基礎系(三角関数の厳密な構成)

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参考

よく知られているように、三角関数は、初等的には単位円を用いて定義される。

むろん、sinθ や cosθ の値は角度θに依存する。

そして、角度θは、単位円の 『 弧の長さ 』 によって定義される。

しかし、そのような議論では、そもそも弧の長さを定義していないことが多い。(★)

この意味で、単位円から出発する三角関数の定義は天下り的である。

そこで、このページでは 『 弧の長さ 』 を経由せずに三角関数を厳密に定義する。

(★)について補足

そもそも、高校生の段階では 『 曲線の長さ 』 を定義することの必要性に気付きにくいであろう。

おそらく、多くの人が 「 曲線が長さをもつことは当然であり、定義する必要はない 」 と考える。

なので、「 円弧の長さが定義されていないから天下り的だ 」 と言われてもピンと来ないかもしれない。

この辺りの感覚を育てるためには 『 積分 』 や 『 線積分 』 などをしっかりと学ぶ必要がある。

これについては他のページで扱っているので、今回は保留する。

P1 ( 四則演算は連続性を保存する )

f:I→ を関数とする。

f、g は点 a∈I において連続であるとする。

このとき、次が成り立つ。

(1) f±g は点 a において連続である。

(2) cf は点 a において連続である。

(3) fg は点 a において連続である。

(4) f/g は点 a において連続である。

証明

既知とする。

P2 ( テイラーの定理 )

f(x) が a と b を含む区間で n 回微分可能であるとする。

このとき、f は次の形で表せる。



これを 『 f のテイラー展開 』 という。

とくに、limn→∞=0 であるとき、次のように表せる。( むろん、関数は無限回微分可能であるとする )



さらに、b を任意に動かすと、次のように表せる。



これを 『 f の ( a を中心とする ) テイラー級数 』 という。

とくに、a=0 である場合、テイラー級数を 『 マクローリン級数 』 という。

証明

既知とする。

P3 ( 項別微分 )

0≦n≦∞ を巾級数とする。

その収束半径を r とする。

このとき、次が成り立つ。

(1) 0≦n≦∞nan−1 の収束半径も r である。

(2) f:(−r、r)→ を f(x)=0≦n≦∞ で定義すると、f’(x)=0≦n≦∞nan−1 である。

補足

つまり、巾級数で表される関数は収束半径内で微分可能である。

証明

既知とする。

P4

f(x)=√x とおく。

このとき、f(x)は [0、∞)上で連続である。

証明

ε>0 とおく。

a>0 とおく.

このとき、



よって、f(x)は点 a で連続である。

また、



よって、f(x)は点 0 で連続である。

P5

次が成り立つ。

証明

0≦x<1 とする。

f(x)=−2(1−x)1/2 とおく。

いま、f’(x)=(1−x)−1/2 である。

よって、次が成り立つ。(※微分積分学の基本定理)



よって、

P6

任意の x に対し、次が成り立つ。

証明

ある N∈ が存在して、2x<N となる。

n≧N とする。



明らかに、



よって、limn→∞|x|/n!=0 である。

定義 ( θ )

次のように定義する。

補足

上記の定義は唐突に思えるかもしれない。

そこで、背景を説明しよう。

ここでは一時的に sinθ が定義されているとする。

x=sinθとすると、



一方、sin−1x=θ である。

これによって、定義(θ)の θ が角度に一致することが分かる。

むろん、これは理論の先取りであるから、この説明はなかったことにする。

P7

θ(x) は [0、1] 上で連続な狭義増加関数である。

証明

明らかに、θ(x) は [0、1) で連続かつ狭義増加関数である。(※P1、P2)(★1)

x∈[0、1) とおく。

いま、



よって、



一方、次が成り立つ。(※P5)



つまり、θ(x) は [0、1] で上に有界な増加関数である。

よって、上限αが存在して、limx→1−0θ(x)=αである。(★2)

(★1)、(★2) より、θ(x) は [0、1] 上で連続である。

定義 ( π/2 )

既に示したように、次の極限が存在する。(※P7の証明)



そこで、その値を π/2 と表す。

証明

現時点で、このπが 『 円周率 』 を意味するか否かは分からない。

そこで、理論を先取りして、これを確認してみよう。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

f:[a、b]→ を C 級関数とする。

次のように定義する。



このとき、Len(f) を 『 f の [a、b] における長さ 』 という。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Len(f) は、日常的に知られている 『 長さ 』 に相当する概念である。

