情報系(分離定理、超平面〜ノルム空間ver)

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定義 ( 凸集合 )

X を K 上のベクトル空間とする。

A を X の部分集合とする。

次が成り立つとする。

(*) 「 x、y∈A、a+b≧0、a+b=1 」 ⇒ ax+by∈A

このとき、A を 『 凸集合 』 という。

注意

V、W をノルム空間とする。

T を V から W への線形作用素とする。

このとき、次は同値である。

(1) T は有界である。

(2) T は 0 で連続である。

(3) T は D(T)上で連続である。

これは関数解析において基本的な定理である。

以下の議論では(2)⇔(3)を使用するので注意しておく。

つまり、原点での連続性が示されれば、線形作用素は定義域全体で連続となる。

むろん、この定理は線形汎関数にも適用できる。

注意 ( ハーン・バナッハの定理〜ベクトル空間ver )

X を 上のベクトル空間とする。

p:X→ を劣加法的汎関数とする。

A を X の部分空間とする。

f:A→ を線形汎関数とする。

Ref(x)≦p(x) on A であるとする。

このとき、線形汎関数 f:X→ が存在して、次を満たす。

(*1) f(x)=f(x) on A

(*2) Ref(x)≦p(x) on X

この定理は既知とする。

詳しい証明を知りたい場合は、関数解析のページなどを参照。

定義 ( サポート関数 )

X を K 上のノルム空間とする。

A を X の部分集合とする。

A は原点を内点としてもつとする。

:X→[0、∞) を p=inf{ λ>0|λ−1x∈A } で定める。

このとき、p を 『 A のサポート関数 』 または 『 A のミンコフスキ汎関数 』 という。

A は原点を含むので、つねに p(x)≧0 である。

P1 ( サポート関数の性質 )

X を K 上のノルム空間とする。

A を X の凸集合とする。

A は原点を内点としてもつとする。

p:X→[0、∞) を A のサポート関数とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) p(λx)=λp(x) ( λ≧0 )

(2) p(x+y)≦p(x)+p(y)

(3) p(x)≦1 on A

(4) 「 x は A の内点 」 ⇔ 「 p(x)<1 」

(5) 「 x は A の境界点 」 ⇔ 「 p(x)=1 」

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

いま、ある λ>0 が存在して、z=λ−1x∈A となる。(※定義:サポート関数)

また、ある μ>0 が存在して、z=μ−1x∈A となる。(※定義:サポート関数)

いま、(λ+μ)−1(x+y)=λ(λ+μ)−1+μ(λ+μ)−1∈A である。(※定義:凸集合)

よって、p(x+y)≦λ+μである。(※定義:サポート関数)

よって、p(x+y)≦p(x)+p(y) である。

(3)の証明

明らかである。

(4)の証明

明らかに、「 x は A の内点 」 ⇒ 「 p(x)<1 」 である。

逆に、p(x)<1 を仮定する。

いま、ある 0<λ<1 が存在して、λ−1x∈A となる。

一方、いま、原点は A の内点である。

つまり、ある δ>0 が存在して、|| z ||<δ ⇒ z∈A である。

いま、(1−λ)z+λ(λ−1z)∈A である。

また、p(z)≦1 である。

ここで、z=(1−λ)−1y とおく。

いま、|| y ||<(1−λ)δ ⇒ y+x∈A である。

つまり、|| y || が十分小ならば、y+x∈A である。

つまり、x は A の内点である。

以上により、「 p(x)<1 」 ⇒ 「 x は A の内点 」 である。

(5)の証明

(4)より、「 x は A の内点 」 ⇔ 「 p(x)<1 」 である。

同様に、「 x は A の外点 」 ⇔ 「 p(x)>1 」 が示される。

よって、「 x は A の境界点 」 ⇔ 「 p(x)=1 」 である。

P2 ( 分離定理〜ノルム空間ver )

