情報系(二項分布→正規分布の証明〜直接ver)

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参考

二項分布の確率関数の極限(n→∞)は、正規分布の確率関数となる。

これを示す方法は次の2通りである。

(1) 中心極限定理を応用して示す。

(2) 直接的に示す。

参考 ( 中心極限定理 )

、・・・、X を互いに独立な確率変数とする。

、・・・、X は平均μ、分散σ の同一の(ある)確率分布に従うとする。(★)

次のように定める。



このとき、Z は n→∞ で N(0、1) に従う。

つまり、X は N(μ、σ/√n) に従う。

証明

これの証明は長くなるので別のページで扱う。

参考 ( 中心極限定理〜ラプラスver )

X=X+・・・+X を二項分布 Bin(n、p) に従う確率変数とする。

このとき、次が成り立つ。

証明

よく知られているように、二項分布B(n、p)の期待値は np であり、分散は npq である。

よって、成り立つ。(※参考:中心極限定理)

定義 ( ベルヌーイ試行 )

X を 0 または 1 のみをとる確率変数とする。

X=1 となる確率を p とする。

q=1−p とおく。

つまり、P(X=1)=p であり、P(X=0)=q である。

このとき、X を 『 ベルヌーイ試行 』 という。

定義 ( 二項分布〜その1 )

(X、・・・、X)を互いに独立なベルヌーイ試行とする。

X=X+・・・+X とおく。

このとき、X の分布を Bin(n、p) と表す。

Bin(n、p)を 『 二項分布 』 という。

定義 ( 二項分布〜その2 )

P(X=k)=n−k ( k=0、・・・、n ) と定義する。

ただし、q=1−p である。

このとき、X の分布を Bin(n、p) と表す。

Bin(n、p)を 『 二項分布 』 という。

定義(二項分布〜その1)と定義(〜その2)は同値である。

定義 ( 正規分布 )

X を確率変数とする。

X の密度関数は次の形で表されるとする。



このとき、N(0、1)を 『 標準正規分布 』 という。

さらに、X を σX+μ に変数変換したものを N(μ、σ) と表す。

つまり、



このとき、N(μ、σ)を 『 正規分布 』 という。

つまり、正規分布は二項分布の極限に相当する。

このことは参考(中心極限定理)によって明らかであろう。

一方、以下では直接的に示してみよう。

P1 ( ガウス積分 )

次が成り立つ。

(1)の証明

次のようにおく。



いま、

(2)の証明

(1)より明らかである。

P2

二項分布の確率関数の極限(n→∞)は、正規分布の確率関数となる。

証明

(x)=n−x を二項分布の確率関数とする。

g(x)=lnf(x)とおく。

つまり、



いま、x は離散的な値 x=0、1、・・・をとる。

x を十分大とすると、x が 1 だけ増加しても h(x)=lnx!はほとんど変化しない。

そこで、近似的に次のように計算できる。



よって、



よって、



ここで、g’(x)=0 とおく。

すると、x=np=μである。

つまり、f は x=μ で極大をとる。

一方、



よって、



以上をまとめると、g’(μ)=0、g’’(μ)=−1/σ である。

ここで、g(x)を x=μ まわりでテイラー展開すると、



つまり、n が十分大であるとすると、



ここで、上式の右辺を f(x)とおく。

つまり、



一方、次が成り立つ。(※全確率は1である)



つまり、



ここで、z=(x−μ)/σとおくと、



よって、c√(2π)σ=1 である。(※参考:ガウス積分)

よって、c=(√(2π)σ)−1 である。

つまり、