ただし、その説明は少し長くなってしまう。

なので、ここでは認めることにしよう。

さて、単位円は x+y=1 と表される。

式変形すると、y=1/√(1−x) である。

θ を、y の 0 から x までの長さとすると、



一方、y’=−x/√(1−x)、1+y’=1/(1−x) である。

よって、



とくに、x=1 のとき、これは 『 単位円周 』 の 1/4 である。

よって、θ=π/2 ( この π は円周率 ) である。

つまり、定義(π/2) が円周率と一致することが分かる。

むろん、これは理論の先取りであるから、この話はなかったことにする。

定義 ( s(θ)、c(θ) )

θ(x) は [0、1] で連続な狭義増加関数である。(※P7)

よって、θ(x) は逆関数を持つ。

そこで、θ(x) の逆関数を x=s(θ) と表す。

また、c(θ)=s’(θ) と定義する。

P8

(1) s’(θ)=c(θ)

(2) c’(θ)=−s(θ)

(1)の証明

定義そのままである。

(2)の証明

次が成り立つ。(※微分積分学の基本定理)



よって、次が成り立つ。(※逆関数の微分公式)



よって、次が成り立つ。(※合成関数の微分)

参考

s(θ) と c(θ) は sinθ と cosθ に一致する。

このことを確認してみよう。

既に理論の先取りで確認したように、θ(x) は 『 弧の長さ 』 である。

詳しくは、θ(x) は y=(1−x−1/2 の 0 から x までの長さである。

s(θ) は、その逆関数である。

また、x=s(θ) より、c(θ)=(1−x1/2=y である。

図示すると、



以上により、s(θ) と c(θ) は、sinθ と cosθ と一致する。

ただし、これは理論の先取りであるから、この話はなかったことにする。

P9

(1) s(θ) は [0、π/2] で狭義増加であり、c(θ) は [0、π/2] で狭義減少である。

(2) s(0)=0、c(0)=1

(3) s(π/2)=1、c(π/2)=0

(1)の証明

θ(x) は [0、1] で連続な狭義増加関数である。(※P7)

よって、その逆関数である s(θ) も狭義増加関数である。

よって、c(θ) は狭義減少関数である。(※P8)

(2)の証明

明らかである。

(3)の証明

明らかである。

P10

s(θ)、c(θ) は区間 (0、π/2) でマクローリン展開可能であり、次のように表せる。

補足

つまり、最初から上式で s(θ) と c(θ) を定義してもよい。

証明

いま、c’(θ)=−s(θ) である。(※P9)

また、c’’(θ)=−c(θ) である。(※P9)

よって、c(2n)(θ)=(−1)c(θ) であり、c(2n+1)(θ)=(−1)n+1 (θ) である。

よって、ある 0<η<x が存在して、次のように表せる。(※P2)



いま、|c(η)|≦1 である。

よって、次が成り立つ。(※P6)



つまり、c(θ) はマクローリン展開である。

P11 ( s(θ) と c(θ) の収束半径は ∞ である )

任意の x に対し、s(x) と c(x) は収束する。

証明

s(x) と c(x) は次のように表せる。(※P10)



=(−1)/(2n+1)! とおく。

いま、limn→∞|a/an+1|=limn→∞(2n+3)=∞ である。

よって、s(x) の収束半径は ∞ である。(※ダランベールの判定法)

つまり、任意の x に対して s(x) は収束する。

c(x) についても同様に示される。

P12 ( s(θ) と c(θ) の加法定理 )

次のように定義する。(※P10)



このとき、次が成り立つ。

(1) s(x+y)=s(x)c(y)+c(x)s(y)

(2) c(x+y)=c(x)c(y)−s(x)s(y)

(3) s(x)+c(x)=1

(4) s(x+2π)=s(x)、c(x+2π)=c(x)

補足

今回、s と c は 上で定義されていることに注意。

(1)の証明

s(x)、c(x) は項別微分可能である。(※P3)

よって、s’(x)=c(x) であり、c’(x)=−s(x) である。(※P3)

また、次のように表せる。(※テイラーの定理)



いま、limn→∞|R|=0 である。(※P6)

以上により、

(2)の証明

(1)の式を微分すればよい。

(3)の証明

(2)より、c(x+y)=c(x)c(y)−s(x)s(y) である。

y=−x とおくと、c(0)=c(x)c(−x)−s(x)s(−x) である。

一方、s(−x)=−s(x) であり、c(−x)=c(x) である。(※定義から直接に確認できる)

よって、s(x)+c(x)=1 である。

(4)の証明

(2)より、s(x+π/2)=c(x) であり、c(x+π/2)=−s(x) である。(※P9)

よって、s(x+π)=c(x+π/2)=−s(x) である。

また、s(x+2π)=−s(x+2π)=s(x) である。

微分すると、c(x+2π)=c(x) である。