情報系(ハーン・バナッハの定理〜可分ver)

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参考

ハーン・バナッハの定理は、関数解析において有名である。

本格的なバージョンは、本編の関数解析インデックスで述べている。

このページでは、それよりも簡略化された形でのハーン・バナッハの定理を証明する。

P1 ( ハーン・バナッハの定理〜可分ver )

V を可分なノルム空間とする。

W を V の部分空間とする。

f∈B(W、) とおく。

このとき、ある F∈B(V、) が存在して、次を満たす。

(1) F(w)=f(w) ( w∈W )

(2) || F ||=|| f ||

補足

この定理は V の可分を仮定しなくても成り立つ。

その場合の証明については関数解析インデックスで扱っている。

証明

∈V−W とおく。

={ tw+w|w∈W、t∈ } とおく。

まず、f の拡張 F が存在して、次を満たすことを示す。

(*1) F は線形である。

(*2) || F ||≦|| f ||

条件 (*1) と (*2) は次のように表せる。

(*3) F(tw+w)=tF(w)+F(w)=tF(w)+f(w)

(*4) |F(tw+w)|≦|| f ||・|| tw+w ||

次に、(*4)の両辺を t で割る。

w/t∈W であるから、これを改めて w と表してよい。

さらに、(*3)を用いると、

(*5) |F(w)+f(w)|=|F(w+w)|≦|| f ||・|| w+w ||

絶対値を外すと、

(*6) f(w)−|| f ||・|| w+w ||≦F(w)≦f(w)+|| f ||・|| w+w ||

以上により、(*1) と (*2) は、(*6) に書き直された。

つまり、(*6) を示せば、(*1) と (*2) が示されたことになる。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

では、(*6)を示す。

任意の x、y∈W に対し、



一方、



よって、



よって、



つまり、(*6) が成り立つ。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、V は稠密な点列をもつ。(※定義:可分)

を、点列のうちで W に属さない点とする。

を、w と W によって生成される部分空間とする。

つまり、W={ tw+W|w∈W、t∈ } である。

を、点列のうちで W に属さない点とする。

以下、同様の議論を繰り返して W を構成する。

つまり、Wn+1 は wn+1 と W によって生成され、wn+1 は W に属さない。

既に示したように、W 上の汎関数 f を W 上に拡張できる。

同様に、これを W、W、・・・ 上へ拡張できる。

以上により、f を V の稠密な部分集合 X 上に拡張できた。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

w∈W−X とおく。

いま、ある点列 (xn∈⊂X が存在して、その極限が w となる。

いま、(*3)より、|F(x)−F(x)|≦|| f ||・|| x−x ||→0 である。

つまり、F(x)⊂ はコーシー列である。

よく知られているように、実数においてコーシー列は収束する。(※実数の連続性)

そこで、その極限を F(w) と表す。

以上により、f を H 上に拡張できた。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

いま、|F(w)|=limn→∞|F(x)|≦limn→∞|| f ||・|| x ||=|| f ||・|| w || である。

よって、|| F ||≦|| f || である。

一方、明らかに、|| F ||≧|| f || である。(※ F は f の拡張なので当然 )

よって、|| F ||=|| f || である。