基礎系(外積は体積である)

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参考

前ページでは外積を交代写像の双対空間で定義した。

このページでは視点を変えて、面積から外積を定義してみよう。

内容は初等的で簡単に理解できるものである。

定義 ( 面積と外積 )

ベクトル a、b を2辺とする平行四辺形の面積を a∧b と表す。



ただし、ベクトルはつねに平面上で考えるものとする。

また、次のように、面積に符合を定義する。

(1) ベクトル a の方向から b が左側にあるとき、a∧b>0

(2) ベクトル a の方向から b が右側にあるとき、a∧b<0

参考

明らかに、次が成り立つ。

(1) (ka)∧b=k(a∧b)

(2) a∧(kb)=k(a∧b)

(3) a∧(b+c)=(a∧b)+(a∧c)

(4) (a+b)∧c=(a∧c)+(b∧c)

(5) a∧a=0

(6) e∧e=1

例えば、分配則(3)は下図で確認できる。



ただし、これを立体図形として視てはいけない。

定義(面積と外積)でも注意したように、平面図で考える。

すると、たしかに、(3)が成り立つことが分かる。

また、次の場合についても成り立つことに注目しよう。



この場合について成り立つのは面積に符合を付けたおかげである。

「 そんな発想どこから来るのか 」 と思うかもしれない。

そこで、(3)〜(5)を用いて(a+b)∧(a+b)を展開してみよう。

すると、(a+b)∧(a+b)=a∧b+b∧a である。

一方、(5)より、(a+b)∧(a+b)=0 である。

よって、a∧b=−b∧a でなければならない。

だから、定義(面積と外積)で符号を付けたのである。

そして、前ページでやったように、これは 『 交代性 』 と呼ばれる。

参考 ( 外積、行列式、面積、幾何の一体 )

a=(a、a)、b=(b、b)とおく。

いま、a=a+a、b=b+b と表せる。

これを計算すると、



つまり、a∧b=a−a である。

これは行列式の定義と同じであることが分かる。

外積、行列式、面積、幾何が一体になっていることが分かる。

定義 ( 体積と外積 )

ベクトル a、b、c を3辺とする平行6面体の体積を a∧b∧c と表す。



また、以下のように体積に符合を定める。

まず、a から b へ右ネジを回したとき、右ネジが進む方向を正とする。

こうして、a と b を2辺とする平行四辺形に向きを与えることができる。

ここで、次のように定める。

(1) c が正の向きならば、a∧b∧c>0

(2) c が負の向きならば、a∧b∧c<0

議論は省略するが、これについても平面の場合と同様のことが成り立つ。

定義 ( p重線形写像 )

、・・・、V、W を K 上のベクトル空間とする。

f:V×・・・×V→W を写像とする。

f は各変数 v∈V について線形であるとする。

このとき、f を 『 p重線形写像 』 という。

定義 ( 双線形写像 )

、V、W を K 上のベクトル空間とする。

f:V×V→W を写像とする。

次が成り立つとする。

(1) f(x+x’、y)=f(x、y)+f(x’、y)

(2) f(x、y+y’)=f(x、y)+f(x、y’)

(3) f(ax、y)=f(x、ay)=af(x、y)

このとき、f を 『 双線形写像 』 という。

つまり、双線形写像とは、2重線形写像である。

注意 ( 表記について )

