基礎系(ディニの定理)

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P1 ( ディニの定理 )

:[a、b]→ を連続関数の列とする。

(f) は増加列であるとする。( つまり、任意の n に対し、[a、b] 上で fn+1≧f である )

(f) は f に各点収束しているとする。

f は連続であるとする。

このとき、(f) から f への収束は一様収束である。

補足

よく知られているように、連続関数列の一様収束の極限は連続関数である。

今回の定理は、これの逆に相当する。

証明

ε>0 とおく。

c∈[a、b] とおく。

いま、(f) は f に各点収束している。

よって、ある自然数 N が存在して、

(*1) n≧N ⇒|f(c)−f(c)|<ε/3

x∈[a、b] とおく。

いま、f と f は連続である。

よって、ある δ>0 が存在して、

(*2) |x−c|<δ ⇒ (|f(x)−f(c)|<ε/3、|fNc(x)−fNc(c)|<ε/3)

よって、|x−c|<δ とすると、

(*3) |fNc(x)−f(x)|≦|fNc(x)−fNc(c)|+|fNc(c)−f(c)|+|f(c)−f(x)|<ε

いま、(f) は増加列である。

よって、n≧N⇒|f(x)−f(x)|≦|fNc(x)−f(x)|である。

よって、|x−c|<δ かつ n≧N ならば、|f(x)−f(x)|<ε である。

固定させていた x を自由に動かせば、

(*4) 任意の x∈[a、b] に対し、|x−c|<δ かつ n≧N ならば、|f(x)−f(x)|<εである。

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いま、[a、b]⊂∪c∈[a、b](c−δ、c+δ) である。

よって、ある有限個の c、・・・、c を選んで、次が成り立つようにできる。(※ハイネ・ボレルの被覆定理)

(*5) [a、b]⊂∪1≦k≦m(c−δ、c+δ

ここで、N=max{ N、・・・、N } とおく。(★)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

上の(*4)、(*5)より、

(*6) n≧N ⇒ sup{ |f(x)−f(x)|: x∈[a、b] }≦ε

つまり、(f) は f に一様収束する。

補足

ところで、上の証明ではなぜハイネ・ボレルの被覆定理を使用したのであろうか?

これを理解することは定理の証明の本質を理解することにつながる。

もし、ハイネ・ボレルの被覆定理を用いなければ、(★)のように N をおくことができない。

ここで、

「 普通に N=max{ N、N、・・・ } とおけばよいのでは? 」

・・・と疑問に思う人がいるかもしれない。

しかし、これは間違いである。

なぜなら、無限個の要素から最大値を選べる保障はないからである。

一方、ハイネ・ボレルの被覆定理を用いることで、有限個 N、・・・、N を選べる。

これにより、N=max{ N、・・・、N } とおくことができる。

つまり、ハイネ・ボレルの被覆定理は、無限を有限にグレードダウンさせる。