情報系(カイ2乗分布、t分布、F分布)

サイトのTOP→理系インデックス
情報系のTOP→情報系インデックス





定義 ( 母関数 )

X を確率変数とする。

M(θ)=E[eθX] と定義する。

このとき、M(θ)を 『 モーメント母関数 』 という。

よく知られているように、次が成り立つ。(※マクローリン展開)

(*) eθX=1+(θX)/1!+(θX)/2!+(θX)/3!+・・・

よって、M(θ)=E[eθX]=1+E[X]θ/1!+E[X]θ/2!+・・・ である。

よって、M’(0)=E[X] であり、M’’(0)=E[X] である。

よって、σ=M’’(0)−M’(0) である。

参考 ( 正規分布の確率密度、母関数、期待値・分散 )

正規分布 N(μ、σ) の確率密度は、



また、正規分布の期待値、分散、モーメント母関数は、

(1) E[X]=μ

(2) V[X]=σ

(3) M(θ)=exp(μθ+(σ/2)θ

証明

このページではこれを認める。

定義 ( ガンマ関数 )

次のように定義する。



このとき、Γを 『 ガンマ関数 』 という。

定義 ( ベータ関数 )

次のように定義する。



このとき、Bを 『 ベータ関数 』 という。

参考 ( ガンマ関数の性質 )

次が成り立つ。

証明は省略する。

参考 ( ベータ関数の性質 )

次が成り立つ。

証明は省略する。

定義 ( χ分布 )

、・・・、X を互いに独立な確率変数とする。

、・・・、X は標準正規分布 N(0、1) に従うとする。

次のようにおく。



このとき、X の確率分布を χ(x) と表す。

χ(x)を 『 自由度 n のχ分布 』 という。

定義 ( t分布 )

Y と Z を独立な確率変数とする。

Y は標準正規分布 N(0、1) に従うとする。

Z は自由度 n のχ分布に従うとする。

次のようにおく。



このとき、X の確率分布を t(x) と表す。

(x)を 『 自由度 n の t 分布 』 という。

定義 ( F分布 )

Y と Z を独立な確率変数とする。

Y は自由度 m のχ分布に従うとする。

Z は自由度 n のχ分布に従うとする。

次のようにおく。



このとき、X の確率分布を Fm、n(x) と表す。

m、n(x)を 『 自由度(m、n)の F 分布 』 という。

P1 ( χ分布の確率密度 )

自由度 n のχ分布の確率密度は、



モーメント母関数は、



期待値と分散は、

証明(確率密度)

X=Z+・・・+Z をχ(x)に付く確率変数とする。

f(z) を Z の確率密度とする。

いま、Z は標準正規分布 N(0、1) に従う。

つまり、



ここで、Y=Z とおく。

つまり、X=Y+・・・+Y である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

まず、n=1 の場合について考える。

いま、x=y=z である。

また、z≧0 としてよい。

実際、次が成り立つ。(※ f は偶関数)



つまり、z≧0 のみを考えればよい。

以上により、z=√x である。

また、x≦0 ではχ(x)=0 である。(※定義:χ分布)

よって、



よって、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

次に、n の場合に成り立つと仮定して n+1 の場合が成り立つことを示す。(数学的帰納法)

x=y+・・・+yn+1=z+・・・+zn+1 ( y≧0、・・・、yn+1≧0 ) とおく。

よって、0≦y≦x である。

y=y+・・・+y とおく。

h(y、・・・、yn+1) を y、・・・、yn+1 の確率密度とする。

いま、h(y、・・・、yn+1)=χ(y)χ(x−y)である。(※y、・・・、yn+1の独立性)

よって、次のように計算できる。( ただし、A=2−n/2Γ(n/2)−1 とおく )

証明(母関数)

よって、次のように計算できる。( ただし、A=2−n/2Γ(n/2)−1 とおく )

証明(期待値と分散)

既に示したように、M(θ)=(1−2θ)−n/2 である。

よって、M’(θ)=n(1−2θ)−n/2−1 である。

また、M’’(θ)=n(n+2)(1−2θ)−n/2−2 である。

よって、E[X]=M’(0)=n である。

また、V[X]=M’’(0)=2n である。

P2 ( t分布の確率密度 )

自由度 n の t 分布の確率密度は、

証明

(y) を Y の確率密度とする。

(z) を Z の確率密度とする。

=2−n/2Γ(n/2)−1 とおく。

いま、次のように表せる。(※定義:t分布、P1)



また、y=x√(Z/n) である。

よって、変数変換(y、z)→(x、z)のヤコビアン J は、



YZ(y、z) を y と z の確率密度とする。

XZ(x、z) を x と z の確率密度とする。

いま、fYZ(y、z)=f(y)f(z)である。(※ Y と Z の独立性)

よって、次のように計算できる。



よって、



この fXZ(x、z) の X を中心とした周辺確率密度が t(x) である。

つまり、

P3 ( F分布の確率密度 )

自由度(m、n)の F 分布の確率密度は、

証明

X=(Y/m)(Z/n)−1 を Fm、n(x) に付く確率変数とする。

(y) を Y の確率密度とする。

(z) を Z の確率密度とする。

つまり、f(y)=Am/2−1−y/2 ( y>0 ) である。

また、f(z)=An/2−1−z/2 ( z>0 ) である。

U=mZ とおく。

XU(x、u) を X と U の確率密度とする。

いま、X=nY/U、Y=XU/n、Z=U/m である。

よって、変数変換(Y、Z)→(X、U)のヤコビアン J は、



よって、



よって、



この fXU の X を中心とした周辺確率密度が Fm、n(x) である。

よって、