情報系(メンバー、平均・分散→共分散→回帰直線)

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定義 ( データ )

調査対象全体を 『 集団 』 という。

集団の要素を 『 メンバー 』 という。

メンバーの数値化された特性全体を 『 データ 』 という。

データを構成する数値の個数を 『 サイズ 』 という。

メンバーを 『 変量 』 と呼ぶこともある。

定義 ( 階級 )

(x’、・・・、x’)をサイズ N のデータとする。

このメンバーを次のように等間隔に n 分割する。

(*) a〜a、a〜a、・・・、an−1〜a

このとき、各間隔 ai−1〜a を 『 階級 』 という。

また、各階級 ai−1〜a のサイズを 『 度数 』 という。

階級 a〜ai+1 の中央値 x=2−1(ai−1+a) を 『 階級値 』 という。

階級値や度数を表示した表を 『 度数分布表 』 という。

次は A さんのテストの得点である。

(*) 80、75、91、73、87

これに対して度数分布表を作成すると、

定義 ( 平均 )

(x’、・・・、x’)をサイズ N のデータとする。

次のように定義する。



このとき、x を 『 平均(相加平均)』 という。

(x’、・・・、x’)をサイズ N のデータとする。

(x、・・・、x)を階級値とする。( むろん n≦N である )

を x の度数とする。

このとき、

参考

変量 X と Y の間に Y=aX+b という関係があるとする。

を X の平均とする。

を Y の平均とする。

このとき、y=ax+b である。

証明

実際、y=n−11≦i≦n(ax+b)=an−11≦i≦n+b=ax+b である。

参考 ( メディアン )

(x’、・・・、x’)をサイズ N のデータとする。

データを大きさの順番に並べたとき、中央に位置する値を 『 メディアン 』 という。

N が偶数である場合、メディアンは xN/2’ である。

N が奇数である場合、メディアンは x(N−1)/2’ と x(N+1)/2’ の平均である。

よく言われるように、テレビなどで平均所得が発表されると、戸惑う人が多い。

そこで発表される値は、世間一般の家計から視ると高く感じられてしまう。

これは一部の高所得者が平均を押し上げているからである。

このような状況では平均値よりもメディアンの方が実情を反映していると言える。

参考 ( モード )

データの中で最も度数が大きい変量 x の値を 『 モード 』 という。

モードには 「 流行 」 や 「 ファッション 」 という意味がある。

定義 ( 分散 )

(x’、・・・、x’)をサイズ N のデータとする。

をその平均とする。

次のように定義する。



このとき、σ(x)を 『 分散 』 という。

また、σ(x)=√σ(x)を 『 標準偏差 』 という。

分散はバラツキを測る尺度である。

実際、データのバラツキが大きいほど分散が大きくなることは明らかである。

むろん、平均が同じであっても分散が異なる場合もある。

(x’、・・・、x’)をサイズ N のデータとする。

(x、・・・、x)をその階級値とする。

を x の度数とする。

このとき、明らかに、

参考 ( チェビシェフの定理 )

x をサイズ N のデータの変量とする。

平均は x=m であるとする。

標準偏差は σ(x)=s であるとする。

このとき、m−ks<x<m+ks (k≧1) をみたすメンバー x の度数は (1−1/k)N 以上である。

m−ks<x<m+ks をみたすメンバー x に関する和を int と表す。

それ以外のメンバー x に関する和を ext と表す。

すると、



よって、

参考 ( 変動係数 )

x を変量とする。

次のように定義する。



このとき、Cv(x)を 『 変動係数 』 という。

上の定義は唐突であろう。

そこで、その背景を説明する。

例えば、次のデータを考える。

A : 20、10、30

B : 02、01、03

いま、σ=1000/3、σ=10/3 である。

つまり、σ>σ である。

しかし、A の方が B よりもバラツキが大きいと言えるであろうか?

ある意味で、これは正しくない。

つまり、単位の違いがそのまま数値に影響してしまうことは不都合である。

そこで、Cv(x)=σ(x)/x を考えることで単位によって生じる差をなくす。

実際、Cv=√(10/3)/2=Cv である。

注意 ( 散布図、正の相関、負の相関 )

(x、・・・、x)、(y、・・・、y)をサイズ N のデータとする。

横軸を x とし、縦軸 y とする座標を考える。

この座標に点(x、y)、・・・、(x、y) を配置する。

このような図を 『 散布図(相関図)』 という。

とくに、(x−x)(y−y)>0 を満たす点(x、y)は 「 正の相関をもつ 」 という。

一方、(x−x)(y−y)<0 を満たす点(x、y)は 「 負の相関をもつ 」 という。

正の相関を図示すると、



ただし、現実に上記のようにすべての点が正の相関をもつデータが得られることは少ない。

実際には、負の相関がいくつか混ざるデータが得られる。



そこで、相関関係を測る尺度が必要となる。

以下、それを定義しよう。

定義 ( 相関係数、共分散 )

(x、・・・、x)、(y、・・・、y)をサイズ N のデータとする。



このとき、C(x、y) を 『 x と y の共分散 』 という。

また、r(x、y) を 『 x と y の相関係数 』 という。

C(x、y)は相関関係を測る尺度である。

ここで、r(x、y)を定義する理由は参考(変動係数)と同じである。

次のように計算できる。

定義 ( 回帰直線 )

x と y を2つの変量とする。

ここで、次のような直線を定義する。



この直線を 『 回帰直線 』 という。

回帰直線は(x、y)を通る直線で各点(x、y)に最も近い直線である。

このことを確認してみよう。

まず、P=(x、y) とおく。

また、Q=(x、a(x−x)+y)とおく。

と Q の距離を P と表す。



ここで、S=N−11≦i≦N を最小にする直線 ( ただし(x、y)を通る ) を求めよう。

直線の式を y=a(x−x)+y とおくと、



よって、a=C(x、y)/σ(x)のときに S は最小となる。

また、最小値は S=σ(y)(1−r(x、y))である。

一方、明らかに、S≧0 である。

よって、つねに、−1≦r(x、y)≦1 であることも分かる。