情報系(10進小数展開、2進小数展開)

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参考

よく知られているように、任意の実数は小数の形で表示できる。

これを 『 10進小数展開 』 という。

このことは、高校までは当然の事実として用いられてきた。

実は、10進小数展開は 『 実数の連続性 』 と(アルキメデスの公理の下で)同値である。

このページでは実数の連続性から出発して、10進小数展開を導く。

P1 ( 実数の連続性 )

(1) 上に有界な単調増加数列 (an∈ は収束し、limn→∞=sup{ a|n∈ } となる。

(2) 下に有界な単調減少数列 (an∈ は収束し、limn→∞=inf{ a|n∈ } となる。

補足

これは 『 実数の連続性 』 の公理としてよく知られている。

他にも同値な条件があるので、それを実数の連続性と呼ぶこともある。

証明

これは公理として採用するので証明は書かない。

P2 ( アルキメデスの原理 )

a>0、b>0 を実数とする。

このとき、ある自然数 n が存在して、na>b となる。

証明

b≧na と仮定する。(背理法)

つまり、b は数列 (na)n∈ の上界である。

いま、(na)n∈ は s=sup{ na|n∈ } に収束する。(※P1)

また、任意の n∈ に対し、na≦s である。(★)

いま、s−a<s である。

よって、s−a は { na|n∈ } の上界ではない。

つまり、ある n∈ が存在して、s−a<na となる。

つまり、s<(n+1)a である。

これは(★)に反する。

P3

次が成り立つ。

(1) a>0 ⇒ limn→∞na=+∞

(2) limn→∞n=+∞

(3) limn→∞1/n=0

(4) limn→∞1/10=0

(1)の証明

明らかである。(※P2(アルキメデスの原理)の言い換え)

(2)の証明

(1)において a=1 とすればよい。

(3)の証明

(2)より明らかである。

(4)の証明

(2)より明らかである。

P4

a を実数とする。

このとき、ある整数 n が一意に存在して、n≦a<n+1 となる。(★)

このような整数 n を [a] と表す。

この [・] を 『 ガウス記号 』 という。

証明

いま、ある m∈ が存在して、m>−a となる。(※P2:アルキメデスの原理)

A={ n∈:m+a<n } とおく。

r=minA とおく。

いま、0<m+a<r である。

また、r−1≦m+a<r である。

ここで、n=r−m−1 とおく。

いま、n≦a<n+1 である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、一意性を示す。

p、q ( ただし p<n<q ) を定理の条件(★)を満たす整数とする。

いま、p+1≦n≦a<n+1≦q である。

これは(★)に反する。

参考 ( Q は R において稠密である )

a、b ( ただし a<b ) を実数とする。

このとき、ある有理数 x が存在して、a<x<b となる。

証明

いま、b−a>0 である。

よって、ある自然数 n が存在して、n(b−a)>1 となる。(※P2:アルキメデスの原理)

また、ある整数 m が存在して、n−1≦ma<n となる。(※P3)

いま、na<m≦na+1<nb である。

両辺を n>0 で割ると、a<m/n<b である。

P5 ( 10進小数展開 )

任意の実数 x に対し、ある有理数列 (an∈ が存在して、次を満たす。

(*1) a=[x]+1≦k≦n/10 ( x=0、・・・、9 )

(*2) limn→∞=x

このような実数 x を x=[x].x・・・と表す。

これを 『 x の10進小数表示 』 という。

補足

(x) を x の10進小数表示とする。

ある n に対し、x≠0 であり、任意の m>n に対して x=0 であるとする。

このとき、次の2通りの表示がある。

(*) x=[x].x・・・xn−100・・・=[x].x・・・xn−1(x−1)99・・・

これ以外の場合の10進小数表示は一意である。

詳しくは以下の証明を参考。

補足

任意の実数 x に対し、ある有理数列 (an∈ が存在して、次を満たす。

(*1) a=[x]+1≦k≦n/2 ( x=0、1 )

(*2) limn→∞=x

このような実数 x を x=[x].x・・・と表す。

これを 『 x の2進小数表示 』 という。

証明

=x−[x] とおく。(※P4)

=[0、1) を半開区間とする。

これを10等分して小区間 [k/10、(k+1)/10) を考える。

いま、ある k∈{0、・・・、9} が一意に存在して、x∈[k/10、(k+1)/10] となる。

そこで、この小区間を I=[k/10、(k+1)/10) とおく。

また、x=k とおく。

次に、I を10等分し、同様の議論を繰り返す。

こうして、小区間の列 (I) と整数列 (x) が一意に定まる。

また、任意の n に対して x∈{0、・・・、9} である。

=[x]+1≦k≦n/10 とおく。

=a+1/10 とおく。

いま、x∈[a、b)⊂[a、b] である。

よって、0≦x−a≦b−a=1/10 である。

また、limn→∞1/10=0 である。(※P3)

補足

上の証明では区間を10等分した。

これを2等分にして同様に議論すれば2進小数展開が得られる。