X を K 上のノルム空間とする。

、A を X の凸集合とする。

は内点をもつとする。

は A の内点を含まないとする。

このとき、ある c∈、連続線形汎関数 f:X→ が存在して、次を満たす。

(*1) Ref(x)≦c ( x∈A

(*2) Ref(x)≧c ( x∈A

補足

つまり、f は A と A を分離する。

ちなみに、{ x∈X|Ref(x)=c } を 『 実超平面 』 という。

証明

の内点を原点と仮定しても一般性を失わない。

∈A とおく。

A=x+A−A とおく。

このとき、次が成り立つ。

(**1) A は凸である。

(**2) 原点は A の内点である。

(**3) x は A の内点ではない。

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(**1)の証明

x、y∈A とおく。

いま、x=x+x−x ( x∈A )、y=y+y−y ( y∈A ) と表せる。

0<λ<1 とする。

いま、λx+(1−λ)y=x+(λx+(1−λ)y)−(λx+(1−λ)y)∈x+A+A である。

つまり、λx+(1−λ)y∈A (0<λ<1) である。

以上により、A は凸である。

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(**2)の証明

いま、原点は A の内点である。

つまり、ある δ>0 が存在して、|| z ||<δ ⇒ z∈A となる。

よって、|| z ||<δ ⇒ z=x+z−x∈x+A+A=A である。

つまり、原点は A の内点である。

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(**3)の証明

は A の内点であるとする。(背理法)

いま、ある δ>0 が存在して、|| z ||<δ ⇒ x+z∈A である。

よって、x+z=x+x−x ( x∈A ) と表せる。

つまり、|| z ||<δ ならば、z=x−x ( x∈A ) と表せる。

y∈A とおく。

λ>0 を十分小とすると、|| λy ||=λ|| y ||<δ となる。

つまり、λy=x−x ( x∈A ) と表せる。(★0)

よって、λ(λ+1)−1y+(λ+1)−1∈A である。(★1)

さて、原点は A の内点である。

よって、ある δ>0 が存在して、|| z ||<δ ⇒ z∈A となる。

z=λ−1(λ+1)y とおく。

いま、|| y ||<λ(λ+1)−1δ ⇒ || z ||<δ である。

つまり、z∈A である。

いま、x∈A である。

よって、λ(λ+1)−1z+(λ+1)−1∈A である。

つまり、y+(λ+1)−1∈A ( || y ||<λ(λ+1)−1δ ) である。

つまり、|| y || を十分小とすると、y+(λ+1)−1∈A である。

つまり、(λ+1)−1 は A の内点である。(★2)

さて、(★0)より、λ(λ+1)−1y+(λ+1)−1=(λ+1)−1 である。

(★1)より、上式の左辺は A に属する。

(★2)より、上式の右辺は A に属する。

これは矛盾である。

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以上により、(**1)〜(**3)が示された。

改めて、これらの内容をここに書いておく。

(**1) A は凸である。

(**2) 原点は A の内点である。

(**3) x は A の内点ではない。

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p:A→[0、∞) を A のサポート関数とする。

このように定義できるのは(**2)のおかげであることに注意。(※定義:サポート関数)

いま、(**3)より、p(x)≧1 である。(※P1(4))(★3)

D={ y|y=λx、λ∈ } とおく。

f:D→ を f(y)=λp(x) で定める。

λ>0 の場合、f(y)=λp(x)=p(λx)=p(y) である。(※P1)

λ=0 の場合、f(y)=f(0)=0≦p(0) である。

λ<0 の場合、f(y)=λp(x)<0≦p(y) である。

以上により、f(y)≦p(y) on D である。

よって、ある線形汎関数 F:X→ が存在して、次を満たす。(※ハーン・バナッハの定理)

(***1) F(x)=f(x) on D

(***2) F(x)=p(x) on X

いま、原点の近くで|F(x)|≦1 である。(※P1)

よって、ε>0 を十分小とすると、|F(ε−1x)|≦1 である。

つまり、|F(x)|≦ε である。

つまり、F は原点で連続である。

よって、F は X 上で連続である。

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以下、K= として考える。( つまり、複素ノルム空間について考える )

F:X→ を F(x)=F(x)−i・F(ix) で定める。( K= の場合は F=F でよい )

いま、ReF(x)=F(x)≦p(x)≦1 である。(※P1)

また、(★3)より、F(x)=p(x)≧1 である。

よって、ReF(x)=F(x)≦F(x) on A である。

いま、x∈A は x=x+x−x ( x∈A ) と表せる。

よって、ReF(x)=Re(F(x)+F(x)−F(x))=F(x)+ReF(x)−ReF(x) である。

よって、ReF(x)≦ReF(x) である。( x∈A