直観的数学

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参考

このページでは数学の各概念について直観的な説明を行う。

基本的に説明は6行に収める。

たまにオーバーすることもあるが、そのときは容赦を願いたい。

写像とは?

「 入力 」 に対して 「 出力 」 をもつシステムのこと。

ただし、「 1つの入力 」 に対して 「 1つの出力 」 をもつ。

出力が 「 数 」 である写像を 『 関数 』 と呼ぶことが多い。

入力が 「 関数 」 で出力が 「 数 」 である写像を 『 汎関数 』 という。

入力が 「 自然数 」 で出力が 「 数 」 である写像は 『 数列 』 である。

汎関数とは?

関数を変数とする関数のこと。

例えば、量子場理論では素粒子を 「 場の励起状態 」 と見なす。

場の状態は、場の大域的な状態によって決定される。

これは場が汎関数によって記述されることを意味する。

このことは 「 竜巻の発生 」 に比喩できる。

よく知られているように、竜巻は大気の大域的な状態によって生じる。

位相とは?

例えば、次のように2枚の紙片を重ねて置く。



ここに、2つの紙片の 「 共通部分、和集合、補集合 」 を追加する。



これが 『 位相 』 である。( 詳しく言うと 『 2枚の紙片から生成される位相 』 である )

冷静に考えると、上記の位相は(1)〜(4)の和集合のみから成る。

このような(1)〜(4)を 『 基底(または開基)』 という。

紙片が細かいほど、全体集合上にある任意の2点を分離でき、位相の分解能が高いことを意味する。

微分とは?

変化量のこと。

時間的な変化量は 「 速度 」 である。(★1)

空間的な変化量は 「 歪曲 」 である。(★2)

(★1)より、微分は 『 運動 』 を記述するときに有用である。

(★2)より、微分は 『 形状 』 を記述するときに有用である。

ヤコビアンとは?

微小体積比のこと。

空間 X の各点を別の空間 Y に写す関数があるとする。

このとき、空間 X の微小立方体は空間 Y の平行6面体に変換される。

空間 X における図形の体積分にヤコビアンを掛ければ、空間 Y における体積を得る。

この場合、ヤコビアンは3次元から3次元への変形を表す量である。

一方、2次元平面から2次元的曲面の変形では平面から曲面積を求めることを意味する。

対角行列とは?

対角成分以外の成分が 0 である行列のこと。

対角成分が d、・・・、d である n 次行列を diag(d、・・・、d)と表すこともある。

つまり、



対角行列は通常の数と同じように計算できる。

行列式とは?

「 行列 」 を 「 方程式 」 に変換する操作のこと。

つまり、行列式は 『 行列の理論 』 と 『 中学の方程式 』 を結び付ける。

ランク(階数)とは?

よく知られているように、連立1次方程式は必ず解けるとは限らない。(※中学数学)

実際、連立する方程式の中に同じ式(あるいは定数倍の式)が混ざっている場合は解けない。

未知数が n 個ならば、本質的に異なる n 個の方程式が必要である。

一方、よく知られているように、連立1次方程式は行列で表示できる。(※線形代数)

このとき、本質的に異なる方程式の個数を 『 行列のランク(階数)』 という。

行列のランクは基本操作(ある行を定数倍して他の行に加減する)ことで求められる。

これは連立1次方程式を解く操作と全く同じである。

ベクトル空間とは?

原点をもつ真っすぐな空間のこと。

例えば、中学高校数学の 『 直交座標 』 や 『 曲面の接平面 』 などはベクトル空間である。

また、斜交座標もベクトル空間である。

線形写像とは?

真っすぐな空間における1次関数のこと。

必ず原点を通る。

(ベクトル空間の)部分空間とは?

ベクトル空間の中にあるベクトル空間のこと。

部分空間は母体のベクトル空間と原点を共有する。

例えば、3次元直交座標 V において原点を通る平面 W を考えてみよう。

この W は V の部分空間である。

表現行列とは?

