基礎系(変数変換の誤解)

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参考 ( 変数変換の表示法 )

f(x)=x (x>0) を関数とする。

f(x) を x=t で変数変換したものを f(t) と表す。

高校数学でよく知られているように、f(x)=x と f(t)=t は全く同じ関数である。

一方、ここに書いた f(t) と f(x) は、状況が異なる。

実際、f(t)=t という意味で、これは f(t)=t とは別物である。

むろん、x=t を詳しく書くと、x(t)=t である。

上記の変数変換を φ(t)=t と表すと、f(t) は、合成関数 f*φ(t) を意味する。

むろん、f*φ(t) は f(φ(t)) と表しても意味は同じである。

f’(x) と f’(t) の意味は異なる。

f’(x) は、f を x の関数と見なして x で微分するという意味である。

f’(t) は、f を t の関数と見なして t で微分するという意味である。

つまり、



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

一方、よく知られているように、合成関数の微分は次のように表される。



むろん、これを詳しく書けば、



この公式に基づいて f’(t) を計算すると、



たしかに、(*2)と(*3)の結果が一致していることが分かる。

変数変換を x(t) で表した場合、合成関数の微分より、



これを次のように表記しても意味は同じである。



つまり、df/dx と dx/dt が約分されて df/dt となるような式になって綺麗である。

これは 『 連鎖率 ( chain rule )』 と呼ばれる。

しかし、入門者がこの式の意味を理解できずに混乱することも多いと予想される。