情報系(カントール集合、カントール関数)

サイトのTOP→理系インデックス
情報系のTOP→情報系インデックス





定義 ( カントール集合 )

[0、1] を閉区間とする。

[0,1] を三等分し、中央の長さ 1/3 の開区間を取り除く。

残った両脇の区間をさらに三等分し、中央の長さ 1/3 の開区間を取り除く。

この操作を無限に続けて得られる集合を C と表す。

このとき、C を 『 カントール集合 』 という。

図示すると、



ただし、カントール集合を視覚的に理解することは難しい。

ゆえに、上図でも、カントール集合それ自体を描くことはできない。

P1

カントール集合 C は次のように表せる。

補足

とくに、C には、[0、1] から取り除かれる開区間の端点がすべて属している。

つまり、0、1、1/3、2/3、1/3、2/3、7/3、8/3、・・・である。

その他にも、1/4 や 3/4 などが C に属する。

実際、1/4=1≦n≦∞2/32n∈C であり、3/4=1≦n≦∞2/32n−1∈C である。

証明

1≦n≦∞/3 (a∈{0、1、2}) を 0.a・・・ と表す。

いま、1/3=0.1=0.022・・・∈C である。

また、2/3=0.122・・・=0.2∈C である。

また、1=0.22・・・∈C である。

よって、



ここで、次のようにおく。



いま、



よって、



帰納的に、



いま、(J)は減少列である。

また、C=∩1≦m≦∞ である。

つまり、C={ 1≦n≦∞/3|任意の n に対して a∈{0、2} } である。

P2

C の構成において、[0、1] から n 段目で 2n−1 個の開区間を取り除く。

それを左側から Bn、1n、2、・・・、Bn、2n−1 と表す。

このとき、



また、

証明

明らかである。

定義 ( カントール関数 )

γ:[0、1]→[0、1] を次のように定義する。



このとき、γ を 『 カントール関数 』 という。

むろん、(*1) は C に属する元に対する値であり、(*2) は C に属さない元に対する値である。

図示すると、



例えば、第一段目について、

(*) B1、1=(1/3、2/3)、γ(B1、1)=1/2

また、第二段目について、

(*) B2、1=(1/3、2/3)、γ(B2、1)=1/2

(*) B2、2=(7/3、8/3)、γ(B2、2)=3/2

P3

カントール集合は零集合である。

証明

いま、C⊂[0、1/3]∪[2/3、1] である。

よって、μ(C)≦2/3 である。

いま、C⊂[0、1/3]∪[2/3、1/3]∪[2/3、7/3]∪[8/3、1] である。

よって、μ(C)≦2/3 である。

帰納的に、μ(C)≦2/3 である。

よって、μ(C)=0 である。

P4

(1) カントール関数は単調増加かつ連続である。

(2) カントール関数の微分はほとんど至るところ 0 である。

(3) カントール関数の微分は x∈C で微分不可能である。

(1)の証明

明らかである。(※定義(カントール関数)の補足の図)

(2)の証明

x は C に属さないとする。

この x の近傍で、γは定数である。

よって、γ’(x)=0 である。

つまり、γ’(x)=0 (a.e.) である。

(3)の証明

例えば、x=0 の場合を考える。

h=1/3 とする。

いま、γ(h)=1/2、γ(0)=0 である。

よって、

P4

γ:[0、1]→[0、1] をカントール関数とする。

このとき、

証明

次のようにおく。



次のように定める。



いま、φ↑γ a.e.であり、φ は非負値である。

また、



また、



よって、



よって、∫[0、1]γ(x)dx=1/2 である。(※単調収束定理)