを積分することで仮想仕事式を得る。

つまり、この方法では積分によって大域的となる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

仮想仕事式を、歪みテンソルを用いて物質表示に書き換えると、応力テンソルを得る。

応力テンソルと歪みテンソルの関係式を 『 構成方程式 』 という。

むろん、金属とゴムは異なる構成則をもつ。

また、力の釣り合いの連続体バージョンとして 『 平衡方程式 』 がある。

連続体の変形は 「 平衡方程式、変形と歪みの関係式、構成方程式 」 によって解ける。

図示すると、

参考

工学の世界において 「 材料力学、流体力学、熱力学、機械力学 」 は 『 四力 』 と呼ばれる。

初等的には、これらの分野は個別に教えられる。

しかし、実際には、これらの分野は相互に関連し合っている。

その中心的な役割をもつ分野として 『 連続体力学 』 がある。

図示すると、



とくに、その核心は連続体力学における 『 物質微分(ラグランジュ微分)』 である。

変形しない物体を 『 剛体 』 という。

変形する物体を 『 弾性体 』 という。

機械力学では剛体を議論し、連続体力学では弾性体を議論する。

剛体を議論するときには 『 ベクトル 』 が有用である。

弾性を議論するときには 『 テンソル 』 が有用である。

簡単に言うと、テンソルは 「 行列とベクトルを一般化した変換規則 」 である。

剛体を議論する場合、物体内部には何も変化がないので、この意味でテンソルを用いる必要はない。

弾性を議論する場合、物体内部は変形し、異なる向きをもつ応力ベクトルが現れる。

ゆえに、それらベクトルの関連性を議論するためにテンソルが必要となる。

参考

連続体力学において次の式は基本的である。

(1) 構成方程式(弾性体ver)

(2) 弾性定数の関係式

(3) 連続の式

(4) 全エネルギーの式

(5) 運動量方程式

(6) 構成方程式(ニュートン流体ver)

(7) ナヴィエ・ストークス方程式

図示すると、



上図において上部は概ね 「 連続体力学 」 と呼ばれる。

また、下部左側は 「 流体力学 」 であり、下部右側は 「 弾性体力学 」 である。

ただし、このような区分が明確に決まっているわけではない。

参考

ベクトル解析や電磁気学において 『 ガウスの発散定理 』 と 『 ストークスの定理 』 は有用である。

ガウスの発散定理は 『 流束 』 と 『 div 』 によって記述される。

ストークスの定理は 『 循環 』 と 『 rot 』 によって記述される。

流束は 「 面積分 」 であり、循環は 「 線積分 」 である。

ガウスの発散定理の証明とストークスの定理の証明は似ている。

ガウスの発散定理は閉曲面を分割して証明される。

ストークスの定理は閉曲線を分割して証明される。

図示すると、

参考

マクスウェル方程式の表示法は複数ある。

具体的には次の通りである。

(1) 積分形 : 直観的に分かりやすい。

(2) 微分形 : 数学的に応用しやすい。

(3) 微分形式 : 理論的に統一的な立場で表記できる。

積分形から微分形を導くときには 『 ガウスの発散定理 』 と 『 ストークスの定理 』を用いる。

マクスウェル方程式から次のような法則を 「 直ち 」 に導ける。

(*) クーロンの法則、ガウスの法則、アンペールの法則、ファラデーの法則、電荷保存則(連続の方程式)

「 導ける 」 というよりは 「 含んでいる 」 と表現した方がよいかもしれない。

あるいは、マクスウェル方程式は(*)の一般化であると言える。

図示すると、

静電場や静磁場の問題を解く場合には 「 ガウスの法則 」 や 「 アンペールの法則 」 が有用である。

ただし、時間変動する電磁場の問題を解くためには、マクスウェル方程式が有用である。

参考

φ(r)をスカラー場とすると、∇φはベクトル場である。

(r)をベクトル場とすると、∇×v もベクトル場である。

(r)をベクトル場とすると、∇・v はスカラー場である。

∇φ を gradφ と表すことも多い。

∇×v を rot(v) と表すことも多い。

∇・v を div(v) と表すことも多い。

図示すると、

参考

をベクトル場とすると、∇v はテンソル場である。

T をテンソル場とすると、∇・T はベクトル場である。

図示すると、

参考

次は同値である。

(1) 静電場のマクスウェル方程式(ガウスの法則を含んでいる)

