学問の到達点

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参考

中学や高校で学んだ内容を振り返ってみよう。

これらの内容は 「 途方もなく難しい内容 」 であっただろうか?

冷静に思い返すと、

「 それほど難しいものではなかった 」

「 なぜあれほど学習に時間を掛けてしまったのだろう 」

・・・と考える人も多いのではないだろうか。

むろん、その原因は人それぞれであるかもしれない。

しかし、1つの解答を出すとすれば、その原因は 『 到達点 』 を知らないことにあるのではないだろうか。

例えば、「 積分が難しい 」 と感じている学生がいるとしよう。

このとき、

「 積分だって?そんなの置換積分と部分積分を把握すればOKだよ 」

「 ああ、それと、積分にはいくつかパターンがあるから、それを把握することが重要だね 」

・・・と、誰かがアドバイスしてくれれば、かなり見通しがよくなるのではないだろうか。

そこで、このページでは大学の理系科目に対して同様のことを述べようと思う。

ただし、以下で述べることは 1つの基準であって、これらが絶対的に正しいという意味ではない。

1つの参考として役立ててもらえればと思う。

以下、到達レベルを 「 入門・初級・中級 」 に分類する。

意味は 『 概ね 』 次の通りである。

入門 : 1日あれば理解できる。ただし、これを知っているだけで世界観はかなり変わる。

初級 : 理解していれば、大学で A または B を取得できる。( 評価は A、B、C、D とする )

中級 : その分野の基礎はマスターしていると思ってよい。

とくに、集合・線形・代数・微積・位相の中級レベルを理解すると、基本的にすべての理工図書は読める。

例えば、関数解析、複素解析、多様体、物理学、化学を学ぶときに困ることはないであろう。

学問の到達点 ( 集合論 )

入門 : 写像の定義

初級 : 「単射、全射、像、逆像、逆写像、合成写像」の意味。

中級 : 「単射、全射、像、逆像、逆写像、合成写像」の証明。

入門について補足

とにかく、写像の意味を理解することが重要。

それだけでかなり視点が変わると思う。

そもそも、少し強く言うと、集合論において本当に新しい概念は写像だけである。

残りのテーマ 「 単射、全射、像、逆像、逆写像、合成写像 」 は 「 写像の性質 」 を意味する。

初級について補足

もう少し詳しく言うと、次を理解することが重要。

(1) 写像を提示されたときに、その写像が単射なのか全射なのか区別できる。

(2) 写像と集合を提示されたときに、像や逆像を求めることができる。

(3) 逆像と逆写像の違いを説明できる。

中級について補足

集合論には 「 基本的な関係 」 がいくつかある。

例えば、次のようなものである。

(*) f、g が全射ならば、g*f は全射である。

(*) f、g が単射ならば、g*f は単射である。

(*) f(A∪A)=f(A)∪f(A

(*) A⊂f−1(f(A))

このような関係式が概ね20個ほどある。

ただし、式の形や証明のパターンは概ね決まっている。

それらを把握すれば、集合論の試験で最高評価 A を取ることは簡単であろう。

補足

その他、集合論のテーマとして 「 選択公理 」 や 「 ツォルンの補題 」 がある。

これらは代数学や関数解析などで2回程度だけ登場する。

ただし、それが全体の理解に影響することはないので、意味を把握するだけで十分である。

学問の到達点 ( 線形代数 )

入門 : 余因子展開

初級 : ベクトル空間、線形写像、1次独立、1次従属、固有値・対角化の計算。

中級 : 固有値、対角化の証明。

入門について補足

余因子展開は行列式の計算法である。

これは物理学や化学などの分野で応用される。

初級について補足

つまり、

「 連続関数全体がベクトル空間になることを説明して 」

「 行列に対して線形写像は自然に定まるよね? 」

「 線形写像に対して行列は自然に定まるよね? 」

「 次の(複数の)ベクトルが1次独立か1次従属か判定せよ 」

「 次の行列を対角化せよ 」

・・・という質問に対して答えられればよい。

中級について補足

つまり、次の同値性を理解することである。

(1) 行列(n次行列)は対角化可能である。

(2) 代数的重複度と幾何的重複度の一致する。

(3)  は各固有空間の直和に一致する。

ただし、証明をスラスラ書くようにすることまでは必須ではない。

実際には、証明の概ねの流れを理解できれば十分である。

補足

線形代数には他にも次のようなテーマがある。

(*1) エルミート行列、エルミート変換、ユニタリ行列、ユニタリ変換

(*2) ジョルダン標準形

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

とくに、(*1)の代表的な定理として次がある。

「 エルミート変換は固有ベクトルから成る完全正規直交系をもつ 」

「 エルミート変換の固有値は実数である 」

これは量子力学の要請に関連する内容である。

これを理解していると量子力学の学習効率が向上する。

また、これの証明は 「 固有値・対角化の証明 」 より簡単である。

ただし、証明を理解していなければ量子力学を学ぶことができないという意味ではない。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