V、W、U、V、・・・、V を K 上のベクトル空間とする。

次のように定義する。

Hom(V、W)={ f:V→W|f は線形写像 }

L(V、W;U)={ f:V×W→U|f は双線形写像 }

L(V、・・・、V;U)={ f:V×・・・×V→U|f はp重線形写像 }

明らかに、Hom(V、W)、L(V、W;U)、L(V、・・・、V;U)はベクトル空間である。

P1

L(V、W;K) と M(m、n;K) は同型である。

補足

M(m、n;K) は K を成分とする m×n 行列全体を意味する。

証明

{ v、・・・、v } を V の基底とする。

{ w、・・・、w } を W の基底とする。

φ∈L(V、W;K)とおく。

ij=φ(v、w)とおく。

いま、A=(aij)∈M(m、n;K)である。

v∈V、w∈W とおく。

いま、v=x+・・・+x、w=y+・・・+y と表せる。

x=(x、・・・、x)、y=(y、・・・、y)とおく。

いま、φ(v、w)=xAy である。

つまり、φ∈L(V、W;K) と A∈M(m、n;K)は1対1で対応する。

P2

V を n 次元ベクトル空間とする。

{ e、・・・、e } を V の基底とする。

f:V×・・・×V→K を p重線形写像とする。

このとき、次が成り立つ。



ただし、a、・・・、a は { e、・・・、e } に関する v の座標である。

証明

明らかである。

P3 ( P2の逆 )

V を n 次元ベクトル空間とする。

{ e、・・・、e } を V の基底とする。

1≦i、・・・、i≦n とする。

各対(i、・・・、i)に対し、スカラー c(i、・・・、i)が定まっているとする。

次のように定義する。



ただし、a、・・・、a は { e、・・・、e } に関する v の座標である。

このとき、f は p重線形写像である。

また、c(i、・・・、i)=f(e、・・・、e)である。

証明

明らかである。

定義 ( p重交代写像 )

f:V×・・・×V→K を p重線形写像とする。

相異なる i、j に対し、次が成り立つとする。

(*) f(・・・、v、・・・、v、・・・)=−f(・・・、v、・・・、v、・・・)

このとき、f を 『 p重交代写像 』 という。

(*)のような性質を 『 交代性 』 という。

P4 ( 交代写像の特徴づけ )

f:V×・・・×V→K を p重線形写像とする。

このとき、次は同値である。

(1) f は p重交代写像である。

(2) 異なる i、j に対して v=v ならば、f(v、・・・、v)=0 である。

(3) v、・・・、v が1次従属ならば、f(v、・・・、v)=0 である。

(1)⇔(2)の証明

(1)⇒(2)は明らかである。

(2)を仮定する。

いま、f は p重線形写像であるから、



よって、f は交代写像である。

(2)⇔(3)の証明

(2)を仮定する。

、・・・、v は1次従属であるとする。

つまり、v、・・・、v のうち、いずれか1つは残りの1次結合として表せる。

よって、f(v、・・・、v)=0 である。

一方、(3)⇒(2)は明らかである。

P5

V を n次元ベクトル空間とする。

{ e、・・・、e } を V の基底とする。

1≦i、・・・、i≦n とおく。

各対(i、・・・、i)に対してスカラー c(i、・・・、i)が定まっているとする。

次のように定義する。



ただし、a、・・・、a は { e、・・・、e } に関する v の座標である。

このとき、次は同値である。

(1) f は p重交代写像である。

(2) 相異なる r、s に対し、c(・・・、i、・・・、i、・・・)=−c(・・・、i、・・・、i、・・・)である。

また、(1)または(2)が成り立つならば、次が成り立つ。

(3) 対(i、・・・、i)に重複があれば、c(i、・・・、i)=0 である。

(4) n<p ならば f=0 である。

(5) n=p ならば f は値 f(e、・・・、e)によって一意的に定まる。

(6) n=p かつ f≠0 ならば、任意の p重交代写像 g に対して次が成り立つ。

(1)⇔(2)の証明

(1)を仮定する。

いま、c(i、・・・、i)=f(e、・・・、e)である。(※P3)(★)

よって、(2)が成り立つ。(※定義:交代写像)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

いま、(★)より、f(・・・、eir、・・・、eis、・・・)=−f(・・・、eis、・・・、eir、・・・)である。

つまり、基底ベクトルに対して交代性が成り立つ。

よって、任意の(v、・・・、v)に対しても交代性が成り立つ。(※多重線形性)

つまり、f は交代写像である。

(3)の証明

明らかである。

(4)の証明

いま、c(i、・・・、i)=f(e、・・・、e)である。

よって、成り立つ。(※P4)