線形写像の係数のこと。

高校数学で馴染みの1次関数の係数は 「 1×1行列(つまりスカラー)」 である。

n次元ベクトルをn次元ベクトルに変換する線形写像の表現行列は n×n 行列である。

表現論とは?

群 G が与えられたときに、この G を 「 ベクトル空間 V 上の線形変換 」 と見なすことができる。

むろん、線形変換は(表現)行列として表示できる。

ただし、表示法はベクトル空間 V の基底の選び方による。

この意味で 「 基底 」 と 「 表現 」 は本質的に同じ意味をもつ。

基底を適切に選ぶことで表現行列が対角ブロック行列となるようにできる。

このような基底(や表現)を 『 既約表現 』 という。

既約表現を分類することでその群の構造を調べることができる。

このような議論を 『 表現論 』 という。

1次独立とは?

複数のベクトルが 「 本質的 」 にバラバラな向きをもつこと。

固有ベクトルとは?

線形写像は 「 ベクトルをベクトルに変換する関数 」 である。

むろん、変換されると、ベクトルの 「 向き 」 や 「 長さ 」 が変化する。

しかし、その中には 「 向きを変えずに長さだけが変化するベクトル 」 もあるはずだ。

それを 『 固有ベクトル 』 という。

ある意味で、これは 「 線形写像の向き 」 である。

固有値とは?

上で述べたように、固有ベクトルの向きでも 「 長さ 」 は変化することに注意。

その 「 長さの変化量 」 を 『 固有値 』 という。

基底とは?成分とは?

基底とは、座標軸に平行な網目のこと。

成分とは、座標軸の目盛のこと。

例えば、座標軸(基底)に平行なベクトルや、座標軸(基底)に垂直なベクトルを考えることができる。

例えば、ベクトルの大きさは目盛(成分)によって分かる。

成分は 「 ベクトルの影のようなもの 」 である。

スカラー場とは?

空間の各点にスカラー(実数値)を対応させた写像(関数)のこと。

例えば、温度分布はスカラー場である。

例えば、振動する膜の平衡点からズレはスカラー場として表示できる。

むろん、空間の各点は 『 位置ベクトル 』 と見なせる。

つまり、スカラー場は 「 ベクトルにスカラーを対応させる関数 」 と見なせる。

ベクトル場とは?

空間の各点にベクトルを対応させた写像(関数)のこと。

例えば、重力場はベクトル場である。

例えば、天気図の風向風速分布図はベクトル場である。

むろん、空間の各点は 『 位置ベクトル 』 と見なせる。

つまり、ベクトル場は 「 ベクトルにベクトルを対応させる関数 」 と見なせる。

テンソルとは?

例えば、ベクトルを考える場合、入門者は 「 基底 」 を基準に考える。

そして、「 基底 」 に付く量として 「 成分 」 を考える。

むろん、「 基底 」 が変化すれば 「 成分 」 も変化する。( それを表す式を 『 成分変換公式 』 という )

このような変換則は物理量によって異なる。

そこで、発想を逆にして 「 成分の変換則 」 を基準にして物理量を区別する。( これが 『 テンソル 』 という考え方 )

つまり、物理量の 『 影の動き 』 を基準にして本体の物理量を記述する。

反変ベクトルとは?

例えば、座標軸を1/2倍して縮めると、ベクトルの長さは2倍になる。



このように、座標変換に対して逆に変換される量を 『 反変ベクトル 』 という。

ただし、上記の変換は x’=2x に対して v’=2v であることを意味する。

この意味で、反変ベクトルは座標変換と同じように変換される。

これによって入門者が戸惑うことが多い。

むろん、平面座標を回転させると、ベクトルは逆向きに回転して視える。

共変ベクトルとは?

座標変換に対して同じ向きに変換される量のこと。

例えば、関数の微分は共変ベクトルである。

実際、x 軸を1/2倍して縮めると、関数の傾きも1/2倍になる。



ただし、上記の変換は x’=2x に対して a’=(1/2)a であることを意味する。

この意味で、共変ベクトルは座標変換と逆に変換される。

テンソル積とは?