また、(*2)の代表的な定理として次がある。

「 すべての正方行列はジョルダン標準形をもつ 」

実は、行列には対角化不可能な行列が存在する。

行列を対角化できると計算に便利なのだが、残念ながらすべての行列を対角化することはできない。

そこで、次善の策としてジョルダン標準形がある。

ただし、これの証明は 「 固有値・対角化の証明 」 より難しい。

なので、無理に証明を理解する必要はない。

実際にはジョルダン標準形の定義を理解しておけば十分であろう。

学問の到達点 ( 代数学 )

入門 : 群の定義、いくつかの定理

初級 : 群の準同型定理の証明。

中級 : 環の準同型定理の証明。

入門について補足

群の定義を理解して、いくつか具体例を確認すればよい。

その後で、群に関する定理の証明を10個ほど読むとよい。

そうすれば、概ねの感覚は理解できるであろう。

解析学の場合、証明は1つ1つが重い傾向がある。

代数学の場合、証明は1つ1つが軽いので軽快に進むことができる。

初級について補足

とにかく、群の準同型定理の証明を理解すればよい。

この証明には群論の基礎のすべてが集約されている。

ちなみに、群の準同型定理の仲間として 「 第1同型定理〜第3同型定理 」 がある。

しかし、こちらの証明は理解しなくてもよい。

実際、第1同型定理〜第3同型定理の出番はほとんどない。

これらは必要になったときに定理の内容を把握する程度で十分である。

むろん、学ぶか否かは自由だが、

「 群の準同型定理が重要なら第1同型定理〜第3同型定理も重要であるに違いない 」

・・・という考えは安直である。

中級について補足

代数学には様々なテーマがあるが、まずは準同型定理を理解しておけばよい。

これは環論も同様である。

学問の到達点 ( 微分積分 )

入門 : 高校数学

初級 : テイラー展開、合成関数の微分、重積分の計算

中級 : 実数の連続性、εδ論法、「一様連続性と連続性」の区別。

入門について補足

高校数学の置換積分や部分積分は大学においても有用である。

ただし、高度な計算は必要ではなくて、本当に基礎的なことを理解しているだけで十分である。

初級について補足

「 テイラー展開 」 と 「 合成関数の微分 」 は、とにかく様々な分野に登場する。

中級について補足

例えば、

「 実数の連続性を説明してください 」

「 εδ論法を説明してください 」

「 一様連続と連続の違いを説明してください 」

・・・という質問に答えることができればよい。

ただし、これらの内容を定義だけで理解することは難しいかもしれない。

実際には、いくつかの定理を読み進めることで理解を深めることが重要である。

この作業は割と大変なのだが、実は、これを乗り越えると後の内容は簡単である。

なぜなら、以降のテーマは高校数学と同じだからである。

実は、本格的な解析学は、実数の連続性やεδ論法によって高校数学を書き換えることを意味する。

実数の連続性やεδ論法を学ぶときは 「 難しいのは最初だけ 」 ということを忘れないでほしい。

もし、部分的に理解できない部分があるとしても、ある程度は進むことが重要である。

学問の到達点 ( 位相空間 )