(5)の証明

いま、c(i、・・・、i)=f(e、・・・、e)である。

重複を考える必要はないので、重複はないと仮定してよい。

よって、互換を繰り返せば、(i、・・・、i)=(1、・・・、n)となる。

よって、値 f(e、・・・、e)が定まれば、各 f(e、・・・、e)も定まり、f が定まる。

つまり、値 f(e、・・・、e)によって f が一意的に定まる。

( むろん、f(e、・・・、e)が異なれば f は異なる )

(6)の証明

f≠0 とする。

いま、(6)の式の両辺は交代写像である。

また、(v、・・・、v)が(e、・・・、e)のとき両辺の値は一致する。

よって、(5)より、つねに等号が成り立つ。

定義 ( 行列式 )

(i、・・・、i)を自然数の対とする。

次のように定義する。

(*1) 重複がない場合 : c(i、・・・、i)=sgn(σ)

(*2) 重複がある場合 : c(i、・・・、i)=0

ただし、σは(1、・・・、n)を(i、・・・、i)に並べ替える置換である。

n次正方行列 A=(aij)に対し、次のように定義する。



このとき、det を 『 行列式 』 という。

明らかに、det は n重交代写像である。(※P5(1)⇔(2))

また、detA≠0 である。( つまり det は恒等的に 0 ではない )

P6

A=(a、・・・、a)を n次正方行列とする。

f(A)=f(a、・・・、a)を n重交代写像とする。

このとき、f(A)=f(E)detA である。

証明

明らかに、detE=1である。

よって、成り立つ。(※P(6))

定義 ( A(V))

V=K とおく。

V×・・・×V から K への p重交代写像全体を A(V)と表す。

定義 (λ)

V=K とおく。

{ e、・・・、e } を K の自然基底とする。

f∈A(V)とおく。

1≦i、・・・、i≦n とおく。

このような対(i、・・・、i)は N=nCp 個である。

これにより、f(e、・・・、e)は N個の K の元を定める。

そこで、例えば、辞書式順序によって K の元が1つ定まる。

このような対応をλ:A(V)→K と表す。

明らかに、λは線形写像である。

『 辞書式順序 』 とは、N個の(i、・・・、i)を左から順番に若い番号で並べるということである。

厳密な定義は省略するが、意味は簡単に推測できるであろう。

P7

λ:A(V)→K は同型写像である。

ただし、N=nCp である。

証明

λ(f)=0 と仮定する。

1≦i、・・・、i≦n とおく。

(i、・・・、i)が重複をもつ場合について考える。

=i とする。

いま、f(・・・、eir、・・・、eis、・・・)=−f(・・・、eis、・・・、eir、・・・)である。(※p重交代写像)

よって、f(・・・、eir、・・・、eis、・・・)=0 である。

(i、・・・、i)が重複をもたない場合について考える。

いま、互換を繰り返せば、1≦i<・・・<i≦n となる。

よって、仮定より、f(e、・・・、e)=0 である。

以上により、重複も許す任意の(i、・・・、i)に対し、f(e、・・・、e)=0 である。

よって、f=0 である。

以上により、f は単射である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

1≦i<・・・<i≦n とおく。

次のように定義する。



いま、f、・・・、i は交代写像である。(※定義:p重交代写像)

しかも、1≦i<・・・<i≦n に対し、次が成り立つ。

(*1) f、・・・、i(ei1、・・・、eip)=1

(*2) f、・・・、i(他の狭義単調列)=0

よって、λは全射である。

参考

上の証明にも登場したが、次の2つは区別するように気をつけよう。

(1) 1≦i、・・・、i≦n

(2) 1≦i<・・・<i≦n

例えば、(1)の場合、i>i という可能性もある。

定義 ( 外積ベクトル空間 )

(V)=A(V) と定義する。

このとき、∧(V) を 『 p次の外積ベクトル空間 』 という。

定義 ( 外積ベクトル )