まず、内積は「横ベクトル」と「縦ベクトル」の行列の積と見なせる。



一方、テンソル積は 「 縦ベクトル 」 と 「 横ベクトル 」 の行列の積である。

計量とは?

直交座標の場合、基底ベクトルの向きはつねに同じで、互いに直交している。

曲線座標の場合、基底ベクトルの向きは位置に依存し、互いに直交とは限らない。



そこで、次のように表す。( 基底ベクトル e が位置 x に依存していることに注目 )



つまり、gij(x)は基底ベクトルの内積を定める量である。

この gij を 『 計量 』 という。( むろん、直交座標の場合は gij=δij である )

接続係数とは?

曲面座標上における微分係数を補正する項のこと。

つまり、「曲面座標上の微分係数」=「直交座標上の微分係数+接続係数」である。

つまり、直交座標では接続係数は 0 となる。

むろん、接続係数を計量テンソルで表示できる。

代数系とは?

演算が定められた集合のこと。

代表的な代数系として 「 群、環、体 」 などがある。

群は 「 和と積のいずれか一方のみを認めた数体系 」 のこと。

環は 「 和と積の両方を認めた数体系 」 のこと。

体は 「 分数を認めた数体系 」 のこと。

群とは?

恒等変換と逆変換のみを認めた最も基本的な代数系のこと。

この視点に立つと、加法と乗法は同一視できる。( つまり、加法と乗法は本質的に同じである )

実際、加法は 「 恒等変換 +0 」 と 「 逆変換 −a 」 をもつ。

また、乗法は 「 恒等変換 ・1 」 と 「 逆変換 ・a−1 」 をもつ。

いずれも、逆変換の結果は恒等変換となる点で共通している。

実際、a+(−a)=0 であり、a・a−1=1 である。

準同型定理とは?

群を部分群で割り算すること。

つまり、「 数の割り算 」 ではなくて 「 集合の割り算 」 である。

内積とは?

ベクトルの影のこと。

例えば、「 目的のベクトル 」 と 「 x軸方向の単位ベクトル 」 の内積を計算してみよう。

すると、その計算結果は 「 目的のベクトルから x 軸に下りた影の長さ 」 になる。

つまり、これは 「 成分 」(目盛の数値としての座標) である。

むろん、各座標軸方向の単位ベクトルとの内積を考えれば、成分をすべて抜き出せる。

これによって任意のベクトルを分解できる。( これを 『 完全性 』 という )

射影とは?

ベクトルから特定の成分を抜き出す写像のこと。

つまり、射影は 「 目的のベクトル 」 と 「 自然ベクトル 」 の内積である。

=(x、x、x)とおく。

=(1、0、0)、e=(0、1、0)、e=(0、0、1)を自然ベクトルとする。

いま、x・e=(x、0、0)、x・e=(0、x、0)、x・e=(0、0、x)である。

つまり、p(x)=x・e は 『 第 k 成分を抜き出す射影 』 である。

縮約とは?

1つの項において上付添字と下付添字が重複して現れるときに、その添字に関して和をとる。

このようなルールを 『 指標規約(アインシュタインの規約)』 という。

例えば、xμμ は x+・・・+x を意味する。( ただしμ={1、2、3}とした )

むろん、xμν は x や x を意味する。( ただしν={1、2、3}とした )

とくに、xμμ を 『 xμν のμとνに関する縮約 』 という。( 添字が1つ減ることが名前の由来 )

つまり、縮約をとることは 『(ユークリッド的)内積 』 を意味する。

ヒルベルト空間とは?

隙間がない空間のこと。

例えば、量子力学では 『 量子状態 』 を関数系で表す。

けれど、本当にその状態を関数系で表せるか否かの保障が必要である。

実際、

「 関数列の極限を考えたら極限が空間に入っていませんでした!」

・・・などということになると困る。

超関数とは?

積分の世界を基準に関数を視ること。

普通の微分では 「 尖った点 」 や 「 不連続点 」 は微分できない。

しかし、積分の世界で視ると、階層が1つ上がるので微分可能となる。

この世界ではデルタ関数のような尖った性格をした関数も大人しい。