入門 : 位相空間と距離空間の区別。

初級 : 連続写像の同値条件

中級 : コンパクト性と点列コンパクト性の同値性、ハウスドルフ空間は限定的にT空間を演じる。

入門について

とにかく、位相空間と距離空間の違いを説明できればよい。

これだけで、他分野に対する学習効率は大きく向上するであろう。

初級について

つまり、次の条件が同値であることを理解することが重要である。

(0) f は連続写像である。

(1) f(x)の任意の近傍 U に対して x の近傍が V が存在して f(V)⊂U となる。

(2) Y の任意の開集合 O に対して f−1 は X の開集合となる。

上の(1)と(2)のどちらを写像の連続性として定義するかは本によって異なる。

むろん、(1)と(2)は同値であるからどちらを定義として採用しても意味は同じである。

中級について

位相空間論は前提知識なしでいくらでも深く進めてしまう。

また、「 位相空間論が重要である 」 ということもよく言われる。

それゆえ、むしろ、位相空間論を学びすぎてしまう人が多いように思える。

実際には、どこかで区切りを付けることが重要である。

具体的には、次の定理の証明が理解できればよいと思う。

(1) コンパクト性と点列コンパクト性の同値性。

(2) ハウスドルフ空間において点とコンパクト集合は開集合によって分離される。

(3) ハウスドルフ空間において、コンパクト集合は閉集合である。

とくに、(2)と(3)は、ハウスドルフ空間が限定的にT空間を演じることを意味する。

その意味を理解できれば十分である。

学問の到達点 ( 力学 )

初級 : 質点系と剛体の関係

中級 : なし ( 解析力学へ )

初級について

力学では質点(大きさのない物体)を議論する。

しかし、むろん、現実の物体には大きさがある。

よって、力学は現実の問題には役立たないのではないかと疑問をもつことは自然である。

しかし、問題はない。

たしかに、質点に大きさはない。

そこで、複数の質点を考え、その相対的な位置関係を固定する。

すると、これは大きさをもつ物体を意味する。

そして、これが 『 剛体 』 である。

むろん、これは機械工学や建築学においても基本的である。

また、質点系と剛体には力学の基本が凝縮されている。

また、質点系は他分野においても有用である。

学問の到達点 ( 電磁気学 )

初級 : マクスウェル方程式を微分形式で書き直す

中級 : なし ( 相対性理論へ )

初級について

マクスウェル方程式は、電磁気学を貫く一本道である。

マクスウェル方程式を理解すれば、電磁気学は終了したようなものである。

学問の到達点 ( 量子力学 )

初級 : ポテンシャル、角運動量を一通り。

中級 : なし ( 量子場理論へ )

初級について

量子力学の教科書を開くと、色々な理論が書かれている。

しかし、基本的には 『 ポテンシャル 』 と 『 角運動量 』 に関する議論が書かれているだけである。

ポテンシャルとしては 「 井戸型ポテンシャル、調和振動子、障壁散乱 」 がある。

井戸型ポテンシャルはポテンシャルが井戸の形をしている。

調和振動子はポテンシャルが2次関数である。

障壁散乱はポテンシャルが壁の形をしている。

角運動量に関連するテーマとしては 「 軌道角運動量、スピン 」 がある。

学問の到達点 ( 熱力学 )

初級 : ルジャンドル変換、マクスウェル関係式、ギブズ関係式

中級 : なし ( 統計物理学へ )

初級について

要するに、これらの関係は 「 エントロピーと自由エネルギー 」 の関係式である。

これを知っていると、統計物理学へ進むことができる。

学問の到達点 ( 解析力学 )

初級 : ラグランジュ運動方程式、ハミルトン正準方程式の意味

中級 : 省略

初級について

ラグランジュ運動方程式、ハミルトン正準方程式の基本を理解すればよい。

解析力学は物理学において非常に有用である。

ただし、まずはラグランジュ運動方程式とハミルトン正準方程式の意味を理解すれば十分である。

あるいは、応用を1つ程度だけ把握すればよい。

解析力学についてこれ以上の知識は他分野で要求されることはあまりないと思われる。

例えば、量子力学や相対性理論で解析力学を応用する場面はある。

ただし、それらの内容はラグランジュ運動方程式とハミルトン正準方程式を知っているだけで十分である。

むろん、この程度の解説はすぐに終わるので、他分野の教科書の巻末などにも掲載されている。

学問の到達点 ( 相対性理論 )

初級 : アインシュタイン方程式

中級 : 省略

初級について

もしかしたら、

「 アインシュタイン方程式って・・・すごく難しそうなんだけど、本当に初級なの? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

しかし、簡単である。

式が複雑に視えても惑わされてはいけない。

たしかに、その記述には 『 テンソル 』 などが必要で、その計算は少し面倒である。

しかし、形式的な議論は 『 行列 』 と 『 全微分 』 と 『 ベクトル場 』を知っていれば理解できる。

テンソルはベクトルの一般化だが、形式的な議論では単なる計算法則である。

アインシュタイン方程式はニュートンの運動方程式に相当する。

つまり、相対性理論において最も基本的な概念である。

補足

もしかしたら、

「 アインシュタイン方程式を理解するだけでいいの?解かないの? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

