情報系(オイラーの差分法)

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参考 ( オイラーの差分法 )

y’(t)=−λy(t) を微分方程式とする。

Δt を十分小とすると、y(t+Δt)≒y(t)+y’(t)Δt と表せる。

上式によって初期値 y(0) から t=nΔt ごとに近似値を求めることができる。

これを 『 オイラーの差分法 』 という。

こうして得られた近似解で Δt→0 とすると、解が得られると期待できる。

以下、実際にオイラーの差分法を用いて問題を解いてみよう。

参考 ( オイラーの差分法による解法 )

空気抵抗が作用する物体の垂直方向の運動に対する運動方程式は次のように表される。

(*1) mv’(t)=−mg−cv(t)

その解は、次のように表される。

(*2) v(t)=(v(0)+g/λ)e−λt−g/λ ( λ=c/m )

証明 ( オイラーの差分法による解法 )

λ=c/m とおく。

いま、y’(t)=−g−λv(t) である。

u(t)=v(t)+g/λ とおく。

いま、u’(t)=−λu(t) である。

これは 『 変数分離形 』 と呼ばれる微分方程式である。

よく知られているように、この類の微分方程式は変数分離によって解ける。

しかし、ここではオイラーの差分法を用いる。

Δt が十分小ならば、u(t+Δt)≒u(t)+u’(t)Δt=(1−λΔt)u(t) である。

よって、

(*) u(Δt)≒(1−λΔt)u(0)

(*) u(2Δt)≒(1−λΔt)u(Δt)≒(1−λΔt)u(0)

・・・

(*) u(nΔt)≒(1−λΔt)u(0)

ここで、t=nΔt として n→∞ とする。

すると、limn→∞(1−λΔt)=limn→∞(1−λt/n)=exp(−λt) である。

ただし、上式の計算では limn→∞(1+x/n)=exp(x)を用いた。(※微分積分などで有名)

よって、u(t)=u(0)exp(−λt) である。

つまり、v(t)=(v(0)+g/λ)e−λt−g/λ である。