(2) クーロン電場(+重ね合わせの原理)

(3) ポアソン方程式(+静電ポテンシャル)

式で表すと、

図示すると、

例えば、電荷密度ρが与えられているとしよう。

このとき、(3)によって E が分かる。

実際、ポアソン方程式 ∇φ=−ρ/ε を解けばポテンシャルφが分かる。

さらに、静電ポテンシャルの E=−∇φ によって E が分かる。

この方法は(1)によって直接的に E を求めるよりも簡単であることが多い。

ただし、電荷の分布が空間対称性をもつ場合には(1)から直接的に導けることも多い。

例えば、電場 E が与えられているとしよう。

このとき、(3)によってφが分かる。

このことを確認してみよう。

まず、よく知られているように、∇φの線積分は始点と終点によってのみ定まる。

つまり、



よって、



基準点の位置を r とする。(つまりφ(r)=0)と、



これによってφが分かる。

参考

静電場のマクスウェル方程式から ∇φ=−ρ/ε が導かれる。

これを 『(スカラーポテンシャルに対する)ポアソン方程式 』 という。

静磁場のマクスウェル方程式から ∇=−μ が導かれる。

これを 『(ベクトルポテンシャルに対する)ポアソン方程式 』 という。

静電場のマクスウェル方程式から 『 クーロン電場 』 が導かれる。

静磁場のマクスウェル方程式から 『 ビオ・サヴァールの法則 』 が導かれる。

(スカラーポテンシャルの)ポアソン方程式を解けば、電荷密度ρから静電ポテンシャルφを導くことができる。

(ベクトルポテンシャルの)ポアソン方程式を解けば、電流密度 j からクーロンゲージ A を導くことができる。

クーロン電場は 「 電荷がつくる電場 」 を表す式である。

ビオ−サヴァールの法則は 「 電流がつくる磁場 」 を表す式である。

図示すると、

参考 ( 一般相対性理論 )

一般相対性理論(アインシュタインの重力場方程式)までの道筋をまとめると、

ベクトルを縦ベクトルとして議論する空間を 『 ベクトル空間 』 という。

ベクトルを横ベクトルとして議論する空間を 『 双対空間 』 という。

ベクトル空間と双対空間を混合した直積を 『 (r、s)混合テンソル空間 』 という。

混合テンソルに対して 『 縮約 』 と 『 縮合 』 という演算を定義できる。

縮約は、(r、s)混合テンソルを(r−1、s−1)混合テンソルに下げる操作である。

縮合は、テンソル積をとってから縮約を行う操作である。

テンソル積とは、(r、s)テンソルと(r’、s’)テンソルから(r+r’、s+s’)テンソルを作る操作である。

空間の各点にテンソルを対応させた場を 『 テンソル場 』 という。

むろん、これには 『 直交座標におけるテンソル場 』 と 『 曲線座標におけるテンソル場 』 がある。

曲線座標のテンソル場では 『 接続係数 』 を用いて 『 リーマンの曲率テンソル 』 を定義できる。

これは 『 アインシュタインの重力場方程式 』 の右辺に相当する。

図示すると、

参考 ( テンソル場 )

空間の各点にテンソルを対応させた場を 『 テンソル場 』 という。

これは 『 スカラー場 』 や 『 ベクトル場 』 の一般化である。

例えば、スカラー場φの(座標軸に関する)微分∂φ/∂x は(0、1)テンソルである。

また、ベクトル場 X は(1、0)テンソルである。

∂φ/∂x と X の内積を 『 φの ( X に沿う ) 微分 』 という。

これは(0、1)テンソルと(1、0)テンソルの縮合が(0、0)になることに相当する。

図示すると、