たしかに、アインシュタイン方程式の基本的な解として 『 シュヴァルツシルト解 』 がある。

シュヴァルツシルト半径の内部に質量を押し込むと 『 ブラックホール 』 となる。

ただし、これらの議論は難しくはない。

むろん、アインシュタイン方程式の解は他にも多くある。

ただし、それらは非常に難解であるため上級レベルである。

学問の到達点 ( 統計物理学 )

初級 : ミクロカノニカル集団、カノニカル集団、グランドカノニカル集団の意味

中級 : 省略

初級について

ミクロカノニカル集団とは 『 孤立系 』 である。

つまり、ミクロカノニカルは N、V、E を一定にした系である。

カノニカル集団とは 『 熱浴に接する系 』 である。

つまり、カノニカルは N、V、T を一定にした系である。

グランドカノニカル集団とは 『 粒子浴・熱浴に接する系 』 である。

つまり、グランドカノニカルは μ、V、T を一定にした系である。

結局、系の変数を固定して、それぞれの場合について議論するだけである。

とくに、基本的なテーマとして 『 磁性体 』 がある。

磁性体をモデルにして熱力学量を計算すれば概ねの感覚が理解できるであろう。

学問の到達点 ( 化学 )

初級 : 化学反応から反応エンタルピーや反応エントロピーを計算する、混成軌道を理解する。

中級 : 省略

初級について

反応エンタルピーや反応エントロピーの計算は 『 化学熱力学 』 である。

混成軌道は 『 量子化学 』 である。

とりあえずはこれらの理解を目標に進むとよいだろう。

補足

化学としては他に 「 有機化学、無機化学、電気化学 」 がある。

有機化学は経験則なので、あまり細かいことを気にしないことがコツである。

むろん、粗雑に学べばよいということではないが、完全に理論的に議論できるわけではない。

無機化学は難解なので、あまり細かいことを気にしないことがコツである。

むろん、粗雑に学べばよいということではないが、完全に理論的に理解することは難しい。

電気化学は熱力学(化学熱力学でもよい)などで化学ポテンシャルに慣れているとよいかもしれない。

化学熱力学、量子化学、電気化学を総称して 『 物理化学 』 と呼ぶことも多い。

補足

もしかしたら、化学に関するコメントは雑であるため、化学をバカにしているように視えるかもしれない。

しかし、私(管理人)自身が化学科出身なので、ここは容赦を願いたい。

学問の到達点 ( 高校数学 )

入門 : 1次方程式の解法、1次関数の傾斜、2次方程式の因数分解、2次関数の判別式

初級 : 置換積分、部分積分、ベクトルの合成・分解、複素平面上の回転、等比級数の和公式の証明

中級 : 省略

大学に入ると、教員が変化し、授業内容が変化し、教員と学生の距離も変化してしまう。

これで方向感覚を失って道に迷ってしまう人がいる。

そうならないための道標として参考にしてもらえればと思う。

そのためには、私の感覚が一般の高校生と比較してズレていないことを確認することも重要であると考えた。

おそらく、高校数学の到達点として上記の内容は概ね同意を得られると思われる。

ここまで大学の内容について述べたことも、概ね同様のレベルで書いたつもりである。

例えば、高校1年生が 「 1次方程式の解法 」 や 「 判別式 」 を扱えないと不安であろう。

これと同じで、線形代数の前期が終わったときに 「 行列の計算 」 ができないと不安である。

例えば、高校3年生が 「 置換積分 」 や 「 等比級数の和公式の証明 」 ができないと不安であろう。

これと同じで、線形代数の後期日程で1次独立と1次従属を理解していないと不安である。

また、高校生が「置換積分」や「等比級数の和公式の証明」をしっかりと実行できたとすれば安心するであろう。

それと同じで、大学生が 「 1次独立 」 や 「 1次従属 」 をしっかりと説明できるならば安心する。

むろん、ここでの 『 理解 』 は 「 問題の解法を知っている 」 や 「 直観的な意味を知っている 」 ではない。

ここでの 『 理解 』 は 「 知識に基づいて基本的な問題を解ける 」 を意味する。