情報系(区間推定)

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参考

(1) 母分散が既知である場合、母平均は標準正規分布によって推定される。

(2) 母分散が未知である場合、母平均は t 分布によって推定される。

(3) 母分散が未知である場合、母分散はχ分布によって推定される。

定義 ( 標本調査、母集団 )

標本対象のサイズが十分大である場合、調査対象全体を直接に調べることは現実的ではない。

例えば、国民全体を対象にアンケートをとることは難しい。

そこで、実際には調査対象から一部を取り出して調査する。

これを 『 標本調査 』 という。

調査対象全体を 『 母集団 』 という。

定義 ( 標本 )

(x、・・・、x)を母集団から抽出された集団とする。

各 x は取り出されるまで値が定まっていない。

よって、x は母分布と同一の確率分布に従う確率変数 X の実現値と見なせる。

このとき、(X、・・・、X) を 『 サイズ n の標本 』 という。

とくに、母集団からの抽出がランダムである場合、これは X、・・・、X が独立であることを意味する。

定義 ( 標本平均、標本分散 )

(X、・・・、X)をサイズ n の標本とする。

このとき、X=n−1(X+・・・+X)を 『 標本平均 』 という。

また、S=n−11≦i≦n(X−X を 『 標本分散 』 という。

定義 ( 標本平均値、標本分散値 )

(X、・・・、X)をサイズ n の標本とする。

(x、・・・、x)をその実現値とする。

このとき、x=n−1(x+・・・+x)を 『 標本平均値 』 という。

また、s=n−11≦i≦n(x−x を 『 標本分散値 』 という。

定義 ( 100α%点〜標準正規分布ver )

Z を標準正規分布に従う確率変数とする。

ある 0<α<1 が存在して P(Z≧z(α))=α となるとする。

このとき、z(α)を 『 100α%点 』 という。

例えば、5%点は z(0.05)=1.645 である。

これを確認しよう。

いま、P(Z≧z(0.05))=0.05 である。

よって、P(0≦Z≦z(0.05))=0.45 である。

よって、z(0.05)=1.645 である。(※標準正規分布の逆分布表)

むろん、標準正規分布の逆分布表は統計学の参考書に掲載されている。

定義 ( 100α%点〜χ分布ver )

X を自由度 n のχ分布に従う確率変数とする。

ある 0<α<1 が存在して P(X≧χ(α))=α となるとする。

このとき、χ(α)を 『 100α%点 』 という。

確率密度を f として図示すると、

むろん、統計学の参考書には 『 χ分布の逆分布表 』 が巻末に掲載されている。

よって、標準正規分布の場合と同様に100α%点を求めることができる。

定義 ( 100α%点〜t分布ver )

T を自由度 n の t 分布に従う確率変数とする。

ある 0<α<1 が存在して P(|T|≧t(α))=α となるとする。

このとき、t(α)を 『 100α%点 』 という。

確率密度を f として図示すると、

P1 ( 期待値の和、分散の和 )

、・・・、X を確率変数とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) E(a+・・・+a)=aE(X)+・・・+aE(X

(2) X、・・・、X が独立 ⇒ V(a+・・・+a)=aV(X)+・・・+aV(X

証明

既知とする。

P2 ( 正規分布の再生性 )

、・・・、X を互いに独立な確率変数とする。

は N(μ、σ)に従うとする。

このとき、X+・・・+X は N(μ+・・・+μ、σ+・・・+σ)に従う。

証明

既知とする。

P3 ( 標本平均の分布 )

母平均μ、母分散σ の母分散を考える。

をサイズ n の標本の標本平均とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) E[X]=μ

(2) V[X]=σ/n

(2) 母集団が正規分布 N(μ、σ) ⇒ X は N(μ、σ/n) に従う。

補足

むろん、E[X] は 『 標本平均の平均 』 を意味する。

補足

むろん、次の Z は標準正規分布 N(0、1) に従う。



実際、E[Z]=0、V[Z]=1 である。(※P1)

(1)と(2)の証明

明らかである。(※P1)

(3)証明

明らかである。(※P2)

定義 ( 不偏分散 )

を標本分散とする。

このとき、U=n(n−1)−1 を 『 不偏分散 』 という。

上の定義は唐突であろう。

そこで、背景を説明する。

、・・・、X をサイズ n の標本とする。

母平均をμとし、母分散をσとする。

いま、E[X]=μであり、V[X]=σである。

また、V[X]=E[X]−E[X である。

よって、E[X]=V[X]+E[X=σ+μ である。

同様に、E[(X]=V[X]+E[X=σ/n+μ である。

いま、S=n−11≦i≦n(X−X=n−11≦i≦n−(X である。

よって、E[S]=E[n−11≦i≦n−(X]=n−11≦i≦nE[X−E[(X)]=n−1(n−1)σ である。

つまり、E[n(n−1)−1]=σ である。

そこで、U=n(n−1)−1 とおくと、E[U]=σ である。

つまり、不偏分散の平均は母分散σに一致する。

参考 ( 中心極限定理 )

平均μ、分散σの母集団を考える。

標本サイズ n は十分大であるとする。

このとき、標本平均 X は近似的に N(μ、σ/n)に従う。

補足

この定理は任意の母集団に対して成り立つことに注意。

証明

既知とする。

P4

N(μ、σ)を正規母集団とする。

をサイズ n の標本の標本平均とする。

を標本分散とする。

を不偏分散とする。

このとき、次の統計量 X は自由度 n−1 のχ分布に従う。

証明

省略する。

P5

N(μ、σ)を正規母集団とする。

をサイズ n の標本の標本平均とする。

を不偏分散とする。

このとき、次の統計量 T は自由度 n−1 の t 分布に従う。

証明

いま、次の統計量 Z は標準正規分布 N(0、1) に従う。(※P3の補足)



また、次の統計量 X は自由度 n−1 のχ分布に従う。(※P4)



この Z と X は独立であることが知られている。

よって、次が成り立つ。(※定義 : t 分布)

P6 ( 母分散既知の場合、母平均は標準正規分布によって推定される )

N(μ、σ)を正規母集団とする。

をサイズ n の標本の標本平均の実現値とする。

このとき、μの信頼度100(1−α)%信頼区間は、

ただし、z(α)は100α%点である。

補足

今回の定理では母集団は正規であると仮定した。

ただし、母集団のサイズが十分大ならば任意の母集団は正規分布と見なせる。(※中心極限定理)

証明

いま、X は N(μ、σ/n)に従う。(※P3)

また、次の統計量 Z は N(0、1) に従う。(※P3の補足)



よって、





よって、

P7 ( 母分散未知の場合、母平均は t 分布によって推定される )

N(μ、σ)を正規母集団とする。

ただし、母分散σは未知であるとする。

をサイズ n の標本の標本平均の実現値とする。

を不偏分散の実現値とする。

つまり、



このとき、μの信頼度100(1−α)%信頼区間は、

補足

ただし、tn−1(α)は100α%点である。

証明

よく知られているように、次の統計量 T は自由度 n−1 の t 分布 tn−1 に従う。(※P5)



よって、



よって、

P8 ( 母平均未知の場合、母分散はχ分布によって推定される )

N(μ、σ)を正規母集団とする。

ただし、母平均μは未知であるとする。

を標本分散の実現値とする。

このとき、母分散σの信頼度100(1−α)%信頼区間は、



また、不偏分散の実数値 u で表すと、

補足

ただし、χn−1(α)は100α%である。

証明

(X、・・・、X)を正規母集団の標本とする。

よく知られているように、次の統計量 X は自由度 n−1 のχ分布に従う。(※P4)



よって、





つまり、