、・・・、v∈K とおく。

∧・・・∧v:A(V)→K を v∧・・・∧v(f)=f(v、・・・、v)で定義する。

つまり、v∧・・・∧v∈∧(V)である。

このとき、v∧・・・∧v を 『 v、・・・、v の外積ベクトル 』 という。

P8

次が成り立つ。

補足

つまり、相異なる i、j に対して v=v ならば v∧・・・∧v=0 である。

証明

明らかである。

P9

{ e、・・・、e } を V=K の自然基底とする。

このとき、{ e、・・・、e1≦i<・・・<i≦n は ∧(V)の基底である。

つまり、dim∧(V)=nCp である。

証明

L7 の証明中に示した f、・・・、k は ∧(V)の基底になっている。

また、(e∧・・・∧e)(f、・・・、k)=δ・・・δ である。

よって、{ e∧・・・∧e1≦i<・・・<i≦n は A(V)の双対基底である。

定義 ( 外積の積 )

双線形写像 ∧(V)×∧(V)→∧p+q(V)を次のように定義できる。

P10

A を n次正方行列とする。

、・・・、a を A の列ベクトルとする。

、・・・、e を K の自然基底とする。

このとき、次が成り立つ。

(*) a∧・・・∧a=(detA)e∧・・・∧e

証明

既に示したように、λ:A(V)→K は同型写像である。(※P7)

とくに、p=n とすれば、N=nCp=1 である。

よって、A(V) と K は同型である。

つまり、∧(V)は1次元ベクトル空間である。

また、e∧・・・∧e は ∧(V)の基底である。

( e∧・・・∧e というたった1つの元が基底である )

f:K→K を a∧・・・∧a=f(A)e∧・・・∧e で定義する。

ただし、f(A)=f(a、・・・、a)である。

明らかに、f は n重交代写像である。

いま、f(E)=1である。

よって、f(A)=detA である。(※P6)

P11

、・・・、a∈K とおく。

このとき、次は同値である。

(1) a、・・・、a は1次従属である。

(2) a∧・・・∧a=0

証明

(1)を仮定する。

が残りのベクトルの1次結合によって表せると仮定しても一般性を失わない。

( 必要に応じて番号を付け替えればよいからである )

このとき、a∧・・・∧a=0 である。(※P8の補足)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)⇒(1)を示すために対偶を考える。

、・・・、a は1次独立であるとする。

いま、あるベクトル ap+1、・・・、a が存在して、a、・・・、a が V の基底となる。(※線形代数)

また、a∧・・・∧a=det(a、・・・、a)e∧・・・∧e≠0 である。(※P10)

また、a∧・・・∧a=(a∧・・・∧a)∧(ap+1∧・・・∧a)である。

よって、a∧・・・∧a≠0 である。

P12

、・・・、a∈K は1次独立であるとする。

、・・・、b∈K は1次独立であるとする。

を、a、・・・、a によって生成された V の部分空間とする。

を、b、・・・、b によって生成された V の部分空間とする。

このとき、次は同値である。

(1) W=W

(2) あるスカラー c≠0 が存在して、a∧・・・∧a=cb∧・・・∧b∈∧(V)である。

証明

(1)を仮定する。

いま、任意の i に対し、a は b、・・・、b の1次結合として表せる。

よって、あるスカラー c が存在して、a∧・・・∧a=cb∧・・・∧b と表せる。(※P8)

また、a∧・・・∧a≠0 かつ b∧・・・∧b≠0 である。(※P11)

よって、c≠0 である。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(2)を仮定する。

いま、任意の i に対し、(a∧・・・∧a)∧b=(cb∧・・・∧b)∧b=0 である。

よって、a、・・・、a、b は1次従属である。(※P11)

いま、a、・・・、a は1次独立である。

よって、b は a、・・・、a の1次結合として表せる。

よって、W⊂W である。

同様に、W⊂W が示される。

よって、W=W である。