フィボナッチ数列

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注意

複素数列全体を と表す。

P1

を複素数列全体とする。

は、各項の和とスカラー倍に関してベクトル空間である。

証明

明らかである。

定義 ( ずらし写像 )

を複素数列全体とする。

F: を F(a)=b で定義する。

ただし、a=(a)、b=(b)、b=an+1 である。

このとき、F を 『 ずらし写像 』 という。

定義 ( 長さ2の漸化式 )

次のような漸化式を考える。

(*) an+2=cn+1+c (n=0、1、2、・・・)

これを 『 長さ2の漸化式 』 という。

定義 ( フィボナッチ数列 )

次のような漸化式を考える。

(*) an+2=an+1+a ( a=0、a=1 )

このとき、(a) を 『 フィボナッチ数列 』 という。

P2

F: をずらし写像とする。

c∈ とおく。

V={ a∈|F(a)=ca } と定義する。

このとき、次が成り立つ。

(1) c は F の固有値である。

(2) c の固有ベクトル a∈V は公比 c の等比数列である。

(1)と(2)の証明

明らかである。

P3

F: をずらし写像とする。

V={ a=(a)∈|an+2=cn+1+c、n=0、1、2、・・・ } と定義する。

このとき、次が成り立つ。

(1) V は の部分空間である。

(2) F:V→V の固有多項式は x−cx−c である。

とくに、F の固有多項式が相異なる固有値α、βをもつとすると次が成り立つ。

(3) a=(a)∈V ならば a=Aα+Bβ である。

ただし、(3)において A と B は定数である。

明らかに、A と B は、a と a によって定まる。

(1)の証明

明らかである。

(2)の証明

明らかに、任意の a=(a)∈V は、最初の2項 a と a によって定まる。

よって、任意の a∈V は の元と同一視できる。

=(1、0、・・・)∈V と表す。

=(0、1、・・・)∈V と表す。

いま、e と e は1次独立である。

また、任意の a=(a、a、・・・)∈V は a=a+a と表せる。

よって、{ e、e } は V の基底である。

いま、明らかに、a∈V ならば F(a)∈V である。

よって、F の定義域を V に制限すれば、F は V の変換である。

つまり、F:V→V と考えてよい。

いま、e=(1、0、c、・・・) である。

また、e=(0、1、c、・・・) である。

よって、F(e)=(0、c、・・・)=c である。

また、F(e)=(1、c、・・・)=e+c である。

よって、基底 { e、e } に関する F の表現行列は、



よって、F の固有多項式は、det(xI−A)=x−cx−c である。

仮定より、これは相異なる2つの根αとβをもつ。

v を、固有値αに関する固有ベクトルとする。

w を、固有値βに関する固有ベクトルとする。

いま、v=(1、α、α、・・・) である。(※P2)

また、w=(1、β、β、・・・) である。(※P2)

いま、{ v、w } は V の基底である。

よって、任意の a∈V は a=Av+Bw と表せる。

よって、a=Aα+Bβ である。

P4

(a) をフィボナッチ数列とする。

(a) の一般項は次のように表せる。

補足

明らかに、フィボナッチ数列の各項は整数である。

実際、a=0、a=1、a=1、a=2、a=3、・・・である。

ところが、一般項の表示には無理数 √5 が現れている。

証明

V={ a=(a)∈|an+2=an+1+a (n=0、1、2、・・・) } と定義する。

F:V→V をずらし写像とする。

F の固有多項式は x−x−1である。(※P3)

その根は、



よって、



いま、a=0、a=1 である。

よって、A+B=0、Aα+Bβ=1である。

これを解くと、A=1/√5、B=−1/√5 である。

よって、

参考 ( 黄金比 )

正五角形の頂点を結び、星型の図形を作る。

この辺の比 (−1+√5)/2 を 『 黄金比 』 という。

この星型は、古代ギリシャのピタゴラス学派のシンボルである。

P5

(a) をフィボナッチ数列とする。

このとき、数列 (a/an+1) は黄金比 (−1+√5)/2 に収束する。

証明

いま、a=an−1+an−2 ( n≧3 ) である。

また、a=1、a=2 である。

よって、a≦an+1=a+an−1≦2a である。

よって、1/2≦a/an+1≦1である。

つまり、数列 a/an+1 は有界である。(★1)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、a2n+12n−1−(a2n=1である。(※簡単な計算)(★2)

/an+1 の部分列として a2n/a2n+1 と a2n−1/a2n を考える。

いま、任意の n に対し、ある N が存在して、a/an+1=a2N−1/a2N または a/an+1=a2N/a2N+1 となる。

よって、(★2)より、a2N−1/a2N>a2N/a2N+1 である。

よって、a2N/a2N+1≦a/an+1≦a2N−1/a2N である。(★3)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(★2)より、



また、(a2n+2/a2n+3)−(a2n/a2n+1)=(a2n+12n+2−a2n2n+3)/(a2n+12n+3)である。

よって、(a2n+2/a2n+3)>(a2n/a2n+1)である。

つまり、a2n/a2n+1 は増加数列である。(★4)

よって、(★1)、(★4)より、a2n/a2n+1 は収束する。

同様に、a2n−1/a2n は減少列であり、収束する。

2n+1=a2n+a2n−1 の両辺を a2n で割る。

すると、a2n+1/a2n=1+(a2n−1/a2n)である。

2n=a2n−1+a2n−2 の両辺を a2n−1 で割る。

すると、a2n/a2n−1=1+(a2n−2/a2n−1)である。

limn→∞(a2n/a2n+1)=x とおく。

limn→∞(a2n−1/a2n)=y とおく。

いま、x−1=1+y であり、y−1=1+x である。

よって、x=y である。

よって、x+x−1=0 である。

よって、x=(−1+√5)/2 である。(※2−1≦x≦1であることに注意)