情報系(仮説検定)

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参考

仮説検定の論法は、基本的に背理法と同じである。

定義 ( 帰無仮説、対立仮説 )

例えば、あるコインの表裏が出る確率を調べるとする。

通常であれば、コインの表が出る確率は50%である。

しかし、コインの形が歪んでいて50%ではないかもしれない。

これを確認するためにはどうすればよいだろう?

むろん、コインを1000回投げれば納得のいく結果を得るかもしれない。

しかし、自然科学・社会科学の実験において実験を1000回行うことは非現実的である。

そこで、なるべく少ない回数で合理的に調べる必要がある。

さて、どうすればよいだろう。

そこで、まずはコインを10回投げてみよう。

その結果、例えば、表が10回出たとする。/br<>/br< すると、仮説 H 「 表が出る確率は50%である 」 は疑わしい。

そして、仮説 H 「 表が出る確率は50%より大きい 」 が自然に出る。

このとき、仮説 H を 『 帰無仮説 』 といい、仮説 H を 『 対立仮説 』 という。

むろん、上記の定義は少し直観的である。

しかし、初等統計学では十分と考え、ここでは厳密な定義は行わない。

定義 ( 有意水準 )

帰無仮説を棄却・採択する基準を 『 有意水準 』 という。

有意水準より小さい場合を棄却する検定を 『 左側検定 』 という。

有意水準より大きい場合を棄却する検定を 『 右側検定 』 という。

左側検定と右側検定を総称して 『 片側検定 』 という。

左側検定と右側検定を合わせた検定を 『 両側検定 』 という。

また、棄却される場合全体を 『 棄却域 』 という。

例えば、コインの実験に対して有意水準を α=1/1000 として左側検定を行う。

いま、帰無仮説は H 「 表が出る確率は50% 」 である。

この仮定の下で、表が出る確率は 1/1024 である。

つまり、1/1024<1/1000=α である。

有意水準よりも確率が小さいので、帰無仮説 H は棄却される。

参考 ( 第1種のエラー、第2種のエラー )

むろん、検定において次のようなエラーが生じる可能性がある。

(1) 帰無仮説が真であるのに、これを棄却してしまう。

(2) 帰無仮説が偽であるのに、これを採択してしまう。

この(1)を 『 第1種のエラー 』 といい、(2)を 『 第2種のエラー 』 という。

規約 ( 正規母集団の母平均の検定〜母分散既知ver )

N(μ、σ)を正規母集団とする。

を標本平均とする。

よく知られているように、次の統計量 T は標準正規分布 N(0、1) に従う。



このとき、棄却域は次のように定められる。

例えば、ある研究チームが製品を改良したとする。

製品の性能は数値化されていて、これによって性能を測定できるとする。

ここで、製品の性質が本当に向上したのかどうか調べたいとする。

そのために、サンプルを n 個無作為抽出し、性能を測定した。

すると、測定値の平均はμであった。

一方、従来の商品では平均はμであり、分散はσである。

:μ=μ を帰無仮説とする。( つまり、改良後も変化がない )

:μ>μ を対立仮説とする。( つまり、改良後は性能が向上している )

ここで、X を標本平均とする。

いま、次の統計量 Z は標準正規分布 N(0、1) に従う。



ここで、有意水準をαとする。( 例えば、α=0.05 である )

すると、棄却域は [z(α)、∞) である。

いま、X の実現値はμである。

よって、Z の実現値は、



もし、z>z(α)であれば、z は棄却域に属する。

つまり、改良品の性能が向上したと分かる。

以上をまとめると、次のようになる。( 手順が背理法に似ていることが分かる )

(1) Z=z と仮定する。

(2) z を計算する。

(3) z が棄却域に属するか否か調べる。

例えば、α=0.05 を α=0.01 にすると、基準が厳しくなる。

規約 ( 正規母集団の母平均の推定〜母分散未知ver )

N(μ、σ)を正規母集団とする。

ただし、分散σは未知であるとする。

を標本平均とする。

を不偏分散とする。

つまり、



よく知られているように、次の統計量 T は自由度 n−1 の t 分布 tn−1 に従う。



このとき、棄却域は次のように定められる。

規約 ( 等平均仮説〜σとσ既知ver )

N(μ、σ)、N(μ、σ) を2つの正規母集団とする。

を N(μ、σ) のサイズ n の標本の標本平均とする。

を N(μ、σ) のサイズ n の標本の標本平均とする。

いま、X−Y は N(μ−μ、σ/n+σ/n)に従う。

よって、μ=μ の場合、次の統計量 Z は標準正規分布 N(0、1) に従う。



よって、次のように定められる。

規約 ( 等平均仮説〜σ=σのみ既知ver )

N(μ、σ)、N(μ、σ) を2つの正規母集団とする。

分散σとσは未知であるとする。

ただし、σ=σ であることは分かっているとする。

、Y を標本平均とする。

、U を不偏分散とする。

いま、次の統計量 T は t+n−2 に従う。



ただし、



よって、次のように定められる。

規約 ( 正規母集団の母分散に対する検定〜母平均未知ver )

N(μ、σ)を正規母集団とする。

母平均μは未知であるとする。

、・・・、X を正規母集団の標本とする。

いま、次の統計量 X は自由度 n−1 のχ分布に従う。



よって、次